徐晴 彭玉明

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基于火星軌道器的著陸器定位誤差及可觀性分析

徐晴1,2彭玉明1,2

（1 上海衛(wèi)星工程研究所，上海 201109）（2 上海市深空探測技術(shù)重點實驗室，上海201109）

針對深空探測過程中地面測控數(shù)傳能力及著陸器星上功率受限等問題，文章提出了以軌道器為中繼站的火星著陸器測量定位方法，旨在工程約束條件下分析地面測控站對著陸器的跟蹤情況、軌道器與著陸器之間的可觀性以及不同著陸點定位精度的差異，并給出相應(yīng)的誤差改善措施。該手段充分利用軌道器星上設(shè)備，達到提高定位精度的目的。結(jié)果表明，軌道器與著陸器之間通信的可見性要好于著陸器直接對地通信，有利于著陸器位置的確定；此外，通過幾何因子和克勞美羅下限分析發(fā)現(xiàn)，若著陸器的著陸點位于軌道器星下點區(qū)域內(nèi)，其定位精度較差。該方法充分利用軌道器與著陸器間的UHF通信鏈路，可為中國首次火星自主探測任務(wù)中著陸器的安全著陸提供參考。

火星探測 多普勒測速 最小二乘法 克勞美羅下限

0 引言

火星探測是國際深空探測領(lǐng)域的熱點。我國首次自主火星探測任務(wù)于2016年初批復(fù)立項，該探測任務(wù)集“繞、落、巡”三步一體，具有開啟月球以遠深空探測里程碑的深遠意義。

火星著陸器著陸于火表后，對地傳輸?shù)姆绞接袑Φ刂苯油ㄐ藕推鏖g間接通信兩種?？紤]到地火間距離遠，火星表面存在大氣衰減，探測器即使具備高增益天線對地通信能力，直接對地傳輸信息速率仍較低。以“火星探測漫游者”和“火星科學(xué)實驗室”任務(wù)中所采用的多頻制方案為例，采用10s時間完成1個狀態(tài)遙測的傳送，信息速率為0.8bit/s[1]；此外，地面站對著陸器的跟蹤測量還存在火星遮擋及通信盲區(qū)等問題[2]。文獻[2]分析了我國深空地面站對“火星探路者”號的跟蹤及覆蓋情況，結(jié)果表明跟蹤時長為總時長的一半。美國的“好奇”號和“機遇”號探測器在進入、下降和著陸過程（Entry，descent and landing，EDL）以及最后著陸火表后的導(dǎo)航定位均依賴軌道器的中繼測量。中繼通信具備著陸器與軌道器通信距離短、軌道器直接對地通信能力強等優(yōu)勢[3]。NASA以往軟著陸探測器的EDL過程中返向通信碼速率可達到4~32kbit/s。未來由火星軌道器組成的中繼網(wǎng)是輔以著陸器安全著陸定位的重要手段[4]；與地面GPS類似，軌道器與著陸器間的相對位置關(guān)系影響兩者間的可觀性，進而也影響著陸器的定位精度。

針對我國首次自主火星探測任務(wù)，本文提出了以軌道器為中繼站，基于軌道器與著陸器間雙程無線電測速測量的方式來獲取著陸器位置的方案；對比器間通信與器地通信兩者的可見性，并分析測量模型的可觀性對定位精度的影響。該手段充分利用軌道器星上設(shè)備，在不增加額外成本的情況下提高設(shè)備利用率，提高著陸器定位精度。

1 著陸器測量模型

在我國火星探測的任務(wù)背景下，本文提出單個軌道器對著陸器的靜態(tài)定位方法。軌道器與著陸器之間采用雙程測速方式[5]，以高穩(wěn)頻率源為基準，收發(fā)信機在兩器之間提供器間通信射頻信道[6]。若軌道器接收機測得不同時刻頻移量（也稱觀測量）為?k，軌道器與著陸器的相對徑向速度為kr，則火星固連坐標系下，頻移與兩器間相對徑向速度的關(guān)系為

式中kr為軌道器與著陸器的相對徑向速度；是kr在火星固連坐標系下的三個分量，可用待求的著陸器狀態(tài)量L表示；0為軌道器發(fā)射信號的基頻；為光速，忽略相對論效應(yīng)。式（1）為表征觀測量?k與狀態(tài)量L間非線性的觀測方程，對其線性化得：

（2）

式中k為觀測量與狀態(tài)量的轉(zhuǎn)移矩陣；,,為L在火星固連坐標系下的三個分量。給定著陸器位置估計初值，基于迭代最小二乘算法，利用一系列不同時刻軌道器接收機解調(diào)后的頻移量迭代修正初值，最終得到著陸器的位置信息。

