張 翼， 趙慧穎

(沈陽工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院， 遼寧 沈陽 110870)

一類非線性廣義生物經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的保性能分析

張 翼， 趙慧穎

(沈陽工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院， 遼寧 沈陽 110870)

研究一類非線性廣義生物經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的保性能控制問題.考慮到外來物種對(duì)原產(chǎn)地魚類種群的影響，首先,從人工捕獲收益、對(duì)外來物種的凈化能力和捕撈魚類年齡段因素入手，建立非線性廣義生物模型，討論系統(tǒng)平衡點(diǎn)，將T-S模糊方法轉(zhuǎn)化為線性模型去研究；其次，在此基礎(chǔ)上設(shè)定加入滿足Lipschitz條件的擾動(dòng)項(xiàng)，用LMI方法給出一個(gè)簡化的非線性不確定廣義模型保性能控制器存在的條件，滿足相應(yīng)的保性能指標(biāo)；最后，使用數(shù)例仿真驗(yàn)證了研究結(jié)果的有效性.

廣義系統(tǒng)； 生物經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)； 不確定； 保性能； T-S模糊系統(tǒng)

國際旅游業(yè)和全球經(jīng)濟(jì)貿(mào)易的發(fā)展，加速了物種的自然入侵和遷徙.一些動(dòng)植物正在通過人類有意或無意的行為，被引入到其他的環(huán)境中，大家有目共睹的是這些入侵者損害了當(dāng)?shù)氐纳鷳B(tài)系統(tǒng)和地理結(jié)構(gòu)， 給原產(chǎn)地生物和居民造成了不良影響.我國是遭受生物入侵最嚴(yán)重的國家之一，生物入侵形勢十分嚴(yán)峻.目前，入侵中國的外來物種已達(dá)540多種，其中有超過100種物種造成當(dāng)?shù)厣鷳B(tài)系統(tǒng)的大面積嚴(yán)重?fù)p害.根據(jù)農(nóng)業(yè)部的最新統(tǒng)計(jì)， 近年來，外來物種一直在中國呈不健康的發(fā)展趨勢，隨著被引入數(shù)量的增加，傳播速度的加快，傳染程度的擴(kuò)大，其危害不斷加劇，對(duì)我國的生態(tài)環(huán)境造成嚴(yán)重的影響.本文旨在用廣義系統(tǒng)理論探討一些相關(guān)問題.

廣義系統(tǒng)廣泛用于描述一些實(shí)用系統(tǒng)，目前已應(yīng)用到各個(gè)領(lǐng)域，例如在電子網(wǎng)絡(luò)、動(dòng)力系統(tǒng)、航天船舶、生物化學(xué)研究等方面，并取得了很多研究成果[1-5].關(guān)于外來物種入侵，文獻(xiàn)[6]提出了一個(gè)廣義生物經(jīng)濟(jì)模型，研究了基于廣義系統(tǒng)和分岔理論的外來物種入侵下的單種群魚類Logistic模型，考慮加入凈化能力，設(shè)計(jì)了狀態(tài)反饋控制器，旨在消除預(yù)期外的奇異誘導(dǎo)分岔.文獻(xiàn)[7]研究的是生物經(jīng)濟(jì)廣義馬爾科夫跳變系統(tǒng)的模糊隨機(jī)優(yōu)化保性能控制，設(shè)計(jì)了模糊狀態(tài)反饋控制器，給出嚴(yán)格線性矩陣不等式證明.

在廣義系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)中，實(shí)現(xiàn)相關(guān)的魯棒性和系統(tǒng)穩(wěn)定性是非常重要的.不確定線性或非線性系統(tǒng)的保性能控制理論，在過去的幾十年中已經(jīng)得到廣泛應(yīng)用[8-10]，其中魯棒控制是一種對(duì)非線性廣義系統(tǒng)普遍適用的控制方法，而著名的Takagi-Sugeno(T-S)模糊模型也是處理復(fù)雜非線性系統(tǒng)的一個(gè)方便的工具.研究表明：用T-S 模糊模型描述的非線性系統(tǒng)的綜合問題可簡化為涉及到線性矩陣不等式(LMI)的凸問題，用T-S模糊模型線性化的方法廣泛用于許多非線性系統(tǒng)的研究中[11-13].

