胡 林， 黃文濤， 蔡 乾， 金 江

（1.華中科技大學(xué) 電子信息與通信學(xué)院，湖北 武漢430074；2.上海無(wú)線電設(shè)備研究所，上海200090）

0 引言

含噪信號(hào)的去噪問(wèn)題是信號(hào)處理領(lǐng)域的經(jīng)典問(wèn)題，在工程實(shí)踐中出現(xiàn)許多信號(hào)降噪方法，如小波與小波包降噪法[1]、減譜降噪法[2]、獨(dú)立分量分析（Independent Component Analysis，ICA）降噪法[3]，以及經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解（Empirical Mode Decomposition，EMD）降噪法等[4]。小波降噪法的降噪效果很大程度上取決于濾波器性能的優(yōu)劣，且當(dāng)信號(hào)的特征頻段沒(méi)有先驗(yàn)了解或有用信號(hào)與噪聲的頻帶交疊嚴(yán)重時(shí)，小波降噪法將失效。ICA降噪法要求各個(gè)源信號(hào)之間瞬時(shí)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，且至多只能有一個(gè)源信號(hào)為高斯分布。EMD降噪法存在模態(tài)混淆、過(guò)包絡(luò)、欠包絡(luò)和瞬時(shí)頻率有效性等問(wèn)題。

研究表明，利用奇異值分解（Singular Value Decomposition，SVD）進(jìn)行信號(hào)消噪是一種有效的降噪處理方法[5-6]，降噪后的信號(hào)相移較小，且不存在時(shí)間延遲。基于SVD的信號(hào)降噪方法的關(guān)鍵在于有效降噪階次的選取，現(xiàn)有的很多文獻(xiàn)都是針對(duì)降噪階次的研究，但目前還沒(méi)有非常成熟和普適的方法，在工程實(shí)現(xiàn)中通常采用的試湊法和閾值法都依賴于使用者的經(jīng)驗(yàn)。文獻(xiàn)[7]提出一種利用奇異熵增量的漸近特性來(lái)確定有效降噪階次的方法，但除了幅值的變化外，奇異熵增量曲線和奇異值曲線的形狀并沒