蘇旭

[摘 要] 數(shù)學實驗成為新的促進學生構建數(shù)學知識的方式，經(jīng)驗與研究表明，數(shù)學實驗不能只是“指令性操作”，數(shù)學實驗需要學生在思維的牽引下去“做”，數(shù)學實驗的過程與結果需要讓學生用數(shù)學語言去“說”. 只有經(jīng)歷了由“做”向“說”的演繹，才能讓學生對數(shù)學實驗有深刻的認識，才能真正達到數(shù)學理解的境界.

[關鍵詞] 高中數(shù)學；數(shù)學實驗；做；說

這是一個注重體驗的時代，因為只有體驗才能讓學生形成深刻的經(jīng)驗，也只有經(jīng)驗才能支撐起學生有效的學習（其實對于成人來講，體驗也是讓人擁有更豐富知識與能力的重要途徑），所謂的“不經(jīng)一事，不長一智”的說法就是這個意思. 因此，教師從關注自身能力形成及學生有效學習的角度來看，注重體驗是一個重要的選擇. 對于教學來說，由于其需要在短時間內(nèi)將人類長期積淀的文化知識進行傳遞，因此真正的體驗機會并不是很多，而對于高中數(shù)學教學來說，由于學科特點與知識特征，能夠直接體驗的內(nèi)容更是很少. 為了改變這一現(xiàn)狀，人們將數(shù)學學習的方式投向了實驗的方式，取得了不錯的成果. 在對數(shù)學實驗進行觀察的過程中，筆者注意到數(shù)學實驗在高中數(shù)學課堂上的存在還顯得有些初步，很多時候因為沒有把握好實驗的實質(zhì)與目的，而使得實驗僅僅是“做”了一下，并沒有讓學生形成真正的數(shù)學理解，“經(jīng)事”而不“長智”的情形在數(shù)學實驗中并不少見. 而要改變這一現(xiàn)狀，在筆者看來并不需要太“高大上”的招式，只要遵循不僅要“做”還要“說”的思路，就可以讓數(shù)學實驗向有效的方向再進一步.

用“做”構建數(shù)學實驗的基礎

既是實驗，那肯定是要做的，但在對自然科學及其教學的研究中，筆者發(fā)現(xiàn)很多研究者都持一個觀點，那就是實驗不能是學生照著實驗步驟亦步亦趨地做，因為那只是像機器人一樣“指令性地操作”，而不是真正的“做”. 真正的做，應當是學生在自身思考的驅(qū)動下生成的一種肢體性動作. 在真正做實驗的過程中，“做”只是一種外在行為，學生大腦中的思考才是最需要關注的地方.

例如，在“橢圓”知識的教學中，筆者注意到不少課堂甚至高級別的公開課堂上，教師都會給學生一些器材，如一個木板上釘著兩顆釘子，一根長度超過兩顆釘子距離的低韌性細線，一支記號筆等. 而在課堂上，教師則會明確讓學生“將細線兩端系在釘子上，然后用記號筆將細線拉直，并在木板上轉動，留下轉動的軌跡”. 學生在一番操作之后，教師便向?qū)W生提問：“我們得到了一個圖形，大家說這個圖形是什么啊？”在這種情況下，只要智力正常的學生都會猜測到教師的意圖，于是便異口同聲地說出“橢圓”也就是自然而然的事了. 這樣的課堂，學生沒有多余的行為，也不會出現(xiàn)錯誤的行為，而正確結果之后的異口同聲還可以將課堂氣氛推向高潮，于是教師、學生、聽課者面前出現(xiàn)了一番熱鬧的場景. 課后有人評課，持“這個教學環(huán)節(jié)高效高能，沒有浪費時間，是值得贊賞的”評價. 但筆者在想，這個過程中學生“做”了什么呢？他們又獲得了什么呢？只要將這兩個問題擺出來，這個教學環(huán)節(jié)的問題也就出現(xiàn)了.

因此，數(shù)學實驗的“做”是需要深刻理解的，只有“做”能夠為學生的數(shù)學學習奠定理解基礎的時候，這個“做”才是有意義的. 同樣，如在橢圓概念的教學中，筆者進行了這樣的設計：第一步，只給出一個小木板和鉛筆，讓學生在上面畫出自己所理解的橢圓的樣子. 這是讓學生利用自己的經(jīng)驗去構造對橢圓的初步理解，此時學生的生活經(jīng)驗會得到一定程度的改造，因為他們原來只認為只要把圓壓扁了就可以得到橢圓，而真正要動手畫的時候，他們會思考“多扁的圓才是橢圓”等問題，這樣的思考奠定了興趣基礎與思維基礎. 第二步，用視頻播放木工師傅是如何用土辦法得到橢圓的（具體如上例，不贅述）. 第三步，一個小組給出學生兩顆釘子和一根細線，讓學生確定好位置之后教師幫他們固定，然后讓他們?nèi)ツ７乱曨l中的方法得到橢圓. 在實際教學中，學生會思考兩個問題：一是釘子之間的距離是多少；二是細線該用多長. 而學生的選擇往往是隨機確定的（請注意，這里的隨機是思考之后沒有辦法的隨機，實際上是一種試錯心理的運用）. 而實踐之后，學生會發(fā)現(xiàn)不同的釘子間距與不同的線長，會得到不同的橢圓，于是他們會自發(fā)地與別的小組進行比較，還會自發(fā)地嘗試第二次構造橢圓. 最后，當他們將兩次構造的橢圓進行比較，并與最初用鉛筆畫出來的橢圓（其實這個時候已經(jīng)知道它未必是橢圓）進行比較時，他們對橢圓的印象無疑深刻了許多.

