任鳳琦

【中圖分類號(hào)】G633.6

已知圓： 和點(diǎn)

（1） 若過點(diǎn)M有且只有一條直線與圓O相切，求實(shí)數(shù)a的值，并求出切線方程；

（2）若 ，過點(diǎn)M的圓的兩條弦AC，BD互相垂直，求 的最大值.

分析：

（1） 由于點(diǎn)M有且只有一條直線與圓O相切，所以點(diǎn)M在圓上.

（2） 設(shè) ，則

思考1： 根據(jù)基本不等式： ，只能求 的最小值，而不能求其最大值.

思考2： 根據(jù)重要不等式：

，

知道， 要求 的最小值，只需證明 為定值.當(dāng)然，上述兩個(gè)不等式中，等號(hào)成立的充要條件都是 .

解：（1） 由于點(diǎn)M有且只有一條直線與圓O相切，所以點(diǎn)M在圓上.

當(dāng) 時(shí)，切線方程為：

當(dāng) 時(shí)，切線方程為：

（2） 方法1（幾何法）：分別作 ，垂足為E、F，設(shè) 則 .

當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)， 取到最大值 .

方法2（代數(shù)法）：

①當(dāng)AC垂直于x軸時(shí)， BD垂直于y軸， 此時(shí)，

②設(shè)直線AC的方程為：

由 ，得

設(shè) ，則 .

.

設(shè)直線BD的方程為： 只要把 表達(dá)式中的k替換為 ，就得到 .

當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)， 取到最大值 .

綜合①②，顯然， 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)， 取到最大值 .endprint