本文以Logistic增長模型為基礎(chǔ)，結(jié)合Lotka-Volterra 模型[14-15]，考慮要捕撈的魚類種群分階段結(jié)構(gòu)，且只捕獲成年魚群，加上外來物種的影響，以及對(duì)入侵物種的人為凈化能力，建立廣義生物模型.通過給出模型的穩(wěn)定性分析和T-S模糊線性化方法，得到簡化的線性系統(tǒng)模型.考慮到魚類種群的生存還受到自然因素的影響，加入了適當(dāng)?shù)臄_動(dòng)項(xiàng)，本文只考慮了模型中的擾動(dòng)項(xiàng)滿足Lipschitz條件的情況.應(yīng)用LMI方法給出保性能控制器存在的條件，使閉環(huán)系統(tǒng)滿足廣義二次穩(wěn)定，保性能函數(shù)有上界.仿真實(shí)例驗(yàn)證了研究結(jié)果的有效性.

1 預(yù)備知識(shí)和建立模型

1.1 相關(guān)生物模型

(1) Logistic模型

Logistic模型是研究種群生長的重要理論，可描述種群S型增長：

(1)

這里N(t)表示t時(shí)刻的種群數(shù)量；r是內(nèi)稟增長率；K是環(huán)境承載量.

(2) Lotka-Volterra模型

在很多案例中，來自同一生態(tài)系統(tǒng)的所有物種和它們之間的相互作用需要作為一個(gè)整體納入考慮，多種群的生物增長模型中提出了Lotka-Volterra模型：

i=1,2,…,n

(2)

它代表了一個(gè)n種群生態(tài)系統(tǒng)，xi(t)是第i個(gè)種群在t時(shí)刻的數(shù)量；ai(t)∈R是第i種群的內(nèi)稟增長率；bi≥0是第i個(gè)種群的種內(nèi)制約率；當(dāng)j≠i時(shí)，cij是第i種群和第j種群的種間制約率.

(3) 階段結(jié)構(gòu)模型

當(dāng)只考慮一個(gè)單一的魚類種群，它們的生命過程可以被劃分為兩個(gè)階段，即幼年階段和成年階段.在相同的階段，每個(gè)個(gè)體有完全相同的生物學(xué)特征，因此，在某種程度上，魚類種群的最重要的比率與階段結(jié)構(gòu)有很大關(guān)系，例如增長率、生育率、死亡率.

一個(gè)分階段結(jié)構(gòu)的單種群生物模型可寫作下列形式：

(3)

這里xi(t)(i=1,2)分別表示幼年和成年魚群的密度；r是幼年魚群的出生率；ai(i=1,2)分別表示幼年和成年魚群的死亡率；b是幼年魚群到成年的轉(zhuǎn)化率；ci(i=1,2)分別表示幼年和成年魚群的密度制約系數(shù).

1.2 建立模型

模型的研究背景是在外來物種與原產(chǎn)地魚類種群存在競爭關(guān)系的前提下，在入侵物種與本地魚群構(gòu)成的生態(tài)系統(tǒng)中，參考漁業(yè)捕獲行為及人類對(duì)入侵物種有凈化行為，同時(shí)把本地魚群分階段結(jié)構(gòu).考慮到漁業(yè)的發(fā)展，假定漁業(yè)捕撈主要捕獲本地成年魚群，幼年魚群被捕獲后大多被放生，因此，作為經(jīng)濟(jì)產(chǎn)品的幼年魚群數(shù)量遠(yuǎn)小于成年魚群，可忽略不計(jì).然后在生存條件一定的情況下，不受外界因素制約，外來物種前期對(duì)于新的適宜環(huán)境有急速增長的趨勢，假定魚群對(duì)外來物種的競爭作用遠(yuǎn)小于外來物種對(duì)魚群的競爭作用，把外來物種競爭死亡的影響歸入自身死亡率中，在此基礎(chǔ)上研究外來物種入侵下的本地魚群系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)學(xué)行為.本文模型在本地種群分階段結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，著重加入外來物種的人工凈化，討論保性能問題.

