劉建萍

摘 要：本文主要研究計算對稱二次特征值問題單特征對偏導(dǎo)數(shù)的直接法。該方法通過求解線性方程組得到特征對偏導(dǎo)數(shù)，僅需利用待求偏導(dǎo)數(shù)的特征對，而且可以得到特征對偏導(dǎo)數(shù)的精確解。我們將利用數(shù)值試驗說明該方法的有效性。

關(guān)鍵詞：二次特征值問題；特征值偏導(dǎo)數(shù)；特征向量偏導(dǎo)數(shù)；直接法

1 引言

特征對偏導(dǎo)數(shù)在結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性分析、系統(tǒng)參數(shù)識別、有限元模型修正、結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計等領(lǐng)域中具有應(yīng)用等。本文主要考慮以下二次特征值問題特征對導(dǎo)數(shù)的計算：

（1-1）

其中 是在 的某個鄰域內(nèi)解析的對稱矩陣值函數(shù)。

計算二次特征值問題特征對偏導(dǎo)數(shù)的方法主要有兩類：狀態(tài)空間法和n維空間法。狀態(tài)空間法把二次特征值問題轉(zhuǎn)化為廣義特征值問題，即狀態(tài)空間表示形式，然后在狀態(tài)空間中計算特征對的偏導(dǎo)數(shù)，此方法計算量較大。n維空間法利用二次特征值問題的特征對計算特征對的偏導(dǎo)數(shù)，計算量較小，在工程實際問題中很受歡迎。

Taylor與Kane[1]和Adhikari與Friswell[2]研究了在n維空間中計算非對稱二次特征值問題相應(yīng)于單特征值的特征對一階、二階導(dǎo)數(shù)的模態(tài)方法，但他們提出的方法都要求二次特征值問題具有互異的特征值。Adhikari[3]通過把特征向量導(dǎo)數(shù)表示為無阻尼系統(tǒng)特征向量的線性組合，提出了一種近似計算對稱二次特征值問題相應(yīng)于單特征值的特征向量導(dǎo)數(shù)的方法。以上方法需要用到二次特征值問題的多個特征對，計算量較大。

[4]將求解標(biāo)準(zhǔn)特征值問題的Nelson方法[5]推廣到二次特征值問題，提出了一種有效地在n維空間中計算二次特征值問題特征對導(dǎo)數(shù)的直接法。該方法通過求解線性方程組得到特征對導(dǎo)數(shù)的精確解，僅需待求導(dǎo)數(shù)的特征對。本文將介紹該方法，給出其算法原理與實現(xiàn)思想，并利用Matlab編程，對該方法進(jìn)行了數(shù)值實驗。

本文第二節(jié)介紹計算標(biāo)準(zhǔn)特征值問題特征對偏導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的Nelson方法。第三節(jié)給出計算二次特征值問題（1）的特征對導(dǎo)數(shù)的Nelson方法。

2 計算標(biāo)準(zhǔn)特征值問題特征向量導(dǎo)數(shù)的Nelson法

本節(jié)考慮以下的標(biāo)準(zhǔn)特征值問題：

（2-1）

其中 是解析的矩陣值函數(shù)。

假設(shè) 是 上的一個單特征值， 是相應(yīng)于它的特征向量。則由[6]可知，存在 的一個鄰域以及該鄰域內(nèi)的一個解析函數(shù) 和解析向量值函數(shù) ，使得 是 的特征值， 是相應(yīng)的特征向量，并且 ， 。

