王帥帥，李殿起，汪鵬飛，張少華，魏 爽

(沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110870)

·設(shè)計(jì)計(jì)算·

非圓行星齒輪馬達(dá)輪系特殊結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)

王帥帥，李殿起，汪鵬飛，張少華，魏 爽

(沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110870)

提出了一種高階非圓行星齒輪馬達(dá)，相比于波蘭SOK馬達(dá)，高階非圓齒輪馬達(dá)徑向力平衡，排量大，脈動(dòng)小，性能更優(yōu)。如何確定齒輪副中各非圓齒輪的節(jié)曲線和齒廓是設(shè)計(jì)非圓齒輪的關(guān)鍵。本文首先依據(jù)非圓齒輪的嚙合原理，得出封閉節(jié)曲線的方程式，確定在節(jié)曲線上均勻分布的輪齒的位置,并通過(guò)利用產(chǎn)形齒輪與非圓柱齒輪嚙合關(guān)系來(lái)確定非圓柱齒輪的齒廓。通過(guò)MATLAB編程軟件對(duì)相關(guān)參數(shù)方程進(jìn)行相應(yīng)的計(jì)算，快速的計(jì)算出準(zhǔn)確的非圓齒輪副的節(jié)曲線和齒廓。最后用實(shí)例驗(yàn)證了該方法的可行性。

非圓行星齒輪馬達(dá)；馬達(dá)性能；參數(shù)方程；MATLAB

0 前言

非圓行星齒輪馬達(dá)是一種新型低速大扭矩馬達(dá)，其主要特點(diǎn)包括低速運(yùn)轉(zhuǎn)平穩(wěn)、啟動(dòng)效率高、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量小、加速和制動(dòng)時(shí)間短、結(jié)構(gòu)緊湊、布置靈活等。變中心距的非圓行星齒輪副是非圓齒輪馬達(dá)的關(guān)鍵構(gòu)件。該齒輪副由非圓太陽(yáng)輪、非圓內(nèi)齒圈和圓柱行星齒輪構(gòu)成。本文將非圓齒輪馬達(dá)按照非圓行星齒輪副的結(jié)構(gòu)命名。所謂6-8(4-6)型行星馬達(dá)，是指太陽(yáng)輪節(jié)曲線的周期數(shù)n1=6(4),內(nèi)齒圈節(jié)曲線的周期數(shù)n3=8(6)。對(duì)于不同非圓太陽(yáng)輪節(jié)曲線方程從而得到的馬達(dá)性能顯然也是不同的。在非圓太陽(yáng)輪運(yùn)轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，共有n1n3/(n1+n3)個(gè)吸液、排液的過(guò)程，n1、n3越大,馬達(dá)單位體積排量越大，脈動(dòng)率越小。因此高階非圓齒輪馬達(dá)相比于應(yīng)用中的SOK馬達(dá)，具有更深刻的研究?jī)r(jià)值。本文以太陽(yáng)輪的節(jié)曲線是高階橢圓，內(nèi)齒圈的節(jié)曲線是周期曲線為研究對(duì)象。不僅要確定橢圓齒輪副中太陽(yáng)輪和內(nèi)齒圈的齒數(shù)z1、z3,行星輪的齒數(shù)z2，還要計(jì)算出橢圓的中徑Rz和偏心率e。目前存在的文獻(xiàn)中只給出了3-4及4-6型齒輪馬達(dá)的上述參數(shù)，更高階橢圓齒輪機(jī)構(gòu)無(wú)參考資料。為此,本文從已知參數(shù)n1、n3出發(fā)，結(jié)合非圓齒輪的特點(diǎn)，用MATLAB語(yǔ)言求解出所需參數(shù)，得到節(jié)曲線方程和齒廓的方程。從而得到完整而精確的高階非圓行星齒輪機(jī)構(gòu)。

1 參數(shù)求解

此馬達(dá)中的齒輪副的節(jié)曲線應(yīng)該符合以下的要求：

(1)齒輪副要做連續(xù)的轉(zhuǎn)動(dòng)，來(lái)保證周期性的運(yùn)動(dòng)關(guān)系，因此太陽(yáng)輪與內(nèi)齒圈的節(jié)曲線都必須是封閉的。

高階橢圓太陽(yáng)輪的極坐標(biāo)方程為

(1)

式中,Rz是中徑；e是偏心率；A是橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)度；μ1是向徑r與嚙合點(diǎn)切線的正方向的夾角。內(nèi)齒圈的節(jié)曲線r3的方程為

(2)

在φ1=0-2π范圍內(nèi)，r1變化n1個(gè)周期，n1階橢圓的節(jié)曲線是閉合的。以n1階太陽(yáng)輪來(lái)計(jì)算非圓輪系中內(nèi)齒圈的節(jié)曲線的時(shí)候，為了使內(nèi)齒圈的節(jié)曲線封閉，必須滿足條件：

