李嬌

DOI：10.16661/j.cnki.1672-3791.2017.25.244

摘 要：本文先定義了力矩和角動(dòng)量，從質(zhì)點(diǎn)的牛頓第二定律出發(fā)，首先引出質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理，又經(jīng)嚴(yán)格的分析推導(dǎo)，給出不同物體及系統(tǒng)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角動(dòng)量定理表達(dá)式，最后對(duì)角動(dòng)量定理適用對(duì)象進(jìn)行特別說明。

關(guān)鍵詞：力矩 角動(dòng)量 角動(dòng)量定理 質(zhì)點(diǎn) 可形變非剛體 系統(tǒng)

中圖分類號(hào)：O313 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2017）09（a）-0244-02

角動(dòng)量定理是大學(xué)物理中的一個(gè)重要內(nèi)容，許多教材在介紹角動(dòng)量定理時(shí)順序是按照這兩種方式進(jìn)行的，第一種：首先在質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)中引出質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理，再給出質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理；在講剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)相關(guān)內(nèi)容時(shí)，又引出定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量定理。第二種：直接將角動(dòng)量定理放到了定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體這章，由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律推導(dǎo)出定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量定理，再說明如果內(nèi)部各質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于轉(zhuǎn)軸的位置發(fā)生變化時(shí)，角動(dòng)量定理表達(dá)式又是怎樣的。這兩種方式都使學(xué)生不能對(duì)角動(dòng)量定理有一個(gè)完整、全面的認(rèn)識(shí)；讓他們覺得角動(dòng)量定理的表達(dá)式很混亂，不清楚什么物體能用角動(dòng)量定理，該用哪種形式的角動(dòng)量定理。為了說明角動(dòng)量定理其適用于所有的物體，包括質(zhì)點(diǎn)，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體，還有可形變的非剛體及系統(tǒng)，本文給出了嚴(yán)格的分析推導(dǎo)。

1 力矩和角動(dòng)量

在自然界中，常會(huì)遇到質(zhì)點(diǎn)繞一定中心運(yùn)動(dòng)的情況，大的如行星繞太陽公轉(zhuǎn)，月球繞地球運(yùn)動(dòng)，小的如原子中電子繞原子核的轉(zhuǎn)動(dòng)等。對(duì)于這些運(yùn)動(dòng)，引入力矩，角動(dòng)量，并進(jìn)而找出它們之間的規(guī)律，對(duì)于研究轉(zhuǎn)動(dòng)問題很有益處。

1.1 力矩

1.1.1 對(duì)參考點(diǎn)的力矩

在慣性系中，一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，某時(shí)刻的位矢為，并受力作用，則力對(duì)參考點(diǎn)O的力矩為：

（1）

由矢量的知識(shí)可知，力矩的大小為 即力乘以力臂，其中是與的夾角。的方向遵循右手螺旋定則，即右手的四個(gè)手指由矢量沿<180°角繞向矢量，此時(shí)大拇指所指方向即是力矩的方向。

1.1.2 對(duì)軸的力矩

我們?nèi)粘Ｋ姷霓D(zhuǎn)動(dòng)很多是繞某軸進(jìn)行的，如門繞門軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，風(fēng)扇葉繞轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，陀螺的轉(zhuǎn)動(dòng)等，在這種情況下，對(duì)轉(zhuǎn)軸起作用的力矩只是力矩矢量沿轉(zhuǎn)軸的分量，我們把這一分量稱為力對(duì)軸的力矩，其實(shí)所謂力對(duì)軸的力矩就是力對(duì)參考點(diǎn)的力矩在軸上的投影。

1.2 角動(dòng)量

1.2.1 質(zhì)點(diǎn)對(duì)參考點(diǎn)的角動(dòng)量

如圖1所示，在慣性系中，一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，某時(shí)刻的位矢為，動(dòng)量為，則質(zhì)點(diǎn)對(duì)參考點(diǎn)O的角動(dòng)量為：

（2）

由矢量的知識(shí)可知，力矩方向遵循右手螺旋定則，力矩的大小為：

（3）

在這里可以認(rèn)為此刻質(zhì)點(diǎn)做以O(shè)為圓心，d為半徑的等效圓周運(yùn)動(dòng)，利用圓周運(yùn)動(dòng)的線速度和角速度關(guān)系：

（4）

將（4）帶入（3），并利用轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義可得：

（5）

1.2.2 質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸的角動(dòng)量

與力矩完全類似的討論可以得出質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸的角動(dòng)量，需要將動(dòng)量與位矢都投影到過參考點(diǎn)并與軸垂直的平面內(nèi)，則此時(shí)在垂直平面內(nèi)的動(dòng)量對(duì)參考點(diǎn)的角動(dòng)量就是動(dòng)量對(duì)軸的角動(dòng)量。

