吳文炯，嚴(yán) 凱，謝燕青，郝 翔

（蘇州科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，江蘇 蘇州 215009）

由局域電場(chǎng)調(diào)控的量子演化極限

吳文炯，嚴(yán) 凱，謝燕青，郝 翔*

（蘇州科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，江蘇 蘇州 215009）

當(dāng)兩能級(jí)原子弱耦合至零溫單體腔時(shí)，施加一個(gè)局域電場(chǎng)來有效調(diào)控量子態(tài)演化速度極限。通過無時(shí)間卷積量子主方程，推導(dǎo)了開放系統(tǒng)的退相干過程。量子演化極限與外加電場(chǎng)的頻率和強(qiáng)度息息相關(guān)。從激發(fā)態(tài)占有數(shù)的觀點(diǎn)出發(fā)，解釋了量子演化極限。

退相干；量子演化極限；局域電場(chǎng)

在量子物理領(lǐng)域中，如量子通信[1]、量子計(jì)算[2]、最優(yōu)控制理論[3]，一個(gè)最基本的研究?jī)?nèi)容就是要探究一個(gè)量子系統(tǒng)的演化規(guī)律。為了有效衡量量子演化速度，人們基于量子力學(xué)基本原理“測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系”，提出了量子演化極限時(shí)間QSLT[4-14]。對(duì)于一個(gè)封閉的系統(tǒng)，即不考慮環(huán)境對(duì)其退相干影響，量子態(tài)的演化是一種么正行為。目前，已有兩種不同形式的 QSLT：Mandelstam-Tamm（MT）和 Margolus-Levitin[15]（ML），綜合寫成 QSLT=max{π?/（2ΔE），π?/（2E）}。 前者取決于初始態(tài)的能量方差，后者取決于初始態(tài)的能量平均值。 衡量量子演化時(shí)間的主要依據(jù)在于如何有效區(qū)分量子態(tài)。目前，在國(guó)際和國(guó)內(nèi)的主流研究中，人們常常采用以下幾種量子態(tài)區(qū)分度，如量子態(tài)保真度[16]fidelity（relative purity）、量子態(tài)保真度的形式夾角[17]Bures angle和量子費(fèi)舍爾信息[18]Fisher information。這些方法表明QSLT與實(shí)際驅(qū)動(dòng)時(shí)間τD密不可分。當(dāng)τQSL=τD時(shí)，量子演化沒有潛力加速；然而若τQSL＜τD，則表明可以促進(jìn)量子演化[19]。最近，人們發(fā)現(xiàn)可以通過加強(qiáng)系統(tǒng)與環(huán)境相互作用[16-17]或者選取一些特殊量子態(tài)[19-20]作為初態(tài)來獲得量子系統(tǒng)的最大演化速度。

電場(chǎng)作為一種有效調(diào)控手段在現(xiàn)實(shí)中著很多應(yīng)用。如果系統(tǒng)與環(huán)境處在弱耦合時(shí)，就沒有記憶效應(yīng)，也就沒有量子演化加速現(xiàn)象。但是可以外加一個(gè)局域電場(chǎng)來加速量子演化。筆者將討論一個(gè)兩能級(jí)系統(tǒng)和絕對(duì)零度的單體腔弱耦合并受電場(chǎng)驅(qū)動(dòng)的模型，由此分析外加電場(chǎng)對(duì)量子演化極限的影響。

1 模型

模型如圖1所示。

愛因斯坦理論合理假設(shè)原子對(duì)光子的發(fā)射和吸收，認(rèn)為原子能級(jí)是分立的，將光場(chǎng)與原子的相互作用行為概括為三種基本類型：自發(fā)輻射、吸收以及受激輻射。圖1描述了一個(gè)兩能級(jí)系統(tǒng)（atom）受到光場(chǎng)（reservoir）的影響，原子從激發(fā)態(tài)能級(jí)與基態(tài)能級(jí)之間發(fā)生躍遷，發(fā)射或者吸收頻率為ω0的光子。對(duì)單粒子與環(huán)境耦合模型施加一個(gè)電場(chǎng)，那么系統(tǒng)與環(huán)境的總哈密頓量可表示為

圖1 兩能級(jí)原子自發(fā)衰變的物理模型

其中，σx=（1/2）（σ++σ-）。 為了簡(jiǎn)化計(jì)算，可以把系統(tǒng)的哈密頓量進(jìn)行對(duì)角化處理為，其中。在系統(tǒng)與環(huán)境弱耦合條件下，含時(shí)演化態(tài)ρt滿足量子主方程

其中，相互作用哈密頓量在該表象可表示為

上式符號(hào)h.c.表示厄米共軛項(xiàng)。拉姆位移哈密頓量HI′描述了系統(tǒng)哈密頓量Hs特征向量的能量小部分轉(zhuǎn)移，由于其沒有對(duì)系統(tǒng)的退相干過程產(chǎn)生實(shí)質(zhì)性影響，因此，在計(jì)算時(shí)可忽略。需要注意的是，該方程的高頻震蕩項(xiàng)已被忽略，其值非常小，這在弱耦合情況下是合理的[21-22]。