(3)

(2)太陽(yáng)輪和內(nèi)齒圈的輪齒均勻分布在各自的節(jié)曲線上。

太陽(yáng)輪(內(nèi)齒圈)輪齒均布的條件是太陽(yáng)輪(內(nèi)齒圈)旋轉(zhuǎn)2π角度得到的節(jié)曲線長(zhǎng)度等于πmz1(πmz3)。由以上方程，給出太陽(yáng)輪和內(nèi)齒圈的階數(shù)n1、n3，行星輪的齒數(shù)z2，合適的模數(shù)m后，借助MATLAB語(yǔ)言將兩個(gè)條件作為約束函數(shù)就能得到參數(shù)Rz、e。其中，偏心率e的值與模數(shù)、齒數(shù)無(wú)關(guān)，對(duì)于相同的太陽(yáng)輪曲邊數(shù)，內(nèi)齒圈的曲邊數(shù)與太陽(yáng)輪的曲邊數(shù)差值既n3-n1的值加大時(shí)，偏心率應(yīng)減小。

表1 太陽(yáng)輪的節(jié)曲線是高階橢圓時(shí)部分參數(shù)的搭配

2 非圓齒輪的齒廓及節(jié)曲線的確定

2.1 節(jié)曲線的形成

圖1 行星輪系的運(yùn)動(dòng)圖

根據(jù)已知太陽(yáng)輪的節(jié)曲線來(lái)求出內(nèi)齒圈的節(jié)曲線：

太陽(yáng)輪所在固定坐標(biāo)系為o1x1y1、o3x3y3是隨同內(nèi)齒圈回轉(zhuǎn)的動(dòng)坐標(biāo)系。行星輪2的節(jié)圓與太陽(yáng)輪的節(jié)曲線在C點(diǎn)接觸，與內(nèi)齒圈的節(jié)曲線在D點(diǎn)接觸。由三心定理，C、D、o1在同一條直線上。對(duì)于動(dòng)坐標(biāo)系o3x3y3來(lái)說(shuō)，內(nèi)齒圈滿足的極坐標(biāo)方程是

(4)

輸入不同的參數(shù)Rz、e，太陽(yáng)輪的階數(shù)n1、內(nèi)齒圈的階數(shù)n3，行星輪的半徑r2。通過(guò)MATLAB語(yǔ)言分析，就能得到不同非圓行星齒輪副的節(jié)曲線。圖2、圖3是分別以4-6和6-8齒輪為算例，得到的節(jié)曲線圖形。

圖2 4-6階非圓行星齒輪副節(jié)曲線

圖3 6-8階非圓行星齒輪副節(jié)曲線

以6-8階橢圓齒輪副作為算例，圖4～6分別繪制了太陽(yáng)輪的極徑，內(nèi)齒圈的轉(zhuǎn)角、內(nèi)齒圈角速度與太陽(yáng)輪轉(zhuǎn)角的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

圖4 太陽(yáng)輪的極徑與太陽(yáng)輪的轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系圖

通過(guò)圖4～6可以看出在太陽(yáng)輪旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，太陽(yáng)輪的極徑以自身階數(shù)為周期變化，內(nèi)齒圈的轉(zhuǎn)角與太陽(yáng)輪的轉(zhuǎn)角關(guān)系成立。并且能找出內(nèi)齒圈的角速度在一個(gè)曲線段內(nèi)變化規(guī)律，為齒輪動(dòng)力學(xué)研究提供了方向。同時(shí)也驗(yàn)證了通用程序的可行性。

圖5 轉(zhuǎn)角與太陽(yáng)輪轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系圖

圖6 角速度與太陽(yáng)輪轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系圖

2.2 齒廓的形成

節(jié)曲線形狀導(dǎo)致不同的非圓齒輪的齒廓一般也是各不相同的，對(duì)于這種節(jié)曲線有內(nèi)凹特點(diǎn)的非圓齒輪,需要用非圓齒輪和產(chǎn)形齒輪內(nèi)外嚙合來(lái)設(shè)計(jì)這種非圓齒輪的齒廓。

如圖7所示，產(chǎn)形齒輪和非圓太陽(yáng)輪呈外嚙合狀態(tài)，產(chǎn)形齒輪的節(jié)圓在太陽(yáng)輪的節(jié)曲線上作逆時(shí)針?lè)较虻臐L動(dòng)。滾過(guò)一定角度后，兩齒輪的節(jié)圓在D點(diǎn)接觸。

圖7 非圓太陽(yáng)輪齒廓的形成

坐標(biāo)系o1x1y1是靜坐標(biāo)系，坐標(biāo)系o2x2y2是與產(chǎn)形齒輪副連的的動(dòng)坐標(biāo)系。根據(jù)求解產(chǎn)形齒輪順時(shí)針齒廓的方法。對(duì)于順時(shí)針齒廓的任意一點(diǎn)Fs，此處對(duì)于點(diǎn)的半徑rs為