軌道器軌道參數(shù)的準確性是決定著陸器定位精度的重要因素。軌道測定主要通過地面站測距、測速以及測角獲得[7]。無線電測距、測速可以直接獲取軌道器相對于地面站的視向距離或視向速度，但對于垂直于視向的位置和速度不敏感[8]。由于軌道器與地面站的距離甚遠，無線電信號微弱，測量精度受限且系統(tǒng)誤差變大，以角度表示的測量精度也會越來越差。目前關(guān)于深空遠距離探測器測角方式主要采用甚長基線干涉測量（Very Long Baseline Interferometry，VLBI）技術(shù)[9]，通過兩個相距數(shù)千米的觀測站同時跟蹤軌道器信號，測量軌道器信號到達兩站的時間差，進而得到軌道器位置矢量與基線的角度信息。目前我國主要的VLBI地面站有：北京、上海、昆明和烏魯木齊。根據(jù)我國目前VLBI深空測控的能力以及工程約束條件[9]，本文給定軌道器在火星慣性坐標系下三個方向的位置誤差為1km，三個方向的速度誤差為1m/s。

2 著陸器對地通信及器間可見性

探測器發(fā)射升空后，測控通信系統(tǒng)是探測器與地球聯(lián)系的唯一方式[10]。由于火星、地球以及太陽間的相對運動，火星的遮擋以及日凌都會對探測器的跟蹤測量造成影響，使得探測器無法與地球?qū)崿F(xiàn)全天候的連續(xù)通信[11]。

假定著陸器于2021年8月底開始科學(xué)任務(wù)，歷時1個月，著陸點取在火星赤道平面內(nèi)。首先考慮著陸器直接對地通信的情況，仍然選取前文中四個VLBI地面站對著陸器的通信情況進行分析，發(fā)現(xiàn)著陸器每個火星日平均對地可通信時間約6h，1個月內(nèi)總的通信時長為205.84h。圖1表征了地球、火星和太陽相對運動過程中，日–器–地夾角（Sun-Probe-Earth，SPE）和日–地–器夾角（Sun-Earth-Probe，SEP）的變化情況，當SEP和SPE均小于5°時，上下行鏈路無法正常通信，通過仿真得到：這1個月內(nèi)的科學(xué)任務(wù)中，圖1中最后1天SEP和SPE均存在小于5°的情況，造成約1.8h無法正常對地通信。

圖1 日凌對著陸器直接通信的影響

以軌道器實現(xiàn)中繼通信過程中，軌道器與著陸器的器間通信可見主要考慮到火星遮擋及天線仰角的限制[12]，著陸器的覆蓋區(qū)是指以火星表面著陸點為中心的某一可觀區(qū)，當軌道器的星下點位于可觀區(qū)內(nèi)，則軌道器相對于著陸器而言即為可觀。可觀區(qū)的大小與兩器間的仰角有關(guān)，當仰角滿足一定約束條件時，軌道器是可觀的。著陸器觀察軌道器的仰角是指：在含著陸器、火心和軌道器的平面內(nèi)，軌道器視線方向與著陸器當?shù)厮矫嬷g的夾角。在平面內(nèi)仰角可表示為

式中e為火星半徑；為軌道器到火心距離；為著陸器位置矢量與軌道器位置矢量的夾角。

仍然考慮著陸器位于火星赤道面內(nèi)的情況，選取仰角≥5°為約束條件，在MATLAB仿真中給出單圈內(nèi)軌道器與著陸器滿足通信弧段的時長占整個周期的比例。如圖2所示，橫坐標表示軌道器環(huán)繞圈數(shù)的序號，例如，（28,0.53）表示第28圈內(nèi)軌道器與著陸器滿足通信弧段的時長占整個周期的比例為53%。仿真發(fā)現(xiàn)：由于火星自轉(zhuǎn)造成軌道器與著陸器間的相對運動，軌道器單軌內(nèi)有的可通信弧段長，有的可通信弧段短，甚至有的環(huán)繞圈數(shù)內(nèi)不存在可通信弧段。通過計算，著陸器科學(xué)任務(wù)1個月內(nèi)器—器可通信總時長約217h，高于著陸器對地直接通信的時長。

圖2 單圈內(nèi)可通信弧段時長占整個軌道周期的比例

3 模型可觀性分析

軌道器自身位置與速度誤差確定后，軌道器與著陸器間的幾何位置關(guān)系、軌道器對著陸器不同測量時刻的間隔弧段都會影響著陸器的定位精度，這與系統(tǒng)的可觀性息息相關(guān)。可觀性是指系統(tǒng)的狀態(tài)能夠由已有的量測數(shù)據(jù)唯一確定的能力，若系統(tǒng)不具備可觀性，那么系統(tǒng)狀態(tài)就不能被完全估計[13-14]。可觀測度是對可觀性的量化表述，下面針對本文的測速模型，引入幾何因子和條件數(shù)兩種量化方式來進行可觀測度求解。

