安徽省教育科學(xué)研究院 胡 濤 (郵編:230061)

初 數(shù)研 究

鱉臑定義探究

安徽省教育科學(xué)研究院 胡 濤 (郵編:230061)

“塹堵”、“陽(yáng)馬”和“鱉臑”是我國(guó)古代對(duì)一些特殊幾何體的稱謂,它們的形狀特征如何,古代沒(méi)有借助線面之間的位置關(guān)系對(duì)其進(jìn)行定義,而是從其形成過(guò)程予以說(shuō)明的．

《九章算術(shù)·商功》:“斜解立方,得兩塹堵,其一為陽(yáng)馬,一為鱉臑,陽(yáng)馬居二,鱉臑居一,不易之率也．”其意思是說(shuō):把長(zhǎng)方體沿對(duì)角面切開(kāi),得到的兩個(gè)三棱柱,稱為塹堵,再沿塹堵的一個(gè)頂點(diǎn)和相對(duì)的棱將其剖開(kāi),得一個(gè)四棱錐和一個(gè)三棱錐,分別稱為陽(yáng)馬和鱉臑,它們的體積之比為2∶1(如圖1)．

圖1

由此解釋可知,陽(yáng)馬是底面為矩形,且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐．如底面為直角三角形,還有一條不經(jīng)過(guò)底面直角頂點(diǎn)的棱垂直底面,則這樣的三棱錐是鱉臑(如圖2),誠(chéng)如劉徽所注:中破陽(yáng)馬,得兩鱉臑．

圖2

但在《九章算術(shù)》又是這樣定義鱉臑的:四面都是直角三角形的三棱錐．因此,不免讓我們對(duì)這兩種說(shuō)法對(duì)應(yīng)的幾何體形狀是否一致產(chǎn)生疑問(wèn)．

下面先就此問(wèn)題展開(kāi)探究:

記p為:三棱錐的底面為直角三角形,且有一條不經(jīng)過(guò)底面直角三角形的直角頂點(diǎn)的棱垂直于底面．

q為:三棱錐的四面都是直角三角形．

下面證明:p?q

1．先證p?q

圖3

如圖3,設(shè)三棱錐ABCD的底面是直角三角形,

則BD⊥CD,AB⊥平面BCD,易證AB⊥BD,AB⊥BC,CD⊥AC,

故三棱錐A－BCD的四面都為直角三角形．

2．再證q?p

引理1若一個(gè)三棱錐的四面都是直角三角形,則不存在這樣的頂點(diǎn),它同時(shí)是三個(gè)直角三角形的直角頂點(diǎn)．

圖4

證明如圖4,已知三棱錐A－BCD的四面都是直角三角形．

假設(shè)存在這樣的頂點(diǎn),它同時(shí)是三個(gè)直角三角形的直角頂點(diǎn)．不妨設(shè)為點(diǎn)D,則有AD⊥BD,AD⊥CD,BD⊥CD．令A(yù)D＝a,BD＝b,CD＝c,則AB2＝a2＋b2,BC2＝b2＋c2,AC2＝c2＋a2．

由于

所以∠BAC為銳角．

同理∠ABC,∠ACB均為銳角,則△ABC為銳角三角形．

這與已知矛盾,假設(shè)不成立,故命題得證．

引理2若一個(gè)三棱錐的四面都是直角三角形,則這四個(gè)直角不可能恰好分別在四個(gè)頂點(diǎn)處．

圖5

為方便討論,如圖5,將三棱錐A－BCD的四個(gè)面ABD、ACD、ABC、BCD 分別標(biāo)記為①、②、③、④,頂點(diǎn)為A的兩條棱在面①中的夾角記為A1(即∠BAD),0表示相關(guān)的平面角不存在,相應(yīng)于頂點(diǎn)B、C、D的平面角的記法類似．則三棱錐A－BCD中,相交兩棱的夾角在四個(gè)面上的分布情況如下:

若其四個(gè)直角恰好分別在四個(gè)頂點(diǎn)處,不妨設(shè)頂點(diǎn)為A的直角在面①中,由于同一面上不能有兩個(gè)直角,所以只有下面的3種情況:

對(duì)于情形1,如圖6,四個(gè)直角分別為 A1、C2、B3、D4,設(shè)AB＝a,BC＝b,BD＝c,CD＝a1,AD＝b1,AC＝c1,則有

圖6

圖7

對(duì)于情形(2),如圖7,四個(gè)直角分別為 A1、D2、B3、C4,設(shè)AB＝a,BC＝b,BD＝c,CD＝a1,AD＝b1,AC＝c1,則

可知a＝a1,b＝b1,c＝c1．

所以這種情形也不可能．

對(duì)于情形(3):證明同情形1．

圖8

綜上 ,引理2得證．

由引理1、2知,若三棱錐A－BCD的四個(gè)面都是直角三角形,則一定存在一個(gè)頂點(diǎn),它是兩個(gè)直角三角形的直角頂點(diǎn),

不妨設(shè)為點(diǎn)B,在該處的2個(gè)直角為B1、B3,即∠ABD＝∠ABC＝90°,則AB⊥平面BCD．

綜合1、2,我們證明了p?q．

在上面的證明過(guò)程中我們還得到了四個(gè)直角在三棱錐A－BCD上分布的情況:在兩個(gè)頂點(diǎn)上,且每個(gè)頂點(diǎn)處各有兩個(gè)(如圖8)．

圖9

至此可看出在《九章算術(shù)》中,實(shí)際上已給出了鱉臑這種特殊幾何體的兩種不同定義方式．當(dāng)然鱉臑還可以從其他角度對(duì)其進(jìn)行定義,如:若三棱錐中存在三條棱,其中兩條互相垂

直,另一條是這兩條棱的公垂線段,則稱這個(gè)三棱錐為鱉臑．這三條棱就是圖9中的棱CD、AB、BD,三棱錐的4個(gè)頂點(diǎn)都在其上,也就是《九章算術(shù)》所指的鱉臑下廣,上袤和高,它們的長(zhǎng)度決定了鱉臑的體積．

比較鱉臑的幾種定義,表述最為簡(jiǎn)潔的顯然是:四面都是直角三角形的三棱錐．筆者推測(cè)也許是感覺(jué)到這種定義不便于人們快速把握鱉臑的構(gòu)成要素間的位置關(guān)系,《九章算術(shù)》才又借其形成過(guò)程加以解釋,以便判定．果真如此,更顯示出我國(guó)古代數(shù)學(xué)家的智慧和研究水平．

1 張蒼,九章算術(shù)[M]．南京:江蘇人民出版社,2011

2 何文忠,立體幾何體中的一個(gè)重要基本圖形－鱉臑[J]．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào),1996(5)

3 沈康身,鱉臑與合蓋[J]．自然雜志,1989(8)

2017-06-20)