董麗沙，王湘玉

(河北科技師范學院 a.數(shù)學與信息科技學院，b.工商管理學院，河北 秦皇島，066004)

基于三叉樹模型的美式期權定價及其Matlab算法

董麗沙a，王湘玉b

(河北科技師范學院 a.數(shù)學與信息科技學院，b.工商管理學院，河北 秦皇島，066004)

研究了存在連續(xù)紅利的美式期權定價的數(shù)值解法，通過尋找三叉樹模型中各個結點處標的資產(chǎn)價格的通項公式，得到了美式期權數(shù)值解的迭代公式及Matlab算法，結合Matlab比較了三叉樹模型的穩(wěn)定性優(yōu)于二叉樹模型，并通過控制變量法，直觀地得到了美式期權價值對其各個影響因素的敏感性結果分析：美式看漲期權的價值與無風險利率、標的資產(chǎn)價格及其波動率和期權持有期呈正相關，與敲定價格呈負相關。

美式期權；三叉樹；Matlab；控制變量；敏感性

對于期權的定價很早就有人進行了探索，但都因包含一些主觀參數(shù)而幾乎不具有實用價值。1973年，Black F等[1]得到了描述期權價格變化所滿足的偏微分方程，即B-S公式，為各種以市價價格變動定價的衍生金融工具的合理定價奠定了基礎。B-S模型的一個局限性問題就是沒有考慮標的股票在合同有效期內(nèi)發(fā)放紅利的情況。1976年，Merton將其推廣到股票價格可能會存在跳躍點的情形，包含了標的股票連續(xù)支付紅利的情況，將模型的實用性推進了一大步。

雖然B-S模型對于歐式期權有精確的定價公式，然而目前尚沒有得到美式期權定價的解析解，其原因就在于美式期權在到期前的任何時刻都可以被執(zhí)行。1979年，Cox J C等[2]為B-S模型提供了一個比較簡單和直觀的方法——二叉樹期權定價，通過將連續(xù)時間進行等分，從而將標的物價格的連續(xù)變化近似看作離散的隨機游走過程。該模型已成為建立復雜期權(美式期權和奇異期權)定價模型數(shù)值解求解的基本手段。梁義娟等[3]介紹了美式期權定價的幾種常見方法，尤其對二叉樹方法和蒙特卡羅方法的數(shù)值模擬結果進行了比較。劉帥[4]引入波動率模型，建立了二叉樹定價方法求解存在紅利和交易費用的美式看漲期權的價值，研究了計算方法的穩(wěn)定性和收斂性。在考慮隨機波動率和隨機利率的前提下，武斌等[5]建立了歐式期權的三叉樹定價模型，并通過風險中性測度理論的假設，得到了更切合現(xiàn)實市場的歐式期權定價公式。

1 模型簡述

不同于以往的資產(chǎn)價格表示模型，為了更加直觀地構造期權價值矩陣中各個結點與其期權價值的對應關系，本次研究設定初始時刻為t1，即0=t1

圖1 多期三叉樹標的資產(chǎn)價格示意圖

在期權到期時刻T(tn+1)時，美式期權的價值可由下式確定：

美式看漲期權，vn+1, j=max{Sundj-1-K, 0},(j=1,2,…,2n+1)

美式看跌期權，vn+1, j=max{K-Sundj-1, 0},(j=1,2,…,2n+1)

其中K是期權的敲定價格。

類似于二叉樹期權定價模型的算法，基于三叉樹模型依然采用向后倒推的方法給美式期權定價。由風險中性估計公式，得到在任意結點(i,j)(i=1,2,…,n；j=1,2,…,2i-1)處美式期權價值的迭代公式：

美式看漲期權，vi, j=max{Sui-1dj-1-K, e-rΔt(puvi+1, j+pmvi+1, j+1+pdvi+1, j+2)}

美式看跌期權，vi, j=max{K-Sui-1dj-1, e-rΔt(puvi+1, j+pmvi+1, j+1+pdvi+1, j+2)}

2 模型求解及Matlab算法的實現(xiàn)

何穎俞[7]根據(jù)二叉樹模型定價理論，利用原點矩和中心距的關系推廣得到三叉樹下相關參數(shù)的計算公式：

基于上述討論，存在連續(xù)紅利的美式期權三叉樹定價模型的Matlab數(shù)值算法(M文件)如下：

function[value]=fun1(S,K,T,r,sig,n) %r為實際利率與連續(xù)紅利之差

dt=T/n;