根據(jù)Gordon經(jīng)濟(jì)理論[16]： 可持續(xù)經(jīng)濟(jì)收益=可持續(xù)總收益-可持續(xù)總成本， 當(dāng)給定捕獲量H， 即：

H(t)(x(t)p-c)=m(t)

(4)

其中：p是市場價(jià)格；c是單位成本；m(t)是經(jīng)濟(jì)凈收益.

基于以上考慮，結(jié)合(3)式、(4)式， 給出前述背景下的廣義生物經(jīng)濟(jì)模型：

(5)

其中：xi(t)(i=1,2)分別為幼年和成年魚群的密度；r是幼年魚群的出生率；ai(i=1,2)分別表示幼年和成年魚群的死亡率；b是幼年魚群變?yōu)槌赡甑霓D(zhuǎn)化率；ci(i=1,2)分別表示幼年和成年魚群的密度制約系數(shù)；H(t)是t時(shí)刻對(duì)成年魚群的捕獲量；η表示入侵物種對(duì)成年魚類的制約率；y(t)是外來物種密度；α是入侵物種的自然生長率；a3是入侵物種的死亡率；P(t)是t時(shí)刻對(duì)入侵物種的凈化量；hP(t)是人為對(duì)外來物種的實(shí)際凈化量；βy(t)是目標(biāo)凈化量；μx2(t)代表根據(jù)成年種群量做出的調(diào)整凈化量；ωP(t)是受單位凈化成本約束的凈化量.

2 平衡點(diǎn)分析和T-S模糊線性化

2.1 平衡點(diǎn)分析

對(duì)系統(tǒng)模型進(jìn)行T-S模糊線性化過程中，需要對(duì)模型進(jìn)行有關(guān)平衡點(diǎn)的參數(shù)轉(zhuǎn)化，于是在此先對(duì)系統(tǒng)的平衡點(diǎn)進(jìn)行分析.根據(jù)文獻(xiàn)[16]中的經(jīng)濟(jì)理論，當(dāng)經(jīng)濟(jì)凈收益為零(m=0)時(shí)，出現(xiàn)一個(gè)收支平衡，此現(xiàn)象稱為經(jīng)濟(jì)過度捕撈，是我們不想看到的結(jié)果.因此，政府部門應(yīng)該采取措施控制魚群捕撈，使系統(tǒng)能持續(xù)發(fā)展，并獲得持續(xù)收益.

對(duì)于系統(tǒng)(5)，當(dāng)m=0時(shí)，系統(tǒng)(5)有4個(gè)平衡點(diǎn)，但只有2個(gè)可能的正平衡點(diǎn)：

2c2a3cβhwp-2a2a3αw2p2+2a2a3βhwp2+

ηc2h2μ2+c2cα2w2p-2c2cαβhwp+c2cβ2h2p+

a2α2w2p2-2a2αβhwp2+a2β2h2p2)·

(a3wp+βhp-αkp)-2

接下來將討論系統(tǒng)(5)的穩(wěn)定性.

(6)

系統(tǒng)(5)是穩(wěn)定的.

a1+b+ξ1<0,ξ2>0,ξ3>0,

a1+b-ξ1<0,ξ2>0,ξ3>0,

由模型(5)可得:

則在P*點(diǎn)的特征方程為

det(λI-JP)|P*=

(7)

從上面結(jié)果中可以看出λ=0是一個(gè)實(shí)根，且有2個(gè)根取決于下列方程：

λ2+(w-α+a3)λ-wα+wa3=0，

另外2個(gè)取決于方程：

所以當(dāng)滿足下列條件：

w-α+a3>0，-wα+wa3>0，

方程(7)的其余4個(gè)根都有負(fù)實(shí)部，模型(5)穩(wěn)定.

