趙德敏　劉建林　陳穎

【摘 要】分析了質(zhì)點沿著定軸轉(zhuǎn)動的直桿和直角桿作相對直線運動，比較了點的合成運動法和全程分析法。結(jié)果表明：全程分析法能夠得到每一時刻點的軌跡方程、速度和加速度，從全局角度把握點的運動規(guī)律，比應用點的合成運動分析更簡便。由全程分析法分析了的該質(zhì)點的運動規(guī)律，得到了其運動的軌跡、弧長，速度和加速度等的規(guī)律。

【關(guān)鍵詞】質(zhì)點沿轉(zhuǎn)動桿運動；點的合成運動；全程分析法；理論力學

Motion Study of a Particle on a Rotation Bar Using Full-process Analysis Method

ZHAO De-min LIU Jian-lin CHEN Ying

（Department of Engineering Mechanics，College of Pipeline and Civil Engineering，China University of Petroleum〈East China〉，Qingdao Shandong 266580，China）

【Abstract】The quantities of motion including the displacement equation，velocity and acceleration of a point at any time can be analyzed by using the full-process analysis method which is easier than the composition motion sometimes.The motion of a particle relative moves linearly on the straight bar and rectangular bar，which are rotation about an axis.The path of motion，length of arc，velocity and acceleration are all obtained.

【Key words】Motion of a particle on a rotation bar；Composition motion；Method for full- process analysis；Theoretical mechanics

0 引言

理論力學中研究點的運動規(guī)律有兩種方法：第一種，建立點的運動方程，并對時間取一階和二階導數(shù)，求得點的速度和加速度隨時間的變化規(guī)律。第二種方法根據(jù)點的合成運動定理求得點在某瞬時的速度和加速度。近年來有人把這兩種分析方法分別稱為“全程分析法”和“瞬時分析法”[1]。目前的理論力學教材也重點在第二種方法。但是隨著計算軟件的快速發(fā)展，數(shù)學計算的困難已經(jīng)不再成為問題，全程分析法結(jié)合計算軟件的數(shù)值仿真，能夠得到軌跡方程，能夠推演出每一時刻的速度和加速度大小，從全局的角度精確地把握運動規(guī)律，能處理更加復雜的力學問題。全程分析方法應該在教學中予以重要的認識，使之成為解決點的運動規(guī)律的重要工具。

1 兩種方法比較

點的合成運動一章中一個典型的例子為：如在一個做定軸轉(zhuǎn)動的直桿上有一個質(zhì)點M，沿著桿的方向做直線運動，分析質(zhì)點在任意時刻的速度和加速度。目前的做法是采用點的合成運動定理，進行速度分析和加速度分析[2]。但是有些工程問題的模型卻來源于非直桿，例如漸開線齒輪，偏置凸輪和傳統(tǒng)的糧食加工器具石磨等[3]，此幾何模型卻和勻速轉(zhuǎn)動的直角桿相關(guān)。在定軸轉(zhuǎn)動的直角桿上一質(zhì)點沿著不通過原點的直角邊運動，其速度、加速度以及弧長如何呢？為使問題更為清晰透徹，我們對下面三個例子用瞬時分析法和全程分析法進行分析。

如圖1-3所示，質(zhì)點M沿直桿由O1 點開始，沿著O1A桿做相對于桿O1A的勻速直線運動，相對速度為u，OO1的長度為r0，桿OO1A逆時針以勻角速度？棕逆時針轉(zhuǎn)動，假設(shè)桿的長度足夠長，且t=0時OO1沿x軸水平放置。其它條件如下：

例1、如圖1所示，OO1A 桿為直桿。

1.1 瞬時分析法

目前例1中質(zhì)點M的速度和加速度分析研究，大多數(shù)教材采用瞬時分析法求解。鑒于有些教材已經(jīng)給了詳細求解過程[2]，此處不在贅述。本文只針對例2給出簡要的分析過程。例2的其速度矢量圖如圖4所示，其中牽連速度大小為v=？棕，方向垂直于OM線，相對速度r的大小vr=ut，方向沿著O1A。由余弦定理，可以得到絕對速度的大小va，v，再由幾何關(guān)系？茲=∠OOM=arctan，可得絕對速度a的大小。

例2的加速度矢量圖如圖5所示。由于桿勻速轉(zhuǎn)動，質(zhì)點M相對于桿勻速運動，可得a=a=0。牽連加速度的法向矢量沿著MO方向，且其大小為，a，科氏加速度方向垂直于O1A其大小為a=2？棕u，應用余弦定理求出其絕對加速度大小，a=，并且由幾何關(guān)系？準=∠OOM=arctan。才能絕對加速度的大小。

從例2的速度和加速度分析可以看出，應用點的合成運動方法，需要處理復雜的幾何關(guān)系，得到某個瞬時質(zhì)點的速度和加速度。雖然瞬時分析法每個瞬時的速度和加速度方向能夠直觀的呈現(xiàn)出來。但是速度和加速度的全程的定量結(jié)果不能直觀呈現(xiàn)，更不方便求解質(zhì)點運動的弧長。