M=(exp(r*dt)+exp((3*r+3*sig^2)*dt)-exp((2*r+sig^2)*dt)-1)/(2*(exp((2*r+sig^2)*dt)-exp(r*dt)))

u=M+sqrt(M^2-1)

d=1/u;

p1=((1+d)*exp(r*dt)-exp((2*r+sig^2)*dt)-d)/((d-u)*(u-1))

p2=((u+d)*exp(r*dt)-exp((2*r+sig^2)*dt)-1)/((1-d)*(u-1))

p3=((1+u)*exp(r*dt)-exp((2*r+sig^2)*dt)-u)/((d-u)*(1-d))

%T時刻即t(n)時刻期權價值：

for t=1:1:2*n+1

V(n+1,t)=max(S*u^n*d^(t-1)-K,0); %美式看漲期權

%V(n+1,t)=max(S*u^n*d^(t-1)-K,0); %美式看跌期權

end

%(i,j)結點處期權價值(i=1,2,.n,j=1,2,.2i-1)：

for i=n:-1:1

for j=1:1:2*i-1V(i,j)=max(S*u^(i-1)*d^(j-1)-K,(exp(-r*dt)*(p1*V(i+1,j)+p2*V(i+1,j+1)+p3*V(i+1,j+2)))); %美式看漲期權

%V(i,j)=max(K-S*u^(i-1)*d^(j-1),(exp(-r*dt)*(p1*V(i+1,j)+p2*V(i+1,j+1)+p3*V(i+1,j+2))));%美式看跌期權

end

end

value=V(1,1)

3 實例研究

已知一個1年的美式看漲期權，股票初始價格為100，執(zhí)行價格為100，無風險利率為每年0.1，股票價格波動率為每年0.4，連續(xù)支付紅利率為0.05。

(1)研究美式期權定價的二叉樹、三叉樹中隨著參數(shù)n的變化期權價值的變化。

通過調(diào)用二叉樹算法(Matlab算法見附錄)和三叉樹算法的M文件:

for n=1:1:40

y1(n)=fun1(100,100,1,0.05,0.4,n);%調(diào)用美式期權三叉樹定價M文件

y2(n)=fun2(100,100,1,0.05,0.4,n);%調(diào)用美式期權二叉樹定價M文件

axis([0 40 0 25]);

plot(n,y2(n),′*′)

plot(n,y1(n),′r.′)

hold on

end

圖2 隨著樹叉數(shù)的增加二叉、三叉樹圖法計算期權價值

x=1:1:40;

plot(x,y2,′--′,x,y1,′r-′)

分別得到二叉樹和三叉樹下隨著樹叉增加時美式看漲期權價值的變化情況(圖2)。其中虛線和實線分別表示二叉樹和三叉樹下隨著叉數(shù)的增加期權價值的變化過程?？梢钥闯觯S著樹叉數(shù)的逐漸增多，二叉樹、三叉樹模型所得的數(shù)值解都可以趨于穩(wěn)定，但顯然當樹叉數(shù)N≥10時，三叉樹的期權價值已基本趨于穩(wěn)定，而二叉樹的穩(wěn)定性卻沒有三叉樹良好。

(2)美式期權價值對各個因素的靈敏度分析。

期權的敏感性是指期權價值對其決定因素變動的敏感程度或反應程度[8]。從美式期權的三叉樹定價模型中，可以看到影響期權價值的因素有標的資產(chǎn)的價格S，期權的執(zhí)行價格K，期權到期日T，無風險利率r和波動率σ。針對上述例子，利用Matlab程序，通過控制變量法(對某一因素進行分析時，其他因素不變)，分別分析各因素對美式看漲期權價值的影響。

圖3 美式看漲期權對各因素的敏感性分析

由圖3(a)可以直觀得到美式看漲期權的價值與其標的資產(chǎn)價格呈正相關，這與看漲期權期權價值對標的資產(chǎn)價格的敏感性理論結果一致，即看漲期權的風險指標Delta為正，在其他變量不變的條件下，資產(chǎn)價格越高，看漲期權的價格越高[9]。

圖3(b)直觀得出，在其他變量不變的條件下，敲定價格越高，看漲期權的價值越低。因為期權的內(nèi)在價值由敲定價格與標的資產(chǎn)價格決定，而對于看漲期權而言，期權的內(nèi)在價值等于標的資產(chǎn)價格與敲定價格在初始時刻折現(xiàn)值之差，所以，看漲期權價值與標的物敲定價格呈負相關。

