宋 宇, 丁曉紅

(上海理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,上海 200093)

基于耗散極值原理的漸進(jìn)結(jié)構(gòu)成長(zhǎng)方法

宋 宇, 丁曉紅

(上海理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,上海 200093)

目前的傳熱通道設(shè)計(jì)普遍使用的是傳統(tǒng)密度法,密度法有一個(gè)不被大家重視的問(wèn)題就是偽密度問(wèn)題.因?yàn)槭褂脗蚊芏?每一個(gè)單元導(dǎo)熱系數(shù)都不是真實(shí)存在的,當(dāng)將這些單元篩選后,和真實(shí)值存在差異.針對(duì)此問(wèn)題提出了基于火積耗散極值原理的漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法,通過(guò)比較分析,采用以生長(zhǎng)為主退化為輔的策略,整體火積耗散在3個(gè)不同算例下比密度法篩選后的結(jié)果分別小了14%,24%,9%,即先生長(zhǎng)后退化的雙向漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法在真實(shí)情況下是一種比傳統(tǒng)密度法更優(yōu)秀的優(yōu)化方法.

耗散極值; 傳熱通道; 漸進(jìn)結(jié)構(gòu)法; 密度法

1 研究背景及意義

隨著電子元器件集成度的提高,工作時(shí)產(chǎn)生的熱量急劇增加.小空間大熱流密度會(huì)使電子元件發(fā)生引線(xiàn)疲勞、芯片斷裂、鍵合點(diǎn)腐蝕等破壞,將嚴(yán)重影響使用壽命.將高導(dǎo)熱材料布置在高熱流密度的電子產(chǎn)品內(nèi)部,將熱量快速導(dǎo)出是解決這類(lèi)問(wèn)題的有效途徑[1].

目前的傳熱通道設(shè)計(jì)普遍使用的是傳統(tǒng)密度法,密度法有一個(gè)不被大家重視的問(wèn)題就是偽密度問(wèn)題.因?yàn)?使用偽密度,每一個(gè)單元的導(dǎo)熱系數(shù)都不是真實(shí)存在的,當(dāng)將這些單元篩選后,同真實(shí)值存在差異.

偽密度篩選過(guò)濾后,與真實(shí)值存在差異的原因如圖1所示,圖中的數(shù)值是單元導(dǎo)熱系數(shù)的偽密度,截圖只是整個(gè)分析域中的一小部分.數(shù)值0對(duì)應(yīng)低導(dǎo)熱材料的導(dǎo)熱系數(shù)值,數(shù)值1對(duì)應(yīng)高導(dǎo)熱材料的導(dǎo)熱系數(shù)值,數(shù)值在0～1之間代表導(dǎo)熱系數(shù)的偽密度,即導(dǎo)熱系數(shù)在低導(dǎo)熱和高導(dǎo)熱之間,按偽密度值線(xiàn)性分布.

圖1 單元偽密度Fig.1 Pseudo density

由于是采用密度法,使偽密度的值逐漸趨于0和1兩個(gè)極端,為了保證密度矩陣不奇異,所以,并不存在0值.若將其篩選過(guò)濾,即將趨近于0的值變?yōu)?,將趨近1的值變?yōu)?，結(jié)果將變差.因?yàn)?單元數(shù)量多,雖然每個(gè)單元都接近于0,但是,當(dāng)大量接近0的偽密度單元都變?yōu)?時(shí),差異就變大了.

可以用一個(gè)具體例子來(lái)說(shuō)明,經(jīng)典的一端熱沉均布熱源傳熱結(jié)構(gòu)如圖2所示,設(shè)計(jì)空間是邊長(zhǎng)為0.1 m的正方形.內(nèi)部設(shè)計(jì)域Ωd內(nèi)存在均勻生熱率Q1,Q1=6×104W/m3.設(shè)計(jì)區(qū)域四周邊界為絕熱.在下邊界存在Dirichlet邊界ΓT,邊界溫度T0=0 ℃,邊界長(zhǎng)度L1=0.01 m.低導(dǎo)熱材料的導(dǎo)熱系數(shù)為1 W/(m·K),高導(dǎo)熱材料的導(dǎo)熱系數(shù)為400 W/(m·K),體積約束為30%.

圖2 一端熱沉均布熱源Fig.2 Uniformheat source with single heat sink

利用Ansys編程分析.因?yàn)?，密度法已?jīng)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行了懲罰,密度法結(jié)果數(shù)據(jù)基本都分布在0.7以上和0.3以下,所以,這里將大于0.7的值都過(guò)濾為1,其他值過(guò)濾為0.如圖3所示,未過(guò)濾前,最高溫度為3.42 ℃,算術(shù)平均溫度為2.37 ℃.過(guò)濾后，最高溫度為7.60 ℃,算術(shù)平均溫度為3.22 ℃.