在這個過程中，學生的“做”不是機械的“做”，而是在自己的思考下進行的探究式的“做”，進行的試錯式的“做”. 在這個過程中，由于有了思維的參與，“做”也就有了更豐富的意義，從而為后面數(shù)學概念的形成奠定了堅實的基礎.

用“說”升華數(shù)學實驗的意蘊

在筆者的教學觀念中，每一個數(shù)學概念或規(guī)律的得出，都應當是一個高貴而莊重的過程，因為數(shù)學發(fā)展史上，數(shù)學概念的形成本就有這樣的意味，在數(shù)學課堂上如果讓學生感覺到一個數(shù)學概念的來之不易，如果讓學生感覺到數(shù)學概念得出之后有著巨大的作用，那這個過程自然是有意義的. 如果說數(shù)學實驗為學生的“做”提供了機會，為學生的思維開拓了空間的話，那進一步的“說”就為學生從經(jīng)驗走向數(shù)學理論提供了寬闊的通道.

這里的“說”是指用數(shù)學語言來說，是指用數(shù)學語言去描述自己在數(shù)學實驗中的所思、所想. 數(shù)學語言最大的特點就是概括性、精確性及簡潔性，其用最少的字表達出最豐富的內(nèi)涵，這是其他學科的語言所難以達到的一種境界. 在上面的“橢圓”實驗中，學生經(jīng)過“做”，已經(jīng)形成了豐富的經(jīng)驗，但這個時候的經(jīng)驗還是比較初步的，他們知道橢圓的得出方式，但是他們肯定也知道，不能用“在兩顆固定的釘子上系上一根細線，用記號筆繃緊后畫出的圖形就是橢圓”來定義橢圓. 教師應當知道，學生此時是已經(jīng)有了這樣的認識的，只是這應當界定為學生的生活語言而已. 要從生活語言向數(shù)學語言過渡，就需要學生形成運用數(shù)學語言的意識與能力.

關于運用數(shù)學語言的意識，教師可以作適當?shù)闹敢涸趧偛诺膶嶒炦^程中，我們已經(jīng)親身經(jīng)歷了一個得到橢圓的過程，那么大家不妨來嘗試一下，如何將我們剛才的有形的數(shù)學實驗抽象（加重語氣）成一個簡潔的數(shù)學過程呢？由于強調(diào)了要抽象，那很顯然，下面的工作就是將數(shù)學實驗中的釘子、細線等抽象成兩個固定點、一個不變的距離，而所得到的橢圓就應當視作點的集合了. 到了這個時候，橢圓的定義就呼之欲出了.

需要指出的是，經(jīng)過剛才的一段學習歷程，學生思維中的印象就有兩點比較深刻：一是自己的操作過程，也就是“做”的過程，這里教師要幫學生總結兩個“做”的環(huán)節(jié)都比較重要，其一是徒手畫橢圓（這個時候?qū)W生已經(jīng)知道未必是橢圓了），其二是用標準方法畫橢圓. 讓學生對這兩個“做”形成深刻的印象，有利于后面橢圓標準方程知識的學習. 二是用數(shù)學語言來定義橢圓. 由于不僅“做”了，而且“說”了，因此學生的思維就完成了動作技能向言語知識的過渡，就實現(xiàn)了操作經(jīng)驗向數(shù)學經(jīng)驗的升華. 這不僅讓學生對橢圓的定義有了純粹的數(shù)學的認識，還讓學生的數(shù)學學習品質(zhì)得到了提高，最起碼的學生更清晰地認識到了只有用數(shù)學語言描述的內(nèi)容才是真正屬于數(shù)學的.

從“做”到“說”促進數(shù)學理解形成

從“做”到“說”，不僅是一個教學選擇的問題，更是一個教學理念的問題. 為什么有教師只重視“做”，因為他們認為只要“做”了學生自然就會“說”了. 但事實上并非如此，在高中數(shù)學教學中，我們都是強調(diào)數(shù)學理解的，數(shù)學理解如何形成？不是教師的想當然，而是要經(jīng)過學生縝密地思考.數(shù)學實驗作為一種重要的學習方式，其“做”必須具有思考的意味，其“說”必須成為促進學生思考的一種方式. 每一次“做”都應當是學生思考進一步深入的機會，每一次“說”都應當成為學生進一步熟練運用數(shù)學語言的機會，只有這樣才能達成數(shù)學理解.

如果在數(shù)學實驗中多一點整體意識，還可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學實驗的“做”與“說”可以為下次學習奠定基礎. 比如說上面的橢圓概念教學，就可以為橢圓的定義之后橢圓標準方程的學習提供契機. 在研究橢圓標準方程的過程中，筆者幫學生回憶曾經(jīng)的數(shù)學實驗，然后提問：自己徒手畫的那個扁圓是不是標準的橢圓呢？于是這就涉及一個橢圓的判定問題，而由于前面已經(jīng)有了其他圓錐曲線的學習，學生自然知道橢圓也應當存在一個標準方程. 在本知識的學習過程中，會發(fā)現(xiàn)此前的“說”與“做”，為學生建立橢圓標準方程發(fā)揮了多大的作用，當學生將“做”與“說”的結果遷移到標準方程形成的過程中時，那種殊途同歸的數(shù)學理解過程，就是一段難得的高峰體驗.

因此，數(shù)學實驗是必須“做”的，但要形成數(shù)學理解，也要必須“說”的. 以“做”促“說”，以“說”引“做”，應當成為高中數(shù)學實驗的基本思路.endprint