從良法

眾所周知，放縮就是將不能求和的數(shù)列轉(zhuǎn)化為可以求和的數(shù)列。既然是轉(zhuǎn)化為可求和的數(shù)列，那么應(yīng)當(dāng)使轉(zhuǎn)化盡可能的“精確”。例如：

已知數(shù)列，，其前項(xiàng)和為，證明：.

這個(gè)證明比較簡(jiǎn)單，只需要將

然后保留第一項(xiàng)不放縮既可證明。而如果要證明，如果用上述方法則需要保留前兩項(xiàng)才可以。

如果只保留一項(xiàng)顯然通過(guò)這種放縮方法是行不通的。因此我們要提高放縮的精確度，我們可以修改放縮方法提高精確度。

如果這樣做精確度高了很多，這樣子放縮就只需要保留一項(xiàng)既可以了。

如果要證明，對(duì)的放縮就需要更進(jìn)一步提高精確度了。在此我們可以用：

保留兩項(xiàng)做到，如下：

如果少保留項(xiàng)數(shù)的話我們就必須更進(jìn)一步提高精確度。事實(shí)上我們可以將：

這樣做精確度顯然又提高了。因?yàn)?，因此只要證明比這個(gè)小都可以做到。

通過(guò)上面的例子我們不難得出，放縮的越精確，得到的結(jié)果越好，越接近于原先的和值。提高的精確度的路徑有兩條，一是改變放縮方法提高精確度，二是多保留幾項(xiàng)。

筆者參加一次課課堂評(píng)比活動(dòng)，某老師最后將遞推數(shù)列化到證明，對(duì)于這個(gè)她講了三種方法，分別如下。

方法一：利用真分?jǐn)?shù)的性質(zhì)，也就是 “糖水不等式”。

轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和.

方法二：也是將其轉(zhuǎn)化為等比求和.

方法三：迭代思想，.

以上三種解法保留第一項(xiàng)不變，從第二項(xiàng)開(kāi)始放縮都可以得到答案。然后老師將試題變?yōu)?，學(xué)生就放縮不出來(lái)了。老師說(shuō)這幾種方法都行不通，于是從函數(shù)角度分析了它所謂的本質(zhì)。方法一和方法二最后都是放縮到等比數(shù)列去，為了提高精確度學(xué)生發(fā)現(xiàn)保留三項(xiàng)都不可以。

因?yàn)?/p>

但是所以這種方法行不通了；

事實(shí)上如果繼續(xù)保留四項(xiàng)還是行不通。問(wèn)題出在放縮的精確度過(guò)了，也就是放多了，為此我們要提高放縮的精確度。事實(shí)上方法三是非常好的方法。因?yàn)檫@個(gè)關(guān)系始終成立！所以我們有如下放縮：

觀察對(duì)比不難發(fā)現(xiàn)這兩種放縮主要相差在第四項(xiàng)的處理上，顯然迭代的放縮精確度提高了。我們不妨把第三種放縮的方法稱為“類等比放縮”，也就是轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列去求原數(shù)列的“近似和”。

繼08年浙江卷數(shù)列退出壓軸后，15年又重新歸來(lái)，其主要考查的就是遞推數(shù)列。而用“類等比放縮”是一種很好的方法用以解決遞推數(shù)列放縮，下面舉例說(shuō)明。

例1 已知數(shù)列，

（1）若數(shù)列從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)都大于1，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若，記是數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：

分析：這是高三期末測(cè)試卷.第一問(wèn)略，我們考慮到要證明的式子左邊有字母，而右邊是前項(xiàng)和.因此只需證明 .

，通過(guò)特征方程的不動(dòng)點(diǎn)易求的.

下面我們用“類等比放縮”就可以輕松完成證明。

，

例2 已知數(shù)列，，，.記，

求證：當(dāng)時(shí)，（1）；（2）；（3）

分析：這是2008年浙江省高考理科最后一題，（1）（2）略.這里用“類等比放縮”證明第三問(wèn)；

不妨記，即證.由題目易知

，這里我們先求“類等比數(shù)列”的公比：于是有

例3 已知為過(guò)原點(diǎn)的二次函數(shù)，對(duì)于任意的有

數(shù)列滿足 .

（1）求函數(shù)；

（2）證明：；

（3）證明：

分析：這是杭州市高三模擬試題.由題不難求出，第二問(wèn)先求出，然后作差即可證.第三問(wèn)后半部分的證明比較簡(jiǎn)單，有了（2）的基礎(chǔ)即可證明.這個(gè)題最難證明的是：

如何說(shuō)明呢？我們從題設(shè)分析左邊有，而，因此可轉(zhuǎn)化為證明.這就又回到了“類等比放縮”

于是“類等比數(shù)列”的公比就求出來(lái)了，于是：

通過(guò)上面的幾個(gè)例子不難發(fā)現(xiàn)，“類等比放縮”的確可以提高放縮的“精確度”，而且很多遞推數(shù)列可以轉(zhuǎn)化到“類等比數(shù)列”上去。最后我們?cè)俅沃赋龇趴s法證明數(shù)列不等式時(shí)精確度越高越好，提高的路徑有兩條，一是改變放縮方法提高精確度，二是多保留幾項(xiàng)，但是一般不超過(guò)三項(xiàng)。endprint