廣東省陽江市實驗學校 黃雙華 (郵編:529900)

品味一道中考題 感悟數學真善美
——2017年廣東省中考卷第25題評析

廣東省陽江市實驗學校 黃雙華 (郵編:529900)

通過對2017年廣東省中考卷第25題的解構與反思,發(fā)現(xiàn)其具備真善美的特征!不但強化了對數學理性思維的能力要求,還展現(xiàn)了數學的學科價值和人文價值．

基本套路,數學思想,真善美

1 試題呈現(xiàn)——平淡無奇道本質

(2017年廣東省中考第25題)如圖,在平面直角坐標系中,O為原點,四邊形ABCO是矩形,點A、C的坐標分別是A(0,2)和C(23,0),點D是對角線AC上一動點(不與A、C重合),連結BD,作DE⊥DB,交x軸于點E,以線段DE、DB為鄰邊作矩形BDEF．

圖(1)

圖(2)

(I)填空:點B的坐標為______;

(II)是否存在這樣的點D,使得△DEC是等腰三角形?若存在,請求出AD的長度;若不存在,請說明理由;

②設AD＝x,矩形BDEF的面積為y,求y關于x的函數關系式(可利用①的結論),并求出y的最小值．

2017年廣東省中考壓軸題的設計,一如既往地以動態(tài)變化類為基架,呈現(xiàn)方式自然樸實,淡化了壓軸題的復雜計算,考查層次分明,不同水平的學生可以充分展示自己不同的探究深度,著重考查了三角函數、勾股定理的應用、二次函數求最值和代數綜合運算等初中數學的核心內容．較好地體現(xiàn)了中考數學壓軸題的選拔功能．

2 試題特色——關注“本生”，設問遞進立意高

雖然是壓軸題,但注重人性化、起點低、入口寬,不同層次的學生都能得到相應的分數．第(I)問的問題情境熟悉,注重基礎性的考查,關愛基礎較差的學生,使他們也有展示的機會,體現(xiàn)人文性;第(II)問考查了分類討論思想,運動類問題中,多數都以考查分類討論思想方法為目的,而研究某個三角形變化的形狀,可謂是這類問題的一種常規(guī)而經典的設計方式．第(II)問遞進到第(III)問,稱得上獨具匠心,關注優(yōu)等生的能力發(fā)展．這樣的設問注意到了能力層次的要求和問題間的關聯(lián),較好地體現(xiàn)了中考數學壓軸題的選拔功能．

3 試題分析——注重“基本套路”，突出數學思想

3．1 注重“基本套路”

解決幾何問題的一個“基本套路”就是:首先要認真分析條件,而分析條件就是將條件與相關“基本圖形”結合起來,利用這個“基本圖形”的性質,獲得相應的結論．有時圖形中不一定有與條件匹配的“基本圖形”,這時還需要聯(lián)想相關知識作輔助線構造出相關的“基本圖形”,再利用這個“基本圖形”的性質,獲得相應的結論,從而達到解決問題的目的．

(1)在第(I)問,研究△DEC為等腰三角形,除了確定哪兩條邊相等,還需要分別討論被動點E會出現(xiàn)邊OC上,或OC的延長線上的兩種情況．當點E在邊OC上(如圖(1))時,易知DE＝CE,∠EDC＝∠ECD＝30°,△DBC為等邊三角形,從而得到∠DAB＝∠DBA＝30°,所以AD＝DB＝BC＝2;當點E在OC的在OC的延長線上(如圖(2))時,易知DC＝EC,∠CED＝∠CDE＝15°,∠ADB＝∠ABD＝75°,因此AD＝AB＝23．

這里考查了學生的基本技能和基本思想．此問的思路雖容易形成,但必需會靈活應用三角函數、三角形內角和、等邊對等角、兩角和與差的運算等知識,還考查了分類討論的思想,這是對常規(guī)基礎知識技能的深度理解．

圖(3)

(2)第(III)問①的證法1:建直角,造K字．

如圖(3),過D作GH⊥AB,易知GH⊥OC,由BDEF為矩形,建立“K”型相似的基本模型,由△BDG∽△DEH,得到．在(II)的條件下,易得所以,從而得到

(3)第(III)問①的證法2:從外心出發(fā),顯“圓”如此!

由于圖形的復雜性,有時在圖中并不需要畫出圓,可謂“圖中無圓,心中有圓”．圖(1)和圖(2)都有∠BDE＝∠BCE＝90°,根據直角三角形外心必在斜邊的中點處,易證得B、D、E、C四點共圓,如圖(4)．

圖(4)

幾何綜合題的圖形中往往隱去了基本圖形的一部分,如果能聯(lián)想到相應的基本圖形,并能添加適當發(fā)現(xiàn)并添出輔助線(輔助圓),再現(xiàn)基本圖形,解題思路就會柳暗花明．可以這樣說,一種輔助線作法對應著一個基本圖形,輔助線就是把殘缺的基本圖形補充完整,從而利用基本結論解題．

3．2 突出數學思想

本題并非是解題方法和技巧的機械運用,而是巧妙考查了學生的化歸思想、建模思想、分類思想、方程與函數思想等,強化了對數學理性思維的能力要求,展現(xiàn)了數學的學科價值和人文價值．

(1)分類討論思想．第(II)問思路容易形成,第一次分類討論,需要確定△DEC中誰是頂點．第二次分類討論,需要討論主動點D在對角線AC上運動時,被動點E在x軸上,會出現(xiàn)在邊OC上,或在OC的延長線上的兩種情況．

(2)建模思想．第(III)問①的證明:無論是建立“K”型相似的基本模型,或是證明B、D、E、C四點共圓的解決辦法．都是在提煉基本模型,以模解題,打破思維定勢,化陌生為熟悉,化非常規(guī)為常規(guī),有助于學生體驗數學基本經驗在解決實際問題中的價值和作用,強化應用意識．

(3)方程與函數思想:二次函數是初中代數的核心內容,歷來都是中考必不可少的一項內容．解第(III)問②通過面積問題,靈活使用方程與函數知識,表現(xiàn)出本題的命題的基礎性、實用性和教學的導向性．

近年中考中特別重視突出數學思想方法的考查．因此,在平時的教學中,要注意體會、歸納教材題目中的數學思想方法．尤其在中考復習時,教師更應有意識、有目的、適時地滲透數學思想方法,培養(yǎng)學生有效利用數學思想方法解決相關問題的能力．

4 寫在最后

通過對本題的解構與反思,發(fā)現(xiàn)其具備真善美的特征!“真”即是符合學生認知規(guī)律和數學學科規(guī)律,不大題小做或小題大做,不出現(xiàn)技能化的假過程現(xiàn)象．“善”即是符合考查目的性,尊重學生的能力和創(chuàng)新,體現(xiàn)數學智慧,鼓勵學生探索．“美”即是試題本身結構和諧,呈現(xiàn)自然,不矯揉造作,解題過程不單一和程式化,而是在解題過程中有經歷發(fā)現(xiàn)美、認識美、追求美、創(chuàng)造美的機會!最終在品味數學的過程中,充分感悟數學的真善美．

1 高峰．注重基本“套路”,突出數學思想[J]．中學數學教學參考(中旬)2013(8):41

2 李景財,冉瑞洪．聯(lián)想基本圖形,解法自然生成[J]．中學數學教學參考(中旬),2017(4):33

2017-07-04)