圖3 一端熱沉密度法分析結(jié)果Fig.3 Topology configuration and temperature distribution using density method with single heat sink

篩選過(guò)濾后,最高溫度上升了122%,算術(shù)平均溫度上升了36%.由此可以看出，密度法中的偽密度是一個(gè)不可忽視的問(wèn)題.

2 漸進(jìn)結(jié)構(gòu)成長(zhǎng)法

2.1 概述

根據(jù)過(guò)增元所提出的火積耗散理論,熱量在介質(zhì)中傳遞的過(guò)程是不可逆的,熱流傳遞過(guò)程的熱耗散就是火積耗散[2].傳熱過(guò)程中的火積耗散Φ可以表示為[3]

Φ=-q·T=k2

(1)

傳熱計(jì)算中單元體的火積耗散可以表示為[4-7]

Φm,n=-qm,n·

(2)

式中:m,n表示單元節(jié)點(diǎn)坐標(biāo);km,n為單元的材料導(dǎo)熱系數(shù).

對(duì)于某一固定的傳熱過(guò)程,火積耗散值最小時(shí),傳熱過(guò)程熱量損失最小,傳熱效率最高,這就是火積耗散極值原理[8].

過(guò)增元提出的火積耗散極值理論可以簡(jiǎn)單理解為:在設(shè)計(jì)區(qū)域、熱源及邊界條件都相同時(shí),整體的火積耗散越小,熱流的損失越小,傳熱效率越高.

在設(shè)計(jì)區(qū)域、熱源及邊界條件都相同時(shí),只要找到使整體的火積耗散最小的結(jié)構(gòu),也就找到了傳熱效率最高的結(jié)構(gòu).因此,以下數(shù)學(xué)模型都以整體的火積散值最小為目標(biāo).為了達(dá)到這個(gè)目標(biāo)值,本文采用了雙向漸進(jìn)結(jié)構(gòu)法[9-10].雙向漸進(jìn)結(jié)構(gòu)法有退化和生長(zhǎng)2個(gè)方向,因此,也就有以退化為主和生長(zhǎng)為主2種方式.本文將依次介紹2種方法.并針對(duì)3種不同的算例,分別用2種方法進(jìn)行分析.

通過(guò)對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較,分析以整體的火積耗散值最小為目標(biāo)時(shí)2種方法的優(yōu)劣,也就是生長(zhǎng)機(jī)制和退化機(jī)制的優(yōu)劣.最終確定漸進(jìn)結(jié)構(gòu)法的成長(zhǎng)機(jī)制,并與密度法相比較,得出結(jié)論.

2.2 退化為主的雙向漸進(jìn)結(jié)構(gòu)法

退化為主的漸進(jìn)結(jié)構(gòu)成長(zhǎng)法數(shù)學(xué)模型可以描述為

(3)

式中:kp為高導(dǎo)熱材料的異熱系數(shù);k0為低導(dǎo)熱材料的異熱系數(shù);J為火積耗散;Q為設(shè)計(jì)區(qū)域內(nèi)的生熱率;Ωs為設(shè)計(jì)區(qū)域;ΓD為設(shè)計(jì)區(qū)域的熱沉;ΓN為設(shè)計(jì)區(qū)域的非熱沉邊界;Ω為設(shè)計(jì)區(qū)域面積;Φ為材料體積分?jǐn)?shù).

這個(gè)數(shù)學(xué)模型所表達(dá)的意思是:在滿(mǎn)足導(dǎo)熱微分方程和各種邊界條件下,基于火積耗散極值原理，不斷地將高導(dǎo)熱材料中火積耗散最小的單元更替為低導(dǎo)熱材料,最終尋找到整體火積耗散變化最小的結(jié)構(gòu).因?yàn)?每次更替的都是對(duì)整體傳熱貢獻(xiàn)最小的單元,所以,整體火積耗散升高最小,即整體的火積耗散值變化最小.這就保證了更替這些單元相對(duì)于更替同樣多其他單元的情況下整體的火積耗散值是最小的.

