北京北方長(zhǎng)城光電儀器有限公司 徐衛(wèi)星

靜態(tài)中立體帶電導(dǎo)體電荷分布概率的計(jì)算及趨膚效應(yīng)的詮釋

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為了能夠了解導(dǎo)體內(nèi)電荷的分布概況,利用麥克斯韋方程組中電場(chǎng)積分式,令其電場(chǎng)強(qiáng)度與閉環(huán)回路(或封閉空間)的積分和為零的理念,建立坐標(biāo)模型和數(shù)學(xué)模型進(jìn)行運(yùn)算求得分布概率結(jié)果所采用的一種方法。

麥克斯韋方程積分式；庫(kù)侖定律；導(dǎo)體內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度處處為零；電荷分布概率；趨膚效應(yīng)

引言

上兩篇論文闡述了對(duì)線性帶電導(dǎo)體電荷分布概率的計(jì)算方法(發(fā)表在《電子技術(shù)與軟件工程》2016年16期第138頁(yè) 國(guó)際刊號(hào)ISSN 2095-5650)和對(duì)平面帶電導(dǎo)體電荷分布概率的計(jì)算方法(發(fā)表在《電子世界》2017年9月期刊 國(guó)際刊號(hào)ISSN 1003-0522)本次繼續(xù)論述關(guān)于立體導(dǎo)體電荷分布概率的計(jì)算。

1.為了更好地描述這種方法先闡述幾個(gè)基本概念

1.1 立體分割：將帶電導(dǎo)體分割成n×m×l多個(gè)邊長(zhǎng)為2△正方形小塊體。

1.2 中心電荷條（線）：將條狀帶電體分割成n×m多個(gè)邊長(zhǎng)為2△條形狀。

1.3 單端電源：導(dǎo)體一端或兩端與具有電勢(shì)（位）單電源體的連接。（會(huì)形成電荷的靜態(tài)分布）

1.4 雙端電源：導(dǎo)體兩端與具有不同電勢(shì)（位）兩個(gè)電源體的連接。（會(huì)形成電流）

1.5 多端電源：導(dǎo)體多處與兩個(gè)以上具有不同電勢(shì)（位）多個(gè)電源體的連接。（會(huì)形成電流）

1.6 趨膚時(shí)間Th：從電開(kāi)通到形成電密度一致均勻電流的時(shí)間。

1.7 外電場(chǎng)：除導(dǎo)體自身電荷作用以外其它電源電場(chǎng)的作用。

1.8 外層面：帶電導(dǎo)體相對(duì)于外電場(chǎng)力方向所有垂直平面的邊緣環(huán)線。

2.證明論述

2.1 計(jì)算方法：將任意立體的帶電導(dǎo)體分割出n×m×l多個(gè)小正方體。(一般邊長(zhǎng)是2△的正方體)將n×m×l多個(gè)凡是存有電荷小正方體中的電荷量，集中在選定的各自小正方體中的中心電荷點(diǎn)處。n×m×l多個(gè)中心點(diǎn)電荷的相互電場(chǎng)力可利用庫(kù)侖定律建立函數(shù)關(guān)系。再經(jīng)過(guò)合力分解方法轉(zhuǎn)化為三條互相垂直的線性上，令其處處為零。解出各小正方體的電荷量，從而求得各自密度值。

2.2 計(jì)算步驟：在任意立體的帶電導(dǎo)體中任意分割出厚為2△的片，在片上任意分割二條垂直于片平面間距為2△的平行面，在二平行面中取n多個(gè)邊長(zhǎng)2△的正方體，左右外延直至導(dǎo)體的邊緣。將二平行面以同樣方法前后外延m多個(gè)平行面，直至導(dǎo)體的邊緣，將片平面以同樣方法上下外延直至導(dǎo)體的邊緣。并取得n×m×l個(gè)邊長(zhǎng)2△的正方體。在含有導(dǎo)體的小正方體中心確定中心電荷點(diǎn)。（因?qū)w往往處于不規(guī)則形狀，會(huì)有小正方體中沒(méi)有導(dǎo)體存在）利用庫(kù)侖定律建立出每個(gè)中心電荷點(diǎn)相互作用力的關(guān)系，并分解為水平縱向分量、水平橫向分量和垂直分量。建立測(cè)試點(diǎn)使其各自為零。推算出各個(gè)電荷量，便求得電荷分布概率。即：

式中ρijk為電荷體密度，Qijk為中心電荷點(diǎn)電量，V為導(dǎo)體體積。

2.3 可行性論證：在立體導(dǎo)體中任取一個(gè)分割小體積，此處為某一小正方體。如圖1當(dāng)求得測(cè)試點(diǎn)q1、q2、q3、…q12、都為零時(shí)q0測(cè)試點(diǎn)處必為零。其它小正方體具有同理。而當(dāng)n→∞，m→∞，l→∞，△→0時(shí)，因?qū)w是連續(xù)、電荷分布是連續(xù)，所以任意點(diǎn)處在平衡狀態(tài)下是無(wú)電場(chǎng)力和電荷移動(dòng)的存在，任何閉環(huán)的積分必為零。