圖3(c)，圖3(d)可以看出，無風險利率(也是標的資產(chǎn)的期望收益)和標的資產(chǎn)價格波動率分別與看漲期權的價值成正相關，期權的價格依賴于未來的不確定性。

圖3(e)說明，在其他變量不變的情況下，看漲期權持有期越長，期權價值越高，這是由于期權的時間價值所決定。

本次研究通過適當修改三叉樹模型中各個結點處標的資產(chǎn)價格的通項公式，清晰地得到了基于三叉樹模型的美式期權價值的數(shù)值求解方法，并給出了相應的Matlab程序。通過實例，驗證了三叉樹模型的期權定價公式的穩(wěn)定性更加優(yōu)于二叉樹模型，并通過控制變量法，得到了美式看漲期權價值對各因素敏感性分析變化圖，以便于掌握期權的價格變動，有助于衡量和管理風險。本次研究關于美式期權的三叉樹定價模型及程序也可為復雜期權三叉樹期權定價提供參考。

[1] Black F,Scholes M.The Pricing of Option and Corporate Liabilities[J].Journal of Political Economy,1973,81(3):637-654.

[2] Cox J C,Ross S A,Rubinstein M.Option Pricing:A Simplified Approach[J].Journal of Financial Economy,1979,7(3):229-263.

[3] 梁義娟,徐承龍.美式期權定價的數(shù)值方法[J].應用數(shù)學與計算數(shù)學學報,2013,27(1):101-113.

[4] 劉帥.考慮隨機性因素的美式期權二叉樹圖定價方法[J].統(tǒng)計與決策,2013(15):83-85.

[5] 武斌,王玉文.隨機利率與隨機波動率下三叉樹模型下歐式期權的定價[J].哈爾濱師范大學自然科學學報,2016,32(1):7-10

[6] Boyle P P.Option Valuation Using a Tree-Jump Process[J].International Options Journal,1986,3:7-12.

[7] 何穎俞.美式期權的三叉樹定價模型[J].黑龍江大學自然科學報,2008,25(1):81-84.

[8] 宮文秀,高凌云.復合期權的三叉樹定價模型[J].統(tǒng)計與決策,2016(18):83-86.

[9] 葉中行,衛(wèi)淑芝,王安嬌.數(shù)理金融基礎[M].北京:高等教育出版社,2015:201-207.

(責任編輯：朱寶昌)

附錄1

二叉樹定價美式期權

function[val]=fun2(S,K,T,r,sig,n)

dt=T/n;

u=exp(sig*sqrt(dt));

d=1/u;

p=(exp((r)*dt)-d)/(u-d);

for t=1:1:n

V(n,t)=max(S*u^(n-t)*d^(t-1)-K,0);%美式看漲

%V(n,t)=max(K-S*u^(n-t)*d^(t-1),0);%美式看跌

end

V;

for i=n-1:-1:1

for j=1:1:i

V(i,j)=max(S*u^(i-j)*d^(j-1)-K,(exp(-r*dt)*(p*V(i+1,j)+(1-p)*V(i+1,j+1))));%美式看漲

%V(i,j)=max(K-S*u^(i-j)*d^(j-1),(exp(-r*dt)*(p*V(i+1,j)+(1-p)*V(i+1,j+1))));%美式看跌

end

end

val=V(1,1);

Abstract: In this paper, we studied the numerical solution of American option pricing with continuous bonus. By looking for the general formula of asset price in each node of the Trinomial Tree method, we obtained the iterative formula and Matlab procedure of numerical solution of American option. By comparison, we concluded the stability of the Trinomial Tree was better than that of the Binary Tree model. And the sensitivity of the American option value to each of its influencing factors was analyzed intuitively by means of the control variable method. The value of the American call option was positively correlated with the risk-free interest rate, the underlying asset price, the volatility and the holding period of the option, but negatively with the finalized price.

Keywords: American option; Trinomial Tree; Matlab; control variable; sensitivity

AmericanOptionPricingBasedonTrinomialTreeModelandItsMatlabProcedure

DONG Lishaa, WANG Xiangyub

(a.School of Mathematics and Information Science & Technology, b.School of Business Administration; Hebei Normal University of Science & Technology, Qinhuangdao Hebei,066004;China)

F830.91

A

1672-7983(2017)02-0007-05

10.3969/J.ISSN.1672-7983.2017.02.002

2017-03-21;修改稿收到日期2017-06-21

董麗沙(1988-)，女，碩士，助教。主要研究方向：概率論與數(shù)理統(tǒng)計。