衰減率 γm（t）（m=±，z）與時(shí)間相關(guān)聯(lián)，被定義為Re 表示取實(shí)數(shù)部分。參數(shù)為

外部環(huán)境可以由有效洛倫茲頻譜函數(shù)來描述

其中，γ0衡量耦合作用強(qiáng)度，λ為頻譜寬度。γ0＜（1/2）λ為弱耦合條件，因此，接下來的探討都是在該情況下展開的。對(duì)于單比特，任意時(shí)刻的演化態(tài)ρt都可以由泡利矩陣表示為

其中 I為單位算符，σk（k=x，y，z）為泡利算符。 如圖 2 所示，Bx（t）、By（t）、Bz（t）分別代表布洛赫球的三個(gè)方向矢量，它們與衰減率γm的關(guān)系由方程組給出

圖2 布洛赫球模型

解得 Bx（t）、By（t）、Bz（t）與時(shí)間的關(guān)系式

2 計(jì)算與分析

衡量量子演化時(shí)間的主要依據(jù)在于如何有效區(qū)分量子態(tài)。利用量子態(tài)跡間距Trace distance區(qū)分量子初態(tài)和末態(tài)，其定義為

和Bures angle[17]方法類似的，在馮·諾依曼跡不等式與柯西-許瓦爾茲不等式的約束下，得到量子演化極限QSLT表達(dá)式

如果激發(fā)態(tài)|e〉作為系統(tǒng)演化時(shí)的初態(tài)，那么有 Bx（0）=By（0）=0，Bz（0）=1，這就意味著 Bx（t）=By（t）=0。 隨時(shí)間變化的量子態(tài)ρt可以簡(jiǎn)化為

假設(shè)量子系統(tǒng)經(jīng)過驅(qū)動(dòng)時(shí)間τD從初態(tài)ρ0演化到末態(tài)，通過數(shù)值計(jì)算繪制出圖3曲線。參數(shù)取值分別為τD=3，λ=1，T=0，γ0=0.1，ω0=1。

從圖3觀察到，如果撤去電場(chǎng)，即Ω=0，那么原子系統(tǒng)只受到環(huán)境的弱耦合作用，無法加速，τQSL=τD始終成立。當(dāng)電場(chǎng)頻率ωL=1時(shí)，隨著電場(chǎng)強(qiáng)度Ω的增加，比值τQSL/τD呈現(xiàn)起伏式的下降。當(dāng)電場(chǎng)頻率上升到5或10的時(shí)候，緩慢加強(qiáng)電場(chǎng)對(duì)原子作用，τQSL/τD會(huì)陡峭下降，然后再變大。因此，要合理調(diào)整參數(shù)ωL和Ω，來達(dá)到加速系統(tǒng)演化的目的。

為了分析量子系統(tǒng)演化在局域電場(chǎng)調(diào)控下的加速行為，有如下表達(dá)式

圖3 量子演化極限時(shí)間在不同電場(chǎng)頻率下隨電場(chǎng)強(qiáng)度的變化曲線

很明顯地，從圖4可以看出，當(dāng)電場(chǎng)的頻率穩(wěn)定時(shí)，加強(qiáng)電場(chǎng)對(duì)原子系統(tǒng)的作用，來抑制量子退相干，從而加速量子演化。

3 結(jié)語

在溫度T=0時(shí)，通過局域電場(chǎng)調(diào)控阻尼衰減的Jaynes-Cummmings模型。通過量子主方程，獲得在弱耦合時(shí)開放系統(tǒng)的演化規(guī)律。雖然系統(tǒng)與環(huán)境弱耦合時(shí)演化沒有加速，但是選取合適的電場(chǎng)頻率和電場(chǎng)對(duì)原子的作用強(qiáng)度有利于加速量子演化。將經(jīng)典場(chǎng)運(yùn)用到量子領(lǐng)域，為促進(jìn)量子演化提供了新的方案。

圖4 激發(fā)態(tài)占有數(shù)Pt在電場(chǎng)強(qiáng)度Ω=2，6時(shí)隨時(shí)間的變化曲線

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Quantum speed limit driven by local electric field

WU Wenjiong， YAN Kai， XIE Yanqing，HAO Xiang*
（School of Mathematics and Physics，SUST，Suzhou 215009，China）

We apply a local electric field to accelerate the quantum evolution in the decoherence model of a two-level atom weakly coupled to a structural reservoir at zero temperature.Under the time-convolutionless master equation，we obtained the decoherence process of the open system.The quantum evolution is related to the frequency and the driving strength of the electric field.From the perspective of the excited population，we interpreted the quantum speed limit.

decoherence；quantum speed limit；local electric field

O441.4

A

2096-3289（2017）03-0041-04

責(zé)任編輯：李文杰

2016-03-02

國(guó)家自然科學(xué)基金重點(diǎn)資助項(xiàng)目（11274054）；江蘇省研究生培養(yǎng)創(chuàng)新工程項(xiàng)目（JGLX15-150）；蘇州科技大學(xué)研究生科研創(chuàng)新項(xiàng)目（SKYCX16_015）

吳文炯（1991-），男，江蘇蘇州人，碩士研究生，研究方向：量子光學(xué)與微結(jié)構(gòu)光子學(xué)。

*通信作者：郝 翔（1981-），男，博士，副教授，碩士生導(dǎo)師，E-mail：haoxiang_edu198126@163.com。