先退化后生長(zhǎng)的雙向漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化法優(yōu)化流程如圖4所示.

a. 按照要求建立幾何模型,將設(shè)計(jì)區(qū)域內(nèi)所有材料賦予高導(dǎo)熱材料,并設(shè)定熱邊界條件.

b. 在Ansys中對(duì)全局進(jìn)行熱分析,計(jì)算出每個(gè)單元的節(jié)點(diǎn)溫度,獲得溫度云圖,將溫度數(shù)據(jù)導(dǎo)入Matlab中.

c. 在Matlab中,根據(jù)節(jié)點(diǎn)溫度計(jì)算單元的溫度梯度,得到每個(gè)單元的節(jié)點(diǎn)溫度梯度,獲得溫度梯度云圖.

d. 計(jì)算每個(gè)單元的火積耗散.

e. 按照設(shè)定的退化率,將火積耗散最小的單元更替為低導(dǎo)熱材料.

f. 對(duì)全局進(jìn)行熱分析,重復(fù)b—e的步驟,直到計(jì)域中低導(dǎo)熱結(jié)構(gòu)的體積達(dá)到生長(zhǎng)起始條件.

g. 開(kāi)啟生長(zhǎng)模塊,此時(shí),每次生長(zhǎng)迭代之后都進(jìn)行一次生長(zhǎng)迭代,所謂的生長(zhǎng)就是從單元中尋找火積耗散最大的單元更替為低導(dǎo)熱材料.

h. 按照整體火積耗散值的變化率和體積分?jǐn)?shù)判定是否收斂,如果整體火積耗散值基本不變,根據(jù)火積耗散極值原理,說(shuō)明結(jié)構(gòu)的傳熱性能基本不變,則循環(huán)結(jié)束.

圖4 優(yōu)化流程(1)Fig.4 Optimization process (1)

2.3 生長(zhǎng)為主的雙向漸進(jìn)結(jié)構(gòu)法

數(shù)學(xué)模型可以描述為

(4)

這個(gè)數(shù)學(xué)模型所表達(dá)的意思是:在滿(mǎn)足導(dǎo)熱微分方程和各種邊界條件下,基于火積耗散極值原理不斷地改變單元的導(dǎo)熱系數(shù),最終尋找到整體火積耗散最小的結(jié)構(gòu).

優(yōu)化流程如圖5所示.

圖5 優(yōu)化流程(2)Fig.5 Optimization Process (2)

a. 按照要求建立幾何模型,將設(shè)計(jì)區(qū)域內(nèi)所有材料賦予低導(dǎo)熱材料,并設(shè)定熱邊界條件.

b. 在Ansys中，對(duì)全局進(jìn)行熱分析,計(jì)算出每個(gè)單元的節(jié)點(diǎn)溫度,獲得溫度云圖，將溫度數(shù)據(jù)導(dǎo)入Matlab中.

c. 在Matlab中，根據(jù)節(jié)點(diǎn)溫度計(jì)算單元的溫度梯度,得到每個(gè)單元的節(jié)點(diǎn)溫度梯度,獲得溫度梯度云圖.

d. 計(jì)算每個(gè)單元的火積耗散.

e. 按照設(shè)定的進(jìn)化率,將火積耗散最大的單元更替為高導(dǎo)熱材料.

f. 對(duì)全局進(jìn)行熱分析,重復(fù)步驟b—e,直到計(jì)域中高導(dǎo)熱結(jié)構(gòu)的體積達(dá)到退化起始條件.

g. 開(kāi)啟退化模塊,此時(shí)，每次生長(zhǎng)迭代之后都進(jìn)行一次退化迭代,所謂的退化就是尋找結(jié)構(gòu)體四周的邊界單元,從單元中尋找火積耗散最小的單元更替為低導(dǎo)熱材料.

h. 按照整體火積耗散值的變化率和體積分?jǐn)?shù)判定是否收斂,如果整體火積耗散值基本不變,根據(jù)過(guò)增元的火積耗散極值原理,說(shuō)明結(jié)構(gòu)的傳熱性能基本不變,則循環(huán)結(jié)束.

3 數(shù)值算例

對(duì)圖2,6,7這3個(gè)算例,用不同的方法進(jìn)行分析.

圖6 兩端對(duì)稱(chēng)熱沉均布熱源Fig.6 Uniformheat source with two symmetric heat sinks

圖7 四角熱沉均布熱源Fig.7 Uniform heat source with fourcorner heat sinks

用密度法對(duì)圖6和圖7進(jìn)行優(yōu)化,結(jié)果如圖8和圖9所示(見(jiàn)下頁(yè)).

利用以退化為主的漸進(jìn)結(jié)構(gòu)成長(zhǎng)法對(duì)圖2,6,7進(jìn)行優(yōu)化,所得結(jié)果如圖10～12所示(見(jiàn)下頁(yè)).

利用以生長(zhǎng)為主的漸進(jìn)結(jié)構(gòu)成長(zhǎng)法對(duì)圖2,6,7進(jìn)行優(yōu)化,所得結(jié)果如圖13～15所示(見(jiàn)下頁(yè)).

