金宏平

（湖北汽車工業(yè)學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，湖北 十堰 442002）

獲取材料彈性模量和硬度的壓痕功改進(jìn)方法研究

金宏平

（湖北汽車工業(yè)學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，湖北 十堰 442002）

采用Oliver-Pharr（OP）法計(jì)算材料的彈性模量和壓痕硬度時(shí)，其精度與卸載斜率和殘余壓痕深度的計(jì)算精度直接相關(guān)。為減小卸載斜率和殘余壓痕深度對OP法的影響，根據(jù)量綱分析理論和Π定理，建立了殘余壓痕深度、彈性模量和壓痕硬度與被測材料性能和壓痕參數(shù)之間的無量綱函數(shù)關(guān)系。采用有限元仿真分析，獲得了3個(gè)無量綱函數(shù)的解析表達(dá)式。壓痕試驗(yàn)結(jié)果表明：通過改進(jìn)的壓痕功法有效避免了試驗(yàn)誤差、計(jì)算誤差和人為因素等對卸載斜率和殘余壓痕深度的影響，提高了彈性模量和壓痕硬度計(jì)算的精度。

彈性模量；壓痕硬度；壓痕功

Abstract:The accuracy of elastic modulus and indentation hardness using the Oliver-Pharr method is seriously affected by the calculation accuracy of the unloading slope and residual indentation depth.Based on the dimension analysis theory and Π theorem,the dimensionless function relationship was es?tablished among residual indentation depth,elastic modulus,indentation hardness and material proper?ties,indentation parameters to reduce the influence of unloading slope and residual indentation depth on the OP method.Then,three dimensionless analytic expressions were obtained using the finite ele?ment analysis.The results of indentation experiments show that the improved indentation energy meth?od effectively avoid the influence of the experimental error,calculation error and human factors on the unloading slope and residual indentation depth,and improve the calculation accuracy of elastic modu?lus and indentation hardness

Key words:elastic modulus;indentation hardness;indentation energy

材料的力學(xué)性能測量是一項(xiàng)基本工作，是工程設(shè)計(jì)與使用的基礎(chǔ)和前提條件。在材料的力學(xué)性能中，彈性模量是衡量材料產(chǎn)生彈性變形難易程度的指標(biāo)，是材料最重要、最具特征的力學(xué)性質(zhì)。材料的硬度則反映其抵抗外力侵入的能力，體現(xiàn)了材料彈性、塑性、強(qiáng)度和韌性等綜合力學(xué)性能。

隨著微納制造的迅速發(fā)展，涂層材料的廣泛應(yīng)用以及再制造技術(shù)的異軍突起，使得傳統(tǒng)的力學(xué)性能測試方法已經(jīng)不能滿足目前這些微小構(gòu)件和局部材料性能測試的需要。

20世紀(jì)90年代提出的壓痕測試法就是為了測量微尺度和微區(qū)域的力學(xué)性能而發(fā)展起來的［1］。該方法通過對壓頭（如球壓頭、維氏壓頭、玻氏壓頭等）施加一定的載荷，將其壓入被測材料表層，獲得壓入過程中的載荷-位移曲線，如圖1所示，然后根據(jù)相應(yīng)的理論與方法來獲取材料的各項(xiàng)力學(xué)性能，如材料的彈性模量、硬度、屈服強(qiáng)度、斷裂強(qiáng)度、殘余應(yīng)力等［2-11］。在圖1中，最大壓入載荷為Fm，對應(yīng)的最大壓入深度為hm。加載曲線與水平軸所圍的面積為加載功Wt，卸載曲線與水平軸所圍的面積為彈性恢復(fù)功Wu，兩者之差為材料變形所需的塑性功Wp。初始卸載階段曲線的斜率為S，完全卸載后的殘余壓痕深度為hr。