3.1 幾何因子分析

幾何因子能夠定量地反映軌道器與著陸器間的幾何位置對著陸器最終定位誤差的影響情況，下面從多普勒測速模型入手簡要說明。由著陸器測量模型可知，頻移量與狀態(tài)量間的關(guān)系為

式中為赤經(jīng)；為赤緯；表示求模。根據(jù)信息論的相關(guān)知識，克勞美羅下限（Cramer-Rao Low Bound，CRLB）可作為反映某點的定位誤差協(xié)方差陣的參數(shù)，固連坐標系下著陸器在某個著陸點的CRLB為

（6）

式中c即為式（6）右邊矩陣對角線上的元素。

3.2 條件數(shù)分析

軌道器對著陸器不同測量時刻的間隔弧段也會影響著陸器的定位精度，這里采用條件數(shù)進行描述。條件數(shù)反映了系統(tǒng)解隨觀測數(shù)據(jù)中誤差變化的敏感程度，是系統(tǒng)本質(zhì)、內(nèi)部結(jié)構(gòu)特性的反映[16]。對于線性系統(tǒng)=而言，當狀態(tài)存在微小擾動時，由矩陣擾動理論可知

式中為本文測量模型的觀測量，相當于章節(jié)1中的?k；為觀測量與狀態(tài)量間的轉(zhuǎn)移矩陣，相當于章節(jié)1中的k；為狀態(tài)量，用待求的著陸器的位置量表示；d和d是方程左右兩邊的擾動項；d是由此引起的的擾動項。將Cond()定義為條件數(shù)，即反映外界擾動對系統(tǒng)解精度影響的上界。Cond()越小，狀態(tài)的微小擾動對最終解算精度影響越小，解的可靠性越高。由矩陣范數(shù)可知，選取合適的系統(tǒng)參數(shù)使條件數(shù)接近1，系統(tǒng)對外界擾動誤差變化的敏感度越不明顯。

不考慮外界誤差源的影響，著陸器的位置由軌道器經(jīng)過三次多普勒測速即可解算，即

式中1r,2r,3r為三次測量時軌道器與著陸器的相對徑向速度；p為固連坐標系下著陸器的速度矢量；1,2,3為三次測量時軌道器的速度矢量；1,2,3分別為三次不同時刻著陸器與軌道器間視線單位矢量。將這些矢量在固連坐標系下各自的分量代入展開后可得：

（10）

將式（10）轉(zhuǎn)換為如下表達式

式中，和分別為：。

根據(jù)條件數(shù)Cond()的相關(guān)理論應(yīng)使量測方程的Cond()達到最小，從而獲得不同測量點的間隔弧段。

4 仿真條件及分析

為驗證本文提出的基于單個軌道器的雙程測速模型以及該模型可觀性分析手段的可行性，下面給出仿真實例。仿真過程中軌道器位置參數(shù)由地面確定，著陸器標稱位置假定在赤道上，以火心赤緯和火心赤經(jīng)表示。本文采用雙程測速方式，信號基頻取400MHz，轉(zhuǎn)發(fā)比為1，多普勒測量準確度取10mHz。仿真過程中著陸器的定位精度受到軌道器位置參數(shù)誤差、收發(fā)信機的基頻誤差、傳播過程中的大氣頻偏誤差[17]、火星引力場模型的不確定性以及宇宙背景輻射等影響，本文考慮前三個主要誤差源。

4.1 多軌測量精度分析

軌道器單軌測量時，由于可見弧段較短，測量的數(shù)據(jù)量少且有效性較低，為提高著陸器的定位精度，考慮利用軌道器多軌測量的信息共同解算。圖3給出了2軌、4軌情況下著陸器定位精度的情況。由仿真結(jié)果發(fā)現(xiàn)：以每2軌測量得到的數(shù)據(jù)進行仿真，著陸器的位置誤差在10km以內(nèi)；以每4軌測量數(shù)據(jù)仿真時，著陸器位置誤差可以縮減到4km左右。

（a）2軌測量 （b）4軌測量

4.2 幾何因子和條件數(shù)分析

（1）幾何因子分析

根據(jù)3.1節(jié)關(guān)于幾何因子的闡述，軌道器與著陸器的相對位置也是影響著陸器最終定位的關(guān)鍵因素。在火星表面采用網(wǎng)格化搜索方式，選取不同的著陸點位置坐標，經(jīng)度變化范圍為–180o~180o，緯度變化范圍為–90o~90o，同時考慮軌道器星下點軌跡的覆蓋情況，得到圖4中關(guān)于火星表面不同著陸點的GDOP分布和定位誤差值。