1.2 全程分析方法

應用全程分析法對于例2的求解過程如下：在如圖2所示的直角坐標系oxy中，其直角坐標形式的參數(shù)運動方程為：

利用對時間求導的方法可得其速度v2和加速度a2的大小的表達式分別為：

質(zhì)點M在[0，t1]的時間間隔內(nèi)運動的弧長s2為

同理可求得例1和例3的參數(shù)方程，速度v1和v3、加速度a1和a3以及運動的弧長s1和s3。從以上的全程分析法的求解過程可以看出，此類問題質(zhì)點每一個時刻的速度，加速度和弧長的大小都直觀的呈現(xiàn)出來。endprint

2 數(shù)值仿真及討論

（a）例1軌跡 （b）例2軌跡 （c）例3軌跡

在全程分析法的基礎(chǔ)上，為深入了解這三種情況下的質(zhì)點M的運動軌跡，其速度，加速度和弧長的定量規(guī)律。本文進行了數(shù)值仿真，仿真參數(shù)如下：r0=0.05，u=0.03，？棕=60轉(zhuǎn)/分，t=4秒。得到了三種情況下的軌跡、速度、加速度和弧長。

圖6（a，b，c）分別為例1、2和3的運動軌跡。從圖中可以看出，例2中質(zhì)點走過的象限慢于例1，而例3中質(zhì)點走過的象限快于例1。再有例1為等速螺線，其軌跡之間的間距相等，而例2和3 開始時螺距不等，但隨著時間的增大，螺距將趨于定值。

圖7-9 分別為三種情況下的速度、加速度和走過的弧長，從圖7-8可以看出，時間t 從0開始，在微小的時間段內(nèi)，例3 的速度和加速度都明顯大于例1 和例 2。但是隨著時間的繼續(xù)增大，經(jīng)過一個微小的時間段后，例1的速度、加速度都達到最大。其次是例 3，例2的速度和加速度始終最小。從圖98可以看出，例1 的弧長在三者之中最大，其次分別是例3和例2。圖7-9還可以看出當時間t足夠大時，例2 和例3 的速度和加速度和弧長趨向于同一值的趨勢。

3 工程應用

例1中當r0=0，質(zhì)點M的軌跡螺線是阿基米德螺線，阿基米德螺線在生活中的例子很多，如蚊香、CD光盤的槽道、衛(wèi)生紙、鐘表發(fā)條等。從圖7-9可知，在相同的時間間隔內(nèi)，例1的速度，加速度和弧長最大。因此采用例1形成的阿基米德螺線效率更高。例如在蚊香生產(chǎn)中，阿基米德螺線蚊香視覺上更美觀，而且在同等的時間內(nèi)，可以制成更多的蚊香等。

凸輪機構(gòu)廣泛的應用于多種自動機械和自動控制裝置中[4]，例如數(shù)字航拍攝像機等[5]。凸輪機構(gòu)具有結(jié)構(gòu)緊湊、傳動平穩(wěn)等優(yōu)點。正因為如圖6（a）所示的例1形成的螺線可以設(shè)計成阿基米德凸輪，基于例2和例3生成的螺線軌跡可以設(shè)計成偏置凸輪，凸輪示意（下轉(zhuǎn)第12頁）（上接第5頁）圖如圖10所示。

傳統(tǒng)糧食加工工具石磨，在《天工開物》中已有記載。我國石磨通常下盤靜止，上盤逆時針轉(zhuǎn)動[3]，網(wǎng)絡圖片如圖11所示。可把直角桿看成刻在旋轉(zhuǎn)定盤上的溝槽，質(zhì)點M看成物料。從圖6軌跡圖可以看出，三種情況的物料的絕對軌跡都是逆時針的，所以石磨下盤的物料槽都是逆時針旋向。從速度和加速度圖7-8可以看出，例2 的速度和加速度是最低的。這可以解釋為什么“大多數(shù)石磨上盤進料槽的開口方向和上盤轉(zhuǎn)動方向相反”，如逆時針轉(zhuǎn)動的石磨的進料槽的開口方向卻是順時針，這樣可以使物料獲得最小的速度和加速度，這樣能夠使物料有足夠的時間在磨盤上充分研磨，不至于很快的流出磨盤。

4 結(jié)論

本文質(zhì)點在勻速轉(zhuǎn)動的直桿和直角桿上的運動的速度和加速度分析，比較了瞬時分析法和全程分析法。瞬時分析法盡管在得到某瞬時點的速度和加速度以及它們的方向方面較為方便。但全程分析法得到全程的速度、加速度和弧長的大小變化規(guī)律更直觀、簡便。全程分析法分析更為復雜運動學問題中的優(yōu)勢作用應予以足夠的重視，使之在教學中的比重有所增強。

【參考文獻】

[1]馮立富，郭書祥，李穎.點的合成運動與“全程分析法”[J].空軍工程大學學報（自然科學版），2002，3（5）：86-87.

[2]候密山，胡玉林.工程力學（Ⅲ）[M].東營：中國石油大學出版社，2007：31-41.

[3]尤明慶，蘇承東.關(guān)于石磨力學原理的注記[J].力學與實踐，2014，36（4）：520-523.

[4]王東.基于Pro＼E關(guān)系式凸輪輪廓曲線精確設(shè)計[J].機械設(shè)計，2010，27（8）：31-34.

[5]黃靜，王岱，高曉東，楊世洪.大面陣數(shù)字航測相機像移補償?shù)膶崿F(xiàn)[J].光電工程，2006，33（5）：27-30.

[責任編輯：田吉捷]endprint