圖1 壓痕的載荷-位移曲線示意圖

目前，在壓痕測試法中應(yīng)用最廣的是Oliver-Pharr方法（OP法）。Oliver等［2］根據(jù)接觸力學(xué)等理論，提出了壓痕接觸深度hc的計(jì)算公式為

式中：參數(shù)β與壓頭形狀相關(guān)。根據(jù)壓痕硬度的定義，其計(jì)算公式為

式中：Ac為接觸投影面積，與壓頭形狀和接觸深度hc相關(guān)。

Love和Sneddon［1］認(rèn)為在壓痕的初始卸載階段材料處于彈性變形，根據(jù)Hertz彈性接觸理論，建立了減縮彈性模量E*與初始卸載斜率S和接觸投影面積Ac之間存在如下關(guān)系：

式中：Ei、vi分別是壓頭的彈性模量和泊松比；Es，vs分別是被壓材料的彈性模量和泊松比。

從式（1）和式（3）中可以看出，卸載斜率對OP法的精度有著至關(guān)重要的影響。由于大部分材料存在某種程度的蠕變，導(dǎo)致在初始卸載階段，載荷-位移曲線并不是理想的直線，這將會(huì)影響到卸載斜率S的計(jì)算精度。為了減小卸載斜率S的計(jì)算誤差，有些學(xué)者采用不同的卸載段來擬合計(jì)算卸載斜率［11-13］。而當(dāng)選取的卸載段的區(qū)域不同時(shí)，數(shù)據(jù)采集誤差對卸載斜率的擬合誤差的影響也不一樣。同時(shí)，由于涉及到人為的主觀特性，使得該方法缺乏一定的通用性。為了提高卸載斜率的計(jì)算精度，有些學(xué)者首先對卸載曲線部分進(jìn)行擬合［10，14］，確定殘余壓痕深度，然后根據(jù)式（5），利用最小二乘法擬合初始卸載曲線，最后求其導(dǎo)數(shù)來計(jì)算卸載斜率。

式中：h為卸載位移；α、m為擬合值。

從式（5）中可以發(fā)現(xiàn)，最大壓入載荷、最大壓入深度、殘余壓痕深度和初始卸載斜率的精度直接決定了壓痕測試法測量材料硬度和彈性模量的精度。在實(shí)際試驗(yàn)過程中，最大壓入載荷和最大壓入深度的精度較高。而當(dāng)卸載載荷接近于0時(shí)，由于測試需求或儀器本身的原因，卸載曲線的末段數(shù)據(jù)出現(xiàn)缺失或不完整，導(dǎo)致載荷-位移曲線呈現(xiàn)明顯的細(xì)節(jié)差異，使得直接確定殘余壓痕深度存在一定的困難［7］。

可見，彈性模量和壓痕硬度的計(jì)算誤差主要來自于卸載斜率和殘余壓痕深度。因此，為了減小卸載斜率和殘余壓痕深度受數(shù)據(jù)采集、計(jì)算方法和人為因素等的影響，有必要對該方法進(jìn)行改進(jìn)。

1 理論分析

在進(jìn)行壓痕測試時(shí)，由于涉及到的變量較多，為分析方便，文中采用量綱分析理論和∏定理對變量進(jìn)行降維處理［14］。假定半徑為R的剛性球壓頭垂直壓入被測材料表面（材料的彈性模量為Es、屈服強(qiáng)度為σy、硬化指數(shù)為n），壓頭與被壓材料表面之間為無摩擦接觸，被壓材料為各向同性且無殘余應(yīng)力。則在加載過程中，壓入載荷F和接觸深度hc是材料性能參數(shù)和壓痕參數(shù)的函數(shù)。在最大壓入載荷下，其無量綱表達(dá)式可以寫成