（a）幾何因子分布等高線圖 （b）軌道器星下點軌跡（1圈）

（a）Contour map of GDOP （b）Substral point of orbiter (1 circle)

（c）不同著陸位置的誤差大小 （d）軌道器星下點軌跡（7圈）

由仿真結(jié)果可知：圖4（a）中等高線圖的紅色部分表示數(shù)值大，與圖4（b）對比發(fā)現(xiàn)軌道器星下點附近的GDOP要高于遠離星下點軌跡的區(qū)域；圖4（c）誤差大小的仿真結(jié)果是在考慮了器間通信弧段約束、不同誤差源影響以及多圈測量情況下得到的，且圖4（c）的誤差分布情況與圖4（d）的多圈星下點軌跡一致，表明當著陸器的標稱位置取在星下點附近區(qū)域時，著陸器的定位精度比較差。這是由于當軌道器經(jīng)過著陸器天頂時，軌道器與著陸器的相對徑向速度變化小，測量數(shù)據(jù)的有效性低，因此導(dǎo)致誤差較大。

（2）條件數(shù)分析

不考慮外界誤差的影響，理論上軌道器只需對著陸器進行三次測量就能獲得著陸器的位置坐標，但不同測量時刻的間隔時間仍會對定位精度造成影響[18-20]。根據(jù)條件數(shù)Cond()的相關(guān)理論，應(yīng)使量測方程的Cond()達到最小，條件約束為軌道器與著陸器三次的視線方向都是單位矢量，即：

仿真計算發(fā)現(xiàn)：當軌道器對著陸器三次測量時三次視線方向滿足兩兩正交的條件，系統(tǒng)誤差和過程測量誤差對最后的定位精度影響最小，1,2,3兩兩視線方向之間的夾角計算結(jié)果均為1.57rad。實際測量過程中考慮到軌道器與著陸器間的可見弧段有限，未必存在兩兩正交的情況，此時要求三個矢量間的夾角盡可能地接近90o。

5 結(jié)論

以軌道器為中繼站的火星著陸器測量定位，旨在分析軌道器軌道類型以及環(huán)繞圈數(shù)對著陸器最終定位精度的影響。結(jié)果表明，若采用2軌環(huán)繞測量，著陸器定位精度提高到10km以內(nèi)；若圈數(shù)繼續(xù)增加，定位精度繼續(xù)提高。軌道器與著陸器的相對位置也是影響最終定位的重要因素。通過幾何因子和克勞美羅下限分析發(fā)現(xiàn)若著陸器的著陸點位于軌道器星下點區(qū)域內(nèi)，其定位精度較差。該手段充分利用軌道器星上設(shè)備提供輔助信息，增加地面對著陸器跟蹤測量的手段。

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（編輯：夏淑密）

Error and Observability Analysis for Mars Lander Positioning Based on Orbiter Measurement

XU Qing1,2PENG Yuming1,2

（1 Shanghai Institute of Satellite Engineering, Shanghai 201109, China）（2 Shanghai Key Laboratory of Deep Space Exploration Technology, Shanghai 201109, China）

Aiming at the challenges of deep space limited telemetry capability of telemetry, tracking and command (TT&C) stations and restricted power of lander, a novel two-way doppler range rate measurement based on relay orbiter is presented in this paper. This research aims to analyze tracking condition of lander from ground TT&C stations and consider observability between two probes. Position precisions of different landing sites are revealed. This paper finally provides several solutions to improve lander’s precision. This method takes advantage of orbiter’s communication devices to increase position precision efficiently. The results indicate that observability of orbiter-lander communication is better than lander’s direct communication to earth, which is beneficial for lander’s position determination. By analysis of geometric dilution of precision and Cramer-Rao lower bound, when landing site is within the area of orbiter ground track, position precision will get worse. This method takes good use of ultra-high frequency (UHF) link between orbiter and lander and these conclusions could provide valuable references for lander’s safe landing of China’s first independent Mars exploration program.

Mars exploration; doppler range rate measurement; least square method; Cramer-Rao lower bound

V448

A

1009-8518(2017)04-0018-09

10.3969/j.issn.1009-8518.2017.04.003

徐晴，女，1992年生，2017年獲上海航天技術(shù)研究院碩士學(xué)位。研究方向為深空探測器總體技術(shù)。E-mail: qqqw2012@ 126.com。

彭玉明，男，1984年生，2011年獲南京航空航天大學(xué)碩士學(xué)位。研究方向為深空探測器制導(dǎo)、導(dǎo)航與控制技術(shù)。

2017-04-16

國家重點基礎(chǔ)研究發(fā)展計劃（973計劃）項目（2014CB744200）