鄭凱文

摘 要：概述了高中數(shù)學(xué)中與函數(shù)相關(guān)的考點(diǎn)，包括基本概念，特征分析，圖像運(yùn)用，復(fù)合函數(shù)和抽象函數(shù)。舉例分析了應(yīng)對(duì)低中高三種不同難度的題型的解題方法，其基本要素在于吃透概念、邏輯清晰和巧用發(fā)散思維。最后對(duì)解題技巧做了更詳細(xì)的論述，指出不同技巧的提出原理和應(yīng)用場(chǎng)景。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué) 函數(shù)問題 解題技巧

一、考點(diǎn)概述

高中階段關(guān)于函數(shù)內(nèi)容主要考察的知識(shí)點(diǎn)包括：對(duì)函數(shù)基本概念的理解，比如函數(shù)的定義以及特定函數(shù)定義域、值域和表達(dá)式；對(duì)函數(shù)特征的辨識(shí)，比如單調(diào)性、周期性、奇偶性、極值點(diǎn)；對(duì)函數(shù)圖像的繪制和運(yùn)用，利用圖像進(jìn)行解題；初等函數(shù)的基本性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)的分析技巧；還有比較有難度的抽象函數(shù)等。這些考點(diǎn)構(gòu)成了高中函數(shù)題的絕大部分，除此之外，是將函數(shù)與諸如數(shù)列、不等式等考點(diǎn)結(jié)合起來考察，題型更加靈活，求解要求更高。[1]

學(xué)會(huì)解題和分析技巧的第一步，便是明確可能要考察的知識(shí)點(diǎn)，只有洞察了考點(diǎn)，才能隨機(jī)應(yīng)變，準(zhǔn)確解題。[2]

二、例題解析

1.吃透概念解簡(jiǎn)單題

從考卷整體得分的角度來看，在對(duì)基本概念理解透徹的基礎(chǔ)上，應(yīng)盡量在一些簡(jiǎn)單題中做到百分百拿分。[3]

（1）例：已知函數(shù)，求其值域。

解：這道題函數(shù)的表達(dá)式并不復(fù)雜，可以用導(dǎo)數(shù)法求出單調(diào)性，然后求出值域，但過程較為繁瑣，其實(shí)還有更加簡(jiǎn)便快捷的方法，那就是將原函數(shù)取倒數(shù) ，這時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)形式上的變化帶來了新的求解思路，利用基本不等式可簡(jiǎn)化求解。

當(dāng)時(shí)，可化簡(jiǎn)為，因此。

當(dāng)時(shí)，。綜上，原函數(shù)值域?yàn)?。

（2）例：已知有偶函數(shù)和奇函數(shù)，滿足條件 ，試求和各自的表達(dá)式。

解：這是一道較為常規(guī)的利用奇偶性求表達(dá)式的題目，一般解法是用代替方程中的，這里也不例外。改寫原方程得，又根據(jù)和各自的奇偶性有，；

所以有，再和原方程聯(lián)立，相當(dāng)于解二元一次方程組，得，。

2.邏輯清晰解中等題

中等題的考點(diǎn)多于簡(jiǎn)單題，通常具有連貫性，解題時(shí)需步步為營(yíng)，不留遺漏。

例：已知函數(shù)，其中為正數(shù)，求該函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間。

解：這道題主要考察的是對(duì)函數(shù)求導(dǎo)以判斷單調(diào)性，而函數(shù)本身有待定系數(shù)，因此解答重點(diǎn)在于分類討論，避免漏解。

首先對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)得，不妨先求單增區(qū)間。令，因?yàn)橛星?，所以可以等效為，這里看作一個(gè)含有待定系數(shù)的一元二次不等式，其中 ，求解時(shí)必須分類討論。

當(dāng)時(shí)，此時(shí)，那么恒成立，所以此時(shí)單增區(qū)間為。

當(dāng)時(shí)，僅在處取到零，其余均大于零，因此單增區(qū)間仍為。

當(dāng)時(shí)，解得或。此時(shí)應(yīng)當(dāng)注意，不能直接下結(jié)論判斷單增區(qū)間，因?yàn)轭}目要求，需要判斷與0的大小關(guān)系，這里可以運(yùn)用韋達(dá)定理得，，所以有，單增區(qū)間為 。

以上便求完了單增區(qū)間，此時(shí)再令，即，根據(jù)之前的求解，可知只有在時(shí)不等式有解，為。

這道題整體難度并不大，但對(duì)理解解題所需要的邏輯性和完整性有很大幫助，解題過程環(huán)環(huán)相扣，銜接緊密，在此基礎(chǔ)上如果使用更復(fù)雜的形式并引入更多的可變參數(shù)，則可進(jìn)一步提高難度。