圖1

3.舉例

為了更好地理解這種方法，下面舉幾個(gè)簡(jiǎn)單而有特性的例子。

3.1 扁正方體帶電導(dǎo)體

3.1.1 環(huán)境與條件：

一塊邊長(zhǎng)為4△×6△×6△的正方體帶有QS電量的導(dǎo)體，在沒(méi)有任何電磁場(chǎng)干擾的理想情況下計(jì)算電荷分布概率。

3.1.2 闡述：

將帶有電荷導(dǎo)體分割為n=3，m=3，l=2，邊長(zhǎng)為2△的18個(gè)小正方體。如圖2,其中Q111、Q112、Q113、Q121、Q122、Q123、Q131、Q132、Q133、Q211、Q212、Q213、Q221、Q222、Q223、Q231、Q232、Q233為中心電荷點(diǎn)，q111y、q112y、q121y、q122y、q131y、q132y、q211y、q212y、q221y、q222y、q231y、q232y為水平橫向測(cè)試點(diǎn)，q111x、q112x、q121x、q122x、q131x、q132x、q211x、q212x、q221x、q222x、q231x、q232x為水平縱向測(cè)試點(diǎn)。

Q11z、q12z、q13z、q21z、q22z、q23z，q31z、q32z、q33z為垂直測(cè)試點(diǎn)。

例如：Q111對(duì)測(cè)試點(diǎn)q132y的電場(chǎng)作用力根據(jù)庫(kù)侖定律為：

（K為庫(kù)侖常量，q為測(cè)試點(diǎn)電量，Q111為中心電荷點(diǎn)電量，r為Q111與q132y的距離），即：

其水平分量為：

以此類推。

3.1.3 圖例：

為了觀察清晰只畫(huà)一部分

圖2

3.1.4 根據(jù)圖示和運(yùn)算方法建立數(shù)學(xué)模型：

3.1.5 運(yùn)算結(jié)果：約去△、K、q解得：

3.2 柱形體帶電體：

3.2.1 環(huán)境與條件：有一條4△×6△長(zhǎng)度很長(zhǎng)的柱形帶電導(dǎo)體。在沒(méi)有任何電磁場(chǎng)干擾的理想情況下，為了便于計(jì)算在柱狀導(dǎo)體軸向上只取2△長(zhǎng)度中存儲(chǔ)電荷量QS0來(lái)加以計(jì)算，進(jìn)行密度的相對(duì)比較。

3.2.2 闡述：如圖3，從第一篇論文中可知非常大平面導(dǎo)體其中部電荷密度值是一樣的，因此可以認(rèn)為在很長(zhǎng)的柱狀導(dǎo)體中軸向方向每條平行條上電荷密度是一致的。而徑向長(zhǎng)度只有4△和6△長(zhǎng),所以徑向電荷會(huì)有很大的變化。在此將柱狀帶電導(dǎo)體分割為n=3，m=2條邊長(zhǎng)2△×2△條狀體,建立6個(gè)中心電荷條（線）ρQi(i=1、2、3、4、5、6)和7個(gè)測(cè)試點(diǎn)q14、q25、q36、q12、q23、q45、q56，l為測(cè)試點(diǎn)到中心電荷條的距離，A為測(cè)試點(diǎn)到電荷點(diǎn)dQi的距離，ρQi為中心電荷條的密度。

由于軸向電荷密度一致，將中心電荷點(diǎn)改用中心電荷條，采用積分的方法將條上各個(gè)電荷點(diǎn)對(duì)測(cè)試點(diǎn)的電場(chǎng)徑向作用力進(jìn)行積分并令其各個(gè)為靜態(tài)，可求得電荷分布概率。