圖9 四角熱沉密度法分析結(jié)果Fig.9 Topology configuration and temperature distribution using the density method with four corner heat sinks

圖10 一端熱沉結(jié)構(gòu)分析結(jié)果(1)Fig.10 Topology configuration and temperature distribution using the degeneration dominated BESO with single heat sink (1)

圖11 兩端熱沉結(jié)構(gòu)分析結(jié)果(1)Fig.11 Topology configuration and temperature distribution using the degeneration dominated BESO with two symmetric heat sinks (1)

圖12 四角熱沉結(jié)構(gòu)分析結(jié)果(1)Fig.12 Topology configuration and temperature distribution using the degeneration dominated BESO with four corner heat sinks (1)

圖13 一端熱沉結(jié)構(gòu)分析結(jié)果(2)Fig.13 Topology configuration and temperature distribution using the generation dominated BESO with single heat sink (2)

圖14 兩端熱沉結(jié)構(gòu)分析結(jié)果(2)Fig.14 Topology configuration and temperature distribution using the generation dominated BESO with two symmetric heat sinks (2)

圖15 四角熱沉結(jié)構(gòu)分析結(jié)果(2)Fig.15 Topology configuration and temperature distribution using the generation dominatedBESO with four corner heat sinks (2)

按照3個(gè)算例分類(lèi),將所有優(yōu)化數(shù)據(jù)整合到表1～3中.

表1 一端熱沉均布熱源算例Tab.1 Calculation example of the uniform heatsource with single heat sink

表2 兩端熱沉均布熱源算例Tab.2 Calculation example of the uniform heat source with two symmetric heat sinks

表3 四角熱沉均布熱源算例Tab.3 Calculation example of the uniform heat sourcewith four corner heat sinks

N代表迭代次數(shù),T1代表最高溫度,T2代表平均溫度,J代表整體火積耗散.

方法1代表傳統(tǒng)密度法，方法2代表經(jīng)過(guò)過(guò)濾處理后的密度法,方法3代表先退化雙向漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化法,方法4代表先生長(zhǎng)雙向漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化法.

綜合3個(gè)表中的數(shù)據(jù)來(lái)看,密度法迭代次數(shù)最高,是其他兩種方法的2～7倍，可以看出，密度法迭代計(jì)算效率最低.

生長(zhǎng)為主的雙向漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化法比退化為主的雙向漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化法,在迭代次數(shù)上低19%～57%,在整體火積耗散上低39%～50%，由此發(fā)現(xiàn),在基于火積耗散極值原理優(yōu)化時(shí),其成長(zhǎng)機(jī)制在尋優(yōu)能力上優(yōu)于退化機(jī)制.

4 結(jié) 論

通過(guò)對(duì)不同策略的漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化法進(jìn)行研究,發(fā)現(xiàn)在基于火積耗散極值原理優(yōu)化時(shí),成長(zhǎng)機(jī)制在尋優(yōu)能力上優(yōu)于退化機(jī)制.通過(guò)3個(gè)算例結(jié)果進(jìn)行比較分析,整體火積耗散在3個(gè)不同算例下比密度法篩選后的結(jié)果分別小了14%,24%,9%,在真實(shí)情況下,用以生長(zhǎng)為主的雙向漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化法進(jìn)行優(yōu)化優(yōu)化設(shè)計(jì),其結(jié)果的傳熱能力比傳統(tǒng)密度法更優(yōu)秀.

[1] 榮見(jiàn)華,謝憶民,姜節(jié)勝,等.漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的現(xiàn)狀與進(jìn)展[J].長(zhǎng)沙交通學(xué)院學(xué)報(bào),2001,17(3):17-23.

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(編輯:石 瑛)

Evolutionary Structural Optimization Method Based on the Principle of Extremum Entranspy Dissipation

SONG Yu, DING Xiaohong

(SchoolofMechanicalEngineering,UniversityofShanghaiforScienceandTechnology,Shanghai200093,China)

The variable density method has been mostly adopted in designing cooling channels.However,it still has some major drawbacks.The thermal conductivity of the material,in physical truth,should be a certain value.However,based on the variable density method,this value can vary between the upper and lower bounds (high and low thermal conductivity),hence needs to be manually adjusted.A bi-directional evolutionary structural optimization (BESO) method based on the principle of extremum entranspy dissipation was proposed to enhance the heat transfer efficiency.Three numerical examples were studied and the simulation results reveal that by the extremum entranspy dissipation method,it shows the overall entranspy dissipation is 14%,24%,and 9% less then that by the conventional variable density method.

entranspydissipation;coolingchannel;evolutionarystructuraloptimization;variabledensitymethod

1007-6735(2017)04-0334-06

10.13255/j.cnki.jusst.2017.04.006

2017-02-16

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51175347)

宋 宇(1988-),男,碩士研究生.研究方向:結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì).E-mail:songyu99631@163.com

丁曉紅(1965-),女,教授.研究方向:結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì).E-mail:dingxhsh021@126.com

TH 11

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