3.發(fā)散思維解困難題

通常考試最后的幾道大題較有難度，考點(diǎn)也不限于某一大類，函數(shù)、數(shù)列、不等式、甚至是向量，都有可能交叉在一起考察，這個(gè)時(shí)候發(fā)散思維很重要。

（1）已知有

在時(shí)該式恒成立，又有方程的解為

那么

比較上式中左右兩邊的系數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)。根據(jù)上述規(guī)律，如果有方程，其根為：，那么可以將用表示為。

這道題的考點(diǎn)比較特殊，也不是常規(guī)題型，考察的是觀察、比較、猜想和推理的能力。雖然不是一道很難的大題，但是作為填空題來說，第一眼看上去還是有點(diǎn)唬人。解題的關(guān)鍵在于冷靜分析題目中所給的條件，親自動(dòng)手驗(yàn)證已給的結(jié)論，找到其中的判斷規(guī)律，然后再將其延伸到進(jìn)一步的求解中。

（2）例：已知函數(shù)，有兩個(gè)實(shí)數(shù)，試證明

證明：這道題僅從代數(shù)的角度來看，似乎難以證明，但是將不等式形式改寫為 后，容易聯(lián)想到距離的表達(dá)式，因此這里巧用向量的轉(zhuǎn)換來證明代數(shù)不等式。

根據(jù)題目，構(gòu)造兩個(gè)向量，由于，那么這兩個(gè)向量必然不共線，且有。根據(jù)向量知識(shí)中的距離不等式，僅在共線時(shí)等號(hào)成立，所以有，即。

三、技巧總結(jié)

上一節(jié)在解析例題的同時(shí)簡(jiǎn)要說明了解題技巧，這一節(jié)做更加詳細(xì)的論述。

1.掌握考點(diǎn)和出題點(diǎn)之間的聯(lián)系

考點(diǎn)和出題點(diǎn)看似是一回事，實(shí)則不然，兩者并非一一對(duì)應(yīng)?？键c(diǎn)是以結(jié)論的形式展現(xiàn)，出題點(diǎn)以問題的形式展現(xiàn)，同一個(gè)考點(diǎn)有不同的出題角度，而一個(gè)出題點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的考點(diǎn)也不是唯一的。因此除了掌握考點(diǎn)外，還需掌握理解考點(diǎn)和出題點(diǎn)的關(guān)系，才能在解題時(shí)做出足夠快速的反應(yīng)。

2.解題時(shí)思路清晰，邏輯完整

作者的數(shù)學(xué)老師曾經(jīng)在課堂上說過，高中數(shù)學(xué)和初中數(shù)學(xué)最大的不同點(diǎn)在于高中數(shù)學(xué)對(duì)思維量的要求明顯提高。所謂思維量，最重要的體現(xiàn)在于邏輯性和完整性，除了特別簡(jiǎn)單的填空選擇，其余大部分函數(shù)題都不可能一步到位，因此保證解題的邏輯性和完整性是應(yīng)對(duì)大部分題型的必備方法。

3.巧用發(fā)散思維創(chuàng)新解題

難題的難點(diǎn)不僅在于計(jì)算，還在于思路的不尋常，這種情況下，發(fā)散性思維是解出難題的基本保證。要運(yùn)用發(fā)散性思維，往往要對(duì)已知條件仔細(xì)觀察，嘗試不同的變化，才能最終找到引申的考點(diǎn)和解法。

結(jié)語(yǔ)

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中最重要的考點(diǎn)之一，其考察內(nèi)容豐富，考題層次性明顯，并且在一張?jiān)嚲碇袔缀蹩倳?huì)出現(xiàn)低中高三種難度的函數(shù)考題。因此，在掌握基本知識(shí)點(diǎn)的基礎(chǔ)上，對(duì)三種難度的題型一一擊破，是值得優(yōu)先選擇的策略。作者根據(jù)自身實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，分享了應(yīng)對(duì)方法和解題技巧，既可用于啟發(fā)當(dāng)前的學(xué)習(xí)，又為未來在大學(xué)進(jìn)一步的深造夯實(shí)了基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)

[1]劉佳. 解析導(dǎo)數(shù)與函數(shù)[J]. 教育教學(xué)論壇，2014，（01）：166-167.

[2]許諾. 關(guān)于高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題思路多元化的方法舉例探索[J]. 科學(xué)大眾（科學(xué)教育），2016，（02）：25.

[3]李瑛，郭嘯. 高中函數(shù)問題的數(shù)學(xué)解題要素與解題能力探究[J]. 開封教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2013，（03）：212-213.endprint