對(duì)于中心電荷條上每個(gè)電荷點(diǎn)ρQi2△dt(i=1、2、3、4、5、6)對(duì)測(cè)試點(diǎn)q的徑向作用力為：

將(3-2)代入(3-1)得：

對(duì)式(3-3)進(jìn)行2倍0-90度的積分。

3.2.3 圖例：

圖3

3.2.4 根據(jù)圖示和運(yùn)算方法建立數(shù)學(xué)模型：

3.2.5 運(yùn)算結(jié)果：約去△、K、q，解得：

3.3 球形帶電體：

如圖4在球形靜態(tài)導(dǎo)體中任取一點(diǎn)A，在過(guò)A點(diǎn)直徑的切平面上電場(chǎng)力為零時(shí)，必然存在這么一種情況，在球內(nèi)有無(wú)數(shù)個(gè)相對(duì)于此直徑的對(duì)稱點(diǎn)，其對(duì)稱點(diǎn)中的電荷密度分別必相等。在此條件下必然存在切面方向的靜態(tài)平衡。而當(dāng)某一趨近于此直徑的對(duì)稱點(diǎn)如B、C兩點(diǎn)若Qb點(diǎn)要等于Qc則ρb必等于ρc。(導(dǎo)體為連續(xù)的電荷分布也是連續(xù)的)由于對(duì)稱性的球形，直徑與B、C兩點(diǎn)可存在于以圓心為軸心的任何球內(nèi)地方，所以同半徑的球形曲面中的電荷密度是相等的。也同時(shí)證明此直徑的所有對(duì)稱點(diǎn)的電荷密度也是分別相等的。而直徑方向電荷密度的變化在上一篇論文圓平面的計(jì)算證明邊緣密度大于中心的，同樣球表面的電荷密度也是大于球心的，由于球體計(jì)算十分復(fù)雜這里就不闡述了。

圖4

4.對(duì)趨膚效應(yīng)的詮釋

在外電場(chǎng)開(kāi)始作用的瞬間，由于靜態(tài)平衡導(dǎo)體外層面的電流密度必定很大，而中心會(huì)很小。而雙端源兩個(gè)端頭的電勢(shì)不同，電荷密度的分布會(huì)有很大的差異，而帶電導(dǎo)體根據(jù)自身所帶容余電荷的不同（或是電子或是空穴）使其端頭的邊緣、中心與雙源兩端頭邊緣、中心產(chǎn)生不同電勢(shì)差，而且會(huì)使一端電勢(shì)差比另一端要大（或?。┨貏e是在外層面上，在極短的時(shí)間內(nèi)使得導(dǎo)體外層面流入流出的電荷量大但不相等。這會(huì)使外層面的電荷密度下降，當(dāng)最外層面的電荷密度下降到與次外層電荷密度一樣時(shí)，最外層面的電荷與次外層電荷會(huì)產(chǎn)生共同變化。成為導(dǎo)體內(nèi)電流密度最大、流入流出此層面電荷差值最大，電荷密度下降最快。同樣繼續(xù)達(dá)到更次外層面電荷密度后又與更次外層面電荷共同變化，依此類推。外層面電流厚度逐漸增加直到與中心電荷密度相同。電流才均勻分布在整個(gè)橫截面上。

這個(gè)過(guò)程再快也是需要時(shí)間。如果是直流或低頻交流即周期T＞Th時(shí)導(dǎo)體會(huì)成為均勻的電阻體，而當(dāng)T≤Th時(shí)只有外層面和其它次外層面成為導(dǎo)體。（即不均勻的電阻體）當(dāng)T〈〈Th導(dǎo)體會(huì)成為非常非常薄外層面的導(dǎo)電體。

在變化過(guò)程中會(huì)不會(huì)產(chǎn)生靜態(tài)分布狀態(tài)?答案是不會(huì)的。因?yàn)樵谕怆妶?chǎng)力作用下無(wú)法產(chǎn)生。如圖5，當(dāng)A區(qū)域電荷在垂直外電場(chǎng)力的平面上移到B區(qū)域，使B區(qū)域電荷密度高于周?chē)鷧^(qū)域時(shí)，很快在外電場(chǎng)力作用下使的流進(jìn)B區(qū)域電荷少于流出的量。直到B區(qū)域電荷密度與周?chē)鷧^(qū)域一樣為止。A區(qū)域也是同樣道理。

圖5

當(dāng)雙端電源為交流時(shí)，兩端電勢(shì)的高低是交替互換的，當(dāng)兩端電勢(shì)差為零時(shí)，會(huì)形成單端效果即導(dǎo)體形成靜態(tài)分布狀態(tài)。周而復(fù)始，產(chǎn)生了趨膚效應(yīng)的機(jī)理。

5.結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)上述的論證得到了以下結(jié)果：

5.1 帶電導(dǎo)體中心與表面的電荷密度值是不相等的，離中心區(qū)域越遠(yuǎn)密度越高。

5.2 處于靜態(tài)平衡的帶電導(dǎo)體，由于電荷密度分布不均勻，在其內(nèi)部不同位置形成的電勢(shì)（位）也不同。

5.3 從不同的角度詮釋了趨膚效應(yīng)，同樣也在驗(yàn)證此論證推理的實(shí)際效果。

有不對(duì)之處請(qǐng)多指正。

[1]迪派克(Dipak,L．S)唯迪斯(Valdis,V．L)著;沈遠(yuǎn)茂等譯．應(yīng)用電磁學(xué)與電磁兼容[M]．北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2009．

[2]汪泉弟,張淮清．電磁場(chǎng)[M]．北京:科學(xué)出版社,2013．

[3]張洪欣,沈遠(yuǎn)茂,韓宇南．電磁場(chǎng)與電磁波[M]．北京：清華大學(xué)出版社,2013．

[4]付云起,張光甫,莫錦軍,吳微微．天線理論與工程[M]．北京:電子工業(yè)出版社,2015．

徐衛(wèi)星（1957-），高級(jí)工程師，主要研究方向：電氣測(cè)量。