Nelson提出了一種有效地計算特征對導(dǎo)數(shù) 的直接法。下面介紹該方法。為了討論方便起見，這里我們把 省略掉。

我們對（2-1）兩邊求導(dǎo)，可得：

（2-2）

設(shè) 是相應(yīng)于 的左特征向量，我們在（2-2）的兩邊同時乘上 ，這樣就得到：

（2-3）

注意到（2-2）的系數(shù)矩陣的秩是 。為此，Nelson[5]先給式（2-1）

增加一個“約束”，即使得特解中的第 個分量等于零，其中：

為了能夠求出通解表達(dá)式的系數(shù)，我們對特征向量加上一個規(guī)范化條件

從而可以得到特征向量導(dǎo)數(shù)。

下面給出計算標(biāo)準(zhǔn)特征值問題特征對導(dǎo)數(shù)的Nelson法的具體步驟：

利用（2-3）求出特征值導(dǎo)數(shù)；

尋找 中絕對值最大的元素，且令此元素所在的行為第 行；

令 中第 行和第 列元素為零，對角元素Skk置為1外，這樣便獲得非奇異陣 ；

令 中相應(yīng)的第 行元素為零，從而得到 ，其中 ；

求解方程組 便得特解 ；

計算出常數(shù) ；

計算 cxi

3 計算二次特征值問題特征對導(dǎo)數(shù)的Nelson方法

設(shè) 是（1-1）在 上的一個單特征值， 是相應(yīng)的特征向量。則由[6]可知，存在 的一個鄰域以及該鄰域內(nèi)的一個解析函數(shù) 和它的解析向量值函數(shù) ，使得

（3-1）

[4]將Nelson方法推廣到二次特征值問題，提出了一種有效地在n維空間中計算二次特征值問題特征對導(dǎo)數(shù) 的直接法。本節(jié)介紹該方法。

對方程（3-1）兩邊微分可得到：

（3-2）

上式為n維空間中二次特征值問題特征對導(dǎo)數(shù)的支配方程組。

在（3-2）兩邊左乘 ，注意到左邊為0，則得到特征值導(dǎo)數(shù)為：

（3-3）

顯然，特征向量導(dǎo)數(shù)滿足：

（3-4）

其中：

（3-5）

由于（3-4）的系數(shù)矩陣奇異，特征向量導(dǎo)數(shù)無法直接求得。對于單特征

值，系數(shù)矩陣零空間的維數(shù)是1。因此，特征向量導(dǎo)數(shù)能夠?qū)懗?/p>

（3-6）

其中 和 待定。記 ，類似于求解標(biāo)準(zhǔn)特征值問題特征對導(dǎo)數(shù)的Nelson方法，我們通過求解如下方程組得到 ：

（3-7）

常數(shù) 由特征向量的正規(guī)化條件得到。設(shè)特征向量滿足規(guī)范化條件：

（3-8）

微分上式并代入（3-6）中重新整理得：

（3-9）

下面給出計算二次特征值問題特征對導(dǎo)數(shù)的Nelson法的具體步驟。

算法1：

利用（3-3）求出特征值導(dǎo)數(shù)；

尋找特征向量中絕對值最大的元素，且令此元素所在的行為第k行；

令 中第k行和第k列元素為零，對角元素Skk置為1外，這樣便獲得非奇異陣 ；

由（3-5）計算 ，令 中第 行元素為零，從而得到 ；

求解方程組 便得特解 ；

利用（3-9）計算出常數(shù)c；

由（3-6）計算特征向量導(dǎo)數(shù)。

算法1只需要待求導(dǎo)數(shù)的特征對信息，能給出特征對導(dǎo)數(shù)的準(zhǔn)確解，保證了算法的數(shù)值穩(wěn)定性，保持了結(jié)構(gòu)矩陣的帶狀性，因此計算效率高。

4 數(shù)值試驗

本節(jié)我們給出數(shù)值例子，對算法1進(jìn)行數(shù)值試驗。

例1：設(shè) ， ， ， 且

取 。此時二次特征值問題模最大的特征對為：

，

由算法1可得到：

，

例2：該算例來源于一工程結(jié)構(gòu)。設(shè) ， ，

，

取L=0.8， ， ， c5為參數(shù)。

當(dāng)c5為4時，模最大的特征對為：

，

用算法1得到：

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