2.2 T-S模糊線性化

(8)

考慮到種群密度的飽和情況， 可以假定ζ1(t)∈[-l1,l1],ζ2(t)∈[-l2,l2],l1>0,l2>0,并有如下模糊規(guī)則：

其中：

ηξ2+c2l2

于是得到了系統(tǒng)(8)的線性化模型：

(9)

Mij(ζj(t))是ζj(t)在模糊集Mij的隸屬度，ψi(ζ(t))≥0(i=1,2,3,4).

3 保性能控制

(10)

(11)

且有δ(t,0)=0, ?t≥0,

(12)

(13)

則(10)是零解漸近穩(wěn)定的，δ是Lipschitz連續(xù)的，式(13)可改寫為：

則ΓT?！躀.

(14)

且對(duì)滿足式(11)、式(12)條件的δ有：

(15)

選取二次型保性能函數(shù)為：

(16)

其中Q、R為正定矩陣，選取狀態(tài)反饋控制器為：

(17)

(18)

定義2[19]： 系統(tǒng)(10)如果存在狀態(tài)反饋控制器(17)和正數(shù)J*， 使得對(duì)所有容許的δ， 閉環(huán)系統(tǒng)(18)都是廣義二次穩(wěn)定的， 且性能指標(biāo)(16)滿足J≤J*， 則相應(yīng)的控制器(17)為系統(tǒng)(10)的保性能控制器.

引理1[19]：對(duì)所有容許的擾動(dòng)， 下列條件等價(jià)：

(2) 存在矩陣P滿足式(14)、式(15)；

證明： 若閉環(huán)系統(tǒng)(18)廣義二次穩(wěn)定，當(dāng)且僅當(dāng)

(19)

證明： 由計(jì)算可知(19)等價(jià)于

4 數(shù)例仿真

以外來物種水花生為例進(jìn)行研究，其學(xué)名是空心蓮子草(Mart)，屬于莧科.它起源于美國南部和世界的溫帶、亞熱帶地區(qū).1892年，他們開始出現(xiàn)在上海附近的島嶼上.上世紀(jì)50年代，它們作為豬飼料被飼養(yǎng)和培養(yǎng)，但后來又逃逸到陸地上.近年來，它們?cè)谥袊椴键S河流域的大部分南部地區(qū)，天津目前也發(fā)現(xiàn)這種歸化植物.

主要危害：(1)阻塞航道、影響水上交通；(2)擠出其他植物，使物種單一化；(3)覆蓋水面， 影響魚類和漁業(yè)的增長；(4)破壞農(nóng)田作物，減少了他們的產(chǎn)量；(5)在田間溝影響農(nóng)田灌溉和排水；(6)入侵濕地、草坪，破壞景觀；(7)養(yǎng)殖蒼蠅，危害人體健康.

其中：

r=0.2,a1=0.05,b=0.2,c1=0.05,a2=0.03,c2=0.05,η=0.01,α=0.55,a3=0.5,h=0.03,β=1.5,u=0.02,w=0.1,p=4,c=1,m=0，把參數(shù)代入模型，有

仿真結(jié)果如圖1所示.

圖1為幼年魚群量x1(t)、成年魚群量x2(t)、水花生數(shù)目y(t)及對(duì)其凈化量P(t)和魚群捕獲量H(t)關(guān)于時(shí)間變化的函數(shù)響應(yīng)圖.

圖1 初始數(shù)據(jù)下的生態(tài)系統(tǒng)的生物量及捕獲

從圖1可看出：各個(gè)種群的數(shù)量和捕獲量之間存在一定量關(guān)系，幼年魚群量增長，成年魚群量隨之增長，凈化能力也出現(xiàn)不穩(wěn)定變化，水花生數(shù)量上漲時(shí)，魚群數(shù)量呈現(xiàn)減少趨勢，人為凈化量增加；然后水花生數(shù)量下降，魚群量又開始遞增，人為凈化量降低.時(shí)間在70～80區(qū)間內(nèi)時(shí)，捕獲量H(t)有較大波動(dòng)，有個(gè)頂峰值，進(jìn)而產(chǎn)生的附帶結(jié)果是此區(qū)間的魚群量減少，在時(shí)間處于70-80之前捕獲程度變化不大，整體系統(tǒng)處于不穩(wěn)定狀態(tài).