接觸深度的無量綱表達(dá)式為

加載功的無量綱表達(dá)式為

在卸載過程中，卸載載荷Fu和最大壓入深度hm有關(guān)。根據(jù)量綱分析及∏定理，完全卸載后，殘余壓痕深度的無量綱表達(dá)式為

彈性恢復(fù)功的無量綱表達(dá)式為

由式（8）和式（10）有

將式（11）進(jìn)行適當(dāng)變換，有

根據(jù)壓痕硬度定義和式（6）～（7），（12）有

同樣根據(jù)式（6），（9），（12）有

從上述分析中可以看出：采用量綱分析可以有效減少自變量的數(shù)量，為后續(xù)的有限元仿真分析提高了效率。而且，無量綱變量H/E*、E*h2m/Fm和hr/hm都是無量綱參數(shù)E*/σy、Wu/Wt、n和hm/R的函數(shù)，與卸載斜率S無關(guān)，從而避免了卸載斜率的計(jì)算誤差對計(jì)算結(jié)果的影響。同時(shí)也將求解殘余壓痕深度的問題轉(zhuǎn)化為計(jì)算壓痕功和最大壓入深度的問題，也能在一定程度上提高計(jì)算精度。

2 有限元仿真計(jì)算與結(jié)果分析

在壓痕試驗(yàn)過程中，壓頭與被測材料之間存在材料彈塑性變形的非線性、接觸變形的非線性和幾何變形的非線性，沒有解析解。為分析方便，采用Abqaus 6.11軟件對壓痕接觸過程進(jìn)行有限元仿真分析，具體的仿真分析過程見文獻(xiàn)［8-9］。

由于試驗(yàn)需求、儀器本身特性以及被測材料的性能，壓痕的卸載曲線末段容易出現(xiàn)數(shù)據(jù)缺失、曲線不連續(xù)或突變等狀況，若采用卸載曲線的末段數(shù)據(jù)來確定殘余壓痕深度會(huì)帶來較大的誤差。如果采用全段卸載曲線的數(shù)據(jù)來確定殘余壓痕深度，能夠避免部分?jǐn)?shù)據(jù)的誤差帶來的影響，從而提高殘余壓痕深度的計(jì)算精度。圖2反映了在不同壓痕深度下，各種性能材料的殘余壓痕深度和最大壓入深度之比與彈性恢復(fù)功和壓痕加載功之間的關(guān)系。從圖2中可以看出，hr/hm與Wu/Wt之間呈顯著的線性關(guān)系，與材料的性能（E*/σy、n）以及壓痕深度hm/R無關(guān)。采用最小二乘擬合方法，得到如式（16）所示關(guān)系（R2=99.91%，SSE=0.008 049）：

圖2 無量綱殘余壓痕深度與無量綱卸載功的關(guān)系

從式（16）可以看出，根據(jù)壓痕的加載功、彈性恢復(fù)功和最大壓入深度，即可獲取壓痕的殘余壓痕深度。而加載功、最大壓入深度和彈性恢復(fù)功可以通過對整個(gè)加載曲線段和卸載曲線段擬合計(jì)算獲取，其精度明顯高于采用部分?jǐn)?shù)據(jù)來計(jì)算得到的殘余壓痕深度的精度。

圖3 E*/(Fm/)與Wt/(Wu-1)之間的關(guān)系曲線

根據(jù)文獻(xiàn)［8-9］有

從式（16）～（18）可以看出：獲取材料的彈性模量和壓痕硬度，不需要計(jì)算卸載斜率和殘余壓痕深度，只需要計(jì)算壓痕的加載功、彈性恢復(fù)功和最大壓入深度即可。3個(gè)參數(shù)的值是根據(jù)壓痕的整個(gè)加、卸載曲線擬合計(jì)算得到，避免了試驗(yàn)數(shù)據(jù)誤差、計(jì)算方法和人為因素等對計(jì)算結(jié)果的影響，從而有效提高材料的彈性模量和壓痕硬度的計(jì)算精度。

圖4 E*/(Fm/m)與hr/(hm-hr)之間的關(guān)系曲線

3 實(shí)驗(yàn)

