宋惠

摘 要：隨著社會經(jīng)濟的快速發(fā)展，人們的生活質(zhì)量有了顯著提高，越來越多的人開始關(guān)注教育，重視課程體系對學生學業(yè)學習的影響，作為高中數(shù)學中較為基礎(chǔ)的定理，正弦定理和余弦定理的學習不僅包括對其原理的證明，同樣也包括對其解題技巧的理解，這便要求教師從定理出發(fā)，聯(lián)系先前學習的三角函數(shù)，結(jié)合當前學生學情，有方法有技巧的進行解題技巧的講授，適當進行模擬訓練，以鍛煉學生數(shù)學思維，提高其對定理的理解與運用。

關(guān)鍵詞：正弦定理 余弦定理 解題功能

引 言

眾所周知，在進行三角函數(shù)相關(guān)題目的分析時，如何運用正弦定理與余弦定理不僅決定著解題的思路與方向，同樣也決定著題目解答過程的進展程度，影響著題目能否解答。在進行三角形相關(guān)題目的分析時，往往會出現(xiàn)已知部分要素求解未知要素的情況，這便要求解答者合理運用正、余弦定理以及其變式，對題目已知條件進行分析，進而得出未知要素的數(shù)據(jù)。由此可見，正、余弦函數(shù)的原理證明以及其解題功能至關(guān)重要，是高中數(shù)學教學中極為重要的部分，理應(yīng)受到教師的重視與關(guān)注，這不僅是高中課程標準所要求的內(nèi)容，同樣也是教育改革發(fā)展所要求的內(nèi)容。

一、知識點分析

（一）、定理的原理分析。眾所周知，正弦定理即在任一三角形中，其對邊與對角的正弦值的比恒為一個常數(shù)，余弦定理即三角形任一一角的余弦值均可用含有其三邊的數(shù)學表達式進行表達，這不僅說明三角形的邊與角具有一定的量化關(guān)系，同樣也說明已知三角形的部分要素，可以通過定理求解其未知要素，是高中數(shù)學三角問題中較為常見的定理，是三角函數(shù)的進一步運用。該定理的證明可通過在直角三角形中，借助三角函數(shù)進行邊與角的分析，得出其定理表達式，并推導到一般情況，從而驗證對所有三角形，該定理均成立。

（二）、定理的重要性分析。正、余弦定理的學習不僅能夠使學生理解三角形要素之間的關(guān)系，了解解三角形的基本步驟，同樣也能促進其幾何思維的形成，鍛煉其邏輯思考能力，提高其個人基本的學科素質(zhì)與科學作風。另一方面，通過對正、余弦定理的學習，學生將回顧先前所學的三角函數(shù)，為后續(xù)解三角形打下基礎(chǔ)，以此體現(xiàn)正、余弦定理的解題功能，促進學生數(shù)學思維習慣的形成。

（三）、定理的運用分析。眾所周知，在進行解三角形問題的解答時，通過分析題目中已知要素條件，明確未知要素與求解要素，分析其邊角間的相關(guān)聯(lián)系，探討正弦定理與余弦定理的選取與表達式，以此求得所需要素條件，進而對題目進行解答。這不僅體現(xiàn)出較為明確的邏輯思考過程，象征數(shù)學思維的運用，同樣也體現(xiàn)出正、余弦定理的解題功能，是對定理原理的進一步理解與運用。

二、知識點歸納

（一）、正、余弦定理的證明。眾所周知，正、余弦定理的證明以直角三角形為由，通過對直角三角形中邊與角進行分析，探討其之間的量化關(guān)系，并借助三角函數(shù)進行表達，得出初步的表達方程式，并在銳角三角形與鈍角三角形的情況下進行一般性驗證，以得到該表達式的一般方程，從而得出定理。

（二）、正弦定理的不同形式。正弦定理表達的是三角形邊與其角的正弦值之間的相互關(guān)系，通過對其方程的變形，可以得出以下變形式：

形式一：，其中R表式該三角形外接圓的半徑。

形式二：，表式的是角到邊的關(guān)系轉(zhuǎn)換。

形式三：，表達的是邊到角的關(guān)系轉(zhuǎn)換。

（三）、余弦定理的不同形式

余弦定理表達的是三角形角的余弦值與其三邊之間的相互關(guān)系，通過對其方程的變形，可以得出以下變形式：

形式一：，表達的是其邊到角的轉(zhuǎn)換過程。

形式二：；

；，表達的是其角到邊的轉(zhuǎn)換過程。

三、正、余弦定理的解題功能

（一）、已知兩角及其對邊條件

眾所周知，在解三角形問題中，題目往往會給出已知邊或角的條件，這便要求答題者在進行題目分析時充分理解題意，合理進行正、余弦定理的選取。在遇到已知兩角及其一邊的條件時，答題者理應(yīng)從邊角關(guān)系入手，選取正弦定理進行解答，例如：在中，已知、、a=1，求解b，該題目可通過正弦定理直接求解。

（二）、已知兩邊及其對角條件

在了解已知兩角及其對邊，求解另一邊的問題后，已知兩邊及其對角，求解另一角的問題也可用相同方法進行求解，例如：在中，已知、，求解，該題目同樣也可通過正弦定理直接求解，值得注意的是在求得的數(shù)值進而解B時，需要分析其角的大小關(guān)系，以此確定其解的唯一性。

（三）、已知兩邊及其夾角條件

眾所周知，題目在提供已知邊與角的數(shù)值時，往往也會出現(xiàn)已知兩邊及其夾角，求解第三邊的情況，這并不滿足正弦定理及其任一變式，也無法借助外接圓進行求解，在這種情況下，余弦定理運用便顯得至關(guān)重要，例如：在中，已知，求解b，該題目可通過余弦定理的變形式直接求解。

結(jié) 論

由此可見，正、余弦函數(shù)的解題功能不僅表現(xiàn)在其對三角形求角問題的解答，同樣也體現(xiàn)在其對三角形求邊問題上的解答。在已知兩邊一角或兩角一邊的情況下，通過對三角形已知要素的分析，合理運用正、余弦定理的變形，借助三角函數(shù)定義，對三角形未知要素進行求解，以獲得題目所需數(shù)據(jù)，從而完成三角形相關(guān)題目的解答，這不僅體現(xiàn)出正、余弦定理的解題功能，同樣也象征著定理與題目間的相互關(guān)系，是教學過程中極為重要的分析部分。

參考文獻：

[1] 張仁威，陳華云.合理選擇正余弦定理解題[J].中學生數(shù)學，2011（07）：44+43.

[2] 玉邴圖.正余弦定理面面觀[J].數(shù)理化學習（高中版），2008（03）：20-21.

[3] 徐小良.《正弦定理、余弦定理》教學過程淺析[J].科技經(jīng)濟市場，2014（10）：184+183.