實(shí)施適當(dāng)?shù)谋Ｐ阅芸刂坪?，?duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿真，結(jié)果如圖2所示.

圖2 加入反饋控制后的生態(tài)系統(tǒng)的生物量及捕獲

圖2中幼年魚群和成年魚群隨時(shí)間的推移，種群數(shù)量良好發(fā)展并趨于穩(wěn)定，水花生數(shù)量得到控制，變化幅度減小趨于穩(wěn)定，人工凈化能力也隨之減小并趨于穩(wěn)定，捕獲量在一定范圍內(nèi)有序變化，呈健康狀態(tài)，整體系統(tǒng)隨時(shí)間推移趨于良好穩(wěn)定狀態(tài).

通過仿真圖可清晰地了解原系統(tǒng)在外來物種入侵下的動(dòng)態(tài)反應(yīng)，隨時(shí)間推移，系統(tǒng)越來越不穩(wěn)定，并不利于漁業(yè)的發(fā)展；而從控制后的仿真圖可見：通過調(diào)整，捕獲量系統(tǒng)隨時(shí)間推移趨于穩(wěn)定，魚群的數(shù)量在一定范圍內(nèi)良性增長，利于漁業(yè)的發(fā)展.

5 結(jié) 論

討論一類有關(guān)外來物種入侵魚類種群的非線性廣義經(jīng)濟(jì)系統(tǒng).考慮幼年魚群在轉(zhuǎn)化到成年魚群過程中受外界因素影響會(huì)出現(xiàn)死亡，有一定的轉(zhuǎn)化率，且不同年齡段的魚群作為經(jīng)濟(jì)產(chǎn)品的捕獲情況不同，因此，為了研究外來物種對(duì)原產(chǎn)地種群年齡段數(shù)量的影響，首先，基于之前的生物模型，給出本文的非線性生物廣義模型，并對(duì)模型中關(guān)于對(duì)外來物種的凈化能力給出不同的解釋；其次，使用了T-S模糊線性化方法，并對(duì)自然因素產(chǎn)生的外界擾動(dòng)，只考慮了滿足Lipschitz條件且給定初值條件的情況，得到性能指標(biāo)公式，并給出保性能控制器存在的條件.本文雖對(duì)復(fù)雜的生態(tài)系統(tǒng)做了動(dòng)態(tài)分析，進(jìn)一步了解了外來物種入侵系統(tǒng)的一些性能，但研究工作尚待完善，其應(yīng)用方面還有待進(jìn)一步研究.

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Abstract: Guaranteed cost control problem of a class of nonlinear singular biological economic system was studied in this paper.Firstly,considering the influence of exotic species on the aboriginal fish population,starting with the artificial capture gains,purification capacity to the alien species and fish age factors,a nonlinear generalized model was developed,and then the equilibrium point was discussed.Besides,through the T-S fuzzy method,complex generalized model was transformed to linear one.Secondly,considering the disturbance affected by some natural factors was setting into satisfying Lipschitz conditions,using LMI method,the paper gave a set of conditions on the existence of guaranteed controller of a simplified nonlinear uncertain generalized model which satisfies guaranteed performance index.In the end,a set of numerical simulation was shown to verify the effectiveness of the study result.

Keywords: singular system; bio-economy system; uncertainty; guaranteed cost; T-S fuzzy system

GuaranteedCostAnalysisforaClassofNonlinearSingularBiologicalEconomicSystem

ZHANG Yi， ZHAO Hui-ying

(Shenyang University of Technology, Shenyang 110870, China)

10.3969/j.issn.2095-2198.2017.03.017

O23

A

2017-03-19

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61673099)；遼寧省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(2015020007)

張翼(1971-)，女，遼寧遼陽人，副教授，博士，主要從事廣義系統(tǒng)、生物數(shù)學(xué)等方面的研究.

2095-2198(2017)03-0278-10