采用自制的微壓痕試驗(yàn)機(jī)分別對3種材料（12L14、Y12Pb和黃銅）進(jìn)行壓痕試驗(yàn)。試驗(yàn)機(jī)的載荷傳感器的量程為2000 N，精度為0.1%，分辨率為0.1 N。位移傳感器的量程為±0.5mm，分辨率為0.1 μm。壓頭為直徑1mm硬質(zhì)合金球壓頭。在試驗(yàn)中，采用載荷控制，最大壓入載荷為50 N，分別對每個(gè)試樣進(jìn)行10次壓痕試驗(yàn)，典型的載荷-位移曲線如圖5所示。根據(jù)壓痕試驗(yàn)采集到的載荷-位移曲線，分別計(jì)算出最大壓入載荷Fm、最大壓痕深度hm、殘余壓痕深度hr、卸載斜率S以及加載功Wt和彈性恢復(fù)功Wu等。

圖5 不同材料的壓痕試驗(yàn)曲線

從圖5中可以看出：3種材料的性能相差較大。在相同載荷下，黃銅的最大壓入深度最大，而Y12Pb的最大壓入深度最小。在卸載曲線的末段，3種材料的曲線形狀的差別也加大。可見，采用統(tǒng)一的函數(shù)對卸載末段進(jìn)行擬合計(jì)算殘余壓痕深度，會(huì)帶來較大的誤差。為了進(jìn)行精度對比，分別對載荷—位移曲線末段進(jìn)行多項(xiàng)式擬合計(jì)算殘余壓痕深度，然后與式（16）的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比。根據(jù)計(jì)算結(jié)果發(fā)現(xiàn)，采用這2種方法計(jì)算得到的3種材料的殘余壓痕深度的平均誤差分別為0.63%、0.61%和0.37%，表明采用式（16）計(jì)算的殘余壓痕深度可以滿足工程需要。

分別采用OP法和文中提出的方法計(jì)算3種材料的彈性模量和壓痕硬度，結(jié)果如表1所示。從表1中可以看出：2種方法計(jì)算得到的彈性模量的結(jié)果相差較小，而黃銅的壓痕硬度相差較大，主要原因是黃銅較軟，在壓痕周邊出現(xiàn)較明顯的材料堆積現(xiàn)象，使得接觸深度的計(jì)算誤差較大，從而導(dǎo)致OP法得到的壓痕硬度較高。從計(jì)算結(jié)果對比中可以看出，采用文中提出的方法能夠代替OP法來獲取材料的彈性模量和壓痕硬度。

表1 不同方法計(jì)算結(jié)果的比較

4 結(jié)論

采用OP法計(jì)算材料的彈性模量和壓痕硬度，容易受到卸載斜率和殘余壓痕深度的誤差的影響。采用量綱分析理論和∏定理，對壓痕的加卸載過程進(jìn)行分析，建立了殘余壓痕深度、彈性模量和壓痕硬度與被測材料性能和壓痕參數(shù)之間的無量綱函數(shù)關(guān)系。采用有限元仿真分析，得到了3個(gè)無量綱函數(shù)的解析表達(dá)式，建立了彈性模量、壓痕硬度與壓痕功的解析模型。通過壓痕試驗(yàn)驗(yàn)證，表明文中提出的改進(jìn)方法能夠獲得較高精度的彈性模量和壓痕硬度，滿足工程需要。

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Study of an Improved Indentation Energy Method for Obtaining Elastic Modulus and Hardness of Materials

Jin Hongping
（School of Mechanical Engineering,Hubei University of Automotive Technology,Shiyan 442002,China）

TH871；TB302.3

A

1008-5483（2017）03-0033-05

10.3969/j.issn.1008-5483.2017.03.009

2017-03-23

湖北省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（2014CFB623）；湖北汽車工業(yè)學(xué)院博士基金項(xiàng)目（BK201303）

金宏平（1973-），男，湖北仙桃人，副教授，博士，從事測試技術(shù)及應(yīng)用方面的研究。E-mail：hp_jin@163.com