2 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理

列出質(zhì)點(diǎn)的牛頓第二定律：

（6）

變形可得：

（7）

由于方向平行于，則，故：

則（7）可變?yōu)椋?/p>

（8）

利用力矩及角動(dòng)量概念，（8）可變?yōu)椋?/p>

（9）

（9）左右兩邊分別積分得：

（10）

質(zhì)點(diǎn)對(duì)參考點(diǎn)的角動(dòng)量表明，合外力矩持續(xù)作用在質(zhì)點(diǎn)上一段時(shí)間能改變質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量，改變情況為作用于質(zhì)點(diǎn)的合外力矩的沖量矩等于多少，質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量增量就為多少。

以z軸為例，質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸的角動(dòng)量定理就是將（10）式中，投影到z軸正半軸的分量式，可知它是標(biāo)量式：

（11）

由前面質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量的知識(shí)可知（11）可以變?yōu)椋?/p>

（12）

質(zhì)點(diǎn)z對(duì)軸的角動(dòng)量定理在實(shí)際中的常用式。其中，，是質(zhì)點(diǎn)繞z軸做等效圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和角速度。

3 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理

一個(gè)由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的系統(tǒng)，整個(gè)系統(tǒng)對(duì)同一定軸的角動(dòng)量定理其實(shí)就是將每個(gè)質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸的角動(dòng)量定理加起來，對(duì)系統(tǒng)而言就要區(qū)分系統(tǒng)內(nèi)力和系統(tǒng)外力，其中系統(tǒng)內(nèi)力是系統(tǒng)里面質(zhì)點(diǎn)間的相互作用力，屬于作用力與反作用力，而一對(duì)作用力反作用力的力矩和為零，故質(zhì)點(diǎn)系對(duì)定軸的角動(dòng)量定理是系統(tǒng)外力矩對(duì)軸的沖量矩等于系統(tǒng)對(duì)軸的角動(dòng)量增量，表達(dá)式為：

（，） （13）

質(zhì)點(diǎn)系對(duì)定軸的角動(dòng)量定理：

（14）

質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸的角動(dòng)量定理在實(shí)際中的常用式。

4 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量定理

利用定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律：

（15）

（15）×dt并兩邊積分可得：

（16）

定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量定理。

5 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)可形變非剛體的角動(dòng)量定理

當(dāng)物體是可形變剛體時(shí)，它繞某一固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，我們分析它的角動(dòng)量定理時(shí)可借助質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理和將可形變非剛體分割成質(zhì)點(diǎn)系來得出。由于非剛體在做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，在任意瞬時(shí)可認(rèn)為它上面每個(gè)點(diǎn)都在繞同一軸做同方向的圓周運(yùn)動(dòng)，每一點(diǎn)的角速度相同，故非剛體上每點(diǎn)的角動(dòng)量方向都相同，大小為，整個(gè)非剛體的角動(dòng)量定理就是把它上每點(diǎn)的角動(dòng)量定理加起來。其中角動(dòng)量相加時(shí)由于同一瞬時(shí)非剛體上每點(diǎn)的角速度都相同，每點(diǎn)的角動(dòng)量方向都相同，所以整個(gè)非剛體某個(gè)時(shí)刻的角動(dòng)量就等于非剛體上所有點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和乘以此刻的角速度，非剛體上所有點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和就是整個(gè)非剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。非剛體在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)過程中發(fā)生形變，對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量發(fā)生，角速度也發(fā)生變化，所以整個(gè)過程中初末時(shí)刻的角動(dòng)量就等于非剛體的初末時(shí)刻轉(zhuǎn)動(dòng)慣量乘初末時(shí)刻角速度，最終可得整個(gè)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)非剛體的角動(dòng)量定理就應(yīng)該為：

（17）

定軸轉(zhuǎn)動(dòng)可形變非剛體的角動(dòng)量定理。

6 任意系統(tǒng)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理

由于任意系統(tǒng)，無論是純粹的質(zhì)點(diǎn)系，純粹的剛體系，還可以是質(zhì)點(diǎn)、剛體、可形變非剛體構(gòu)成的復(fù)雜的系統(tǒng)，都可以采用分割法將系統(tǒng)看成是由質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，利用質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理，所有系統(tǒng)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理的表達(dá)式可以表示為：

（18）

其中M是系統(tǒng)所受所有外力對(duì)定軸的力矩和，Ji為系統(tǒng)里第i個(gè)物體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，和為系統(tǒng)里第個(gè)物體對(duì)軸的初末角速度。

7 結(jié)語

本文先定義了力矩和角動(dòng)量，從質(zhì)點(diǎn)的牛頓第二定律出發(fā)，首先引出質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理，又經(jīng)嚴(yán)格的分析推導(dǎo)，給出不同物體及系統(tǒng)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角動(dòng)量定理表達(dá)式，并最終給出適合所有物體及系統(tǒng)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理表達(dá)式：

（19）

參考文獻(xiàn)

[1] 張三慧.大學(xué)物理學(xué)上[M].北京：清華大學(xué)出版社，2014.endprint