(5)

ts=α-αs

(6)

在坐標(biāo)系o2x2my2m中，F(xiàn)s的坐標(biāo)用x2sm和y2sm表示。則在靜坐標(biāo)系o1x1y1中，F(xiàn)s點(diǎn)的坐標(biāo)為

(7)

Fs點(diǎn)的坐標(biāo)是關(guān)于t1的參數(shù)方程。當(dāng)t1由小變大時(shí)，嚙合點(diǎn)在太陽(yáng)輪的齒廓上由齒頂部運(yùn)動(dòng)到齒根。另一側(cè)齒廓可以采用同樣方法得到。

(8)

當(dāng)非圓行星齒輪應(yīng)用在液壓馬達(dá)上時(shí)，可以將節(jié)曲線的法向等距線作為太陽(yáng)輪和內(nèi)齒圈的齒頂線、齒根線。

3 校檢參數(shù)

為保證得到的非圓齒輪副的正確性以及在液壓馬達(dá)中的實(shí)用性，需要從非圓齒輪的重合度和輪齒在節(jié)曲線上的位置兩方面進(jìn)行驗(yàn)證。

3.1 校檢重合度

齒根過(guò)渡曲線是輪齒干涉分析的基礎(chǔ)，也是求解齒根應(yīng)力集中系數(shù)，進(jìn)行彎曲強(qiáng)度校核的基礎(chǔ)。對(duì)于節(jié)曲線是高階橢圓的非圓齒輪，因?yàn)閷⒐?jié)曲線的法向等距線作為齒頂線和齒根線時(shí)存在一定的誤差，所以需要做重合度校驗(yàn)。非圓齒輪的重合度的公式為

(9)

其中，外嚙合時(shí)重合度是正值，內(nèi)嚙合時(shí)重合度是負(fù)值。其中，?′是嚙合角，?11、?22是兩齒輪齒頂圓壓力角。通過(guò)程序算出6-8行星輪和太陽(yáng)輪嚙合的重合度最小值是1.4888，并且滿足要求。

3.2 校檢齒輪位置

非圓齒輪上的主、從動(dòng)輪的節(jié)曲線上切點(diǎn)的位置是一一對(duì)應(yīng)的，因此，非圓齒輪的輪齒在節(jié)曲線上的位置也是固定不變的。所以有必要判斷MATLAB畫(huà)出的齒廓在節(jié)曲線上是不是均勻分布的。圖8就是利用MATLAB語(yǔ)言得出的節(jié)曲線等分點(diǎn)。

圖8 節(jié)曲線的等分點(diǎn)

最后，把得到的節(jié)曲線和齒廓數(shù)據(jù)點(diǎn)導(dǎo)入到SOLIDWORKS進(jìn)行實(shí)體拉伸就能得到圖9所示的高階非圓齒輪副的三維模型。

圖9 高階非圓齒輪副的三維模型

4 結(jié)論

以非圓齒輪的節(jié)曲線和齒廓需滿足的條件為邊界條件，確定出了非圓行星齒輪的中徑、偏心率以及節(jié)圓方程和齒廓數(shù)據(jù)。解決了非圓齒輪參數(shù)難以計(jì)算的問(wèn)題。

提出了排量大，徑向力小，振動(dòng)小的6-8階非圓行星齒輪馬達(dá)，突破了以往研究的界限，為高階非圓行星齒輪馬達(dá)的發(fā)展及應(yīng)用提供了技術(shù)支持。

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Design of non-circular planetary gear motor gear with special structure

WANG Shuai-shuai,LI Dian-qi,WANG Peng-fei,ZHANG Shao-hua，WEI Shuang

(Department of Mechanical Engineering,Shenyang University of Technology,Shenyang 110870,China)

A high order non-circular planetary gear motors are proposed in this article. High order non-circular planetary gear motor proves balanced radial force, great motor displacement, small pulsation, which is superior to SOK motor. The key of the gear design is to determine the pitch curve and tooth profile of each non-circular gear. First, based on engagement principle, the pitch curve equation and even-distributed tooth position are obtained. Then, using the engagement gear with non-circular gear in gear forming process, the tooth profile of non-circular can be obtained. The parametric equations of the gear pitch curve and tooth profile are obtained quickly and accurately by MATLAB. Finally, and the feasibility of the method is verified by the actual model.

non-circular planetary gear motor;motor performance;parametric equation

TH132.4

A

1001-196X(2017)05-0059-05

2017-01-06；

2017-03-17

國(guó)家自然科學(xué)基金(51105257，51310105025)及遼寧省高等學(xué)校杰出青年學(xué)者成長(zhǎng)計(jì)劃(LQJ2014012)

王帥帥(1993-)，男，遼寧大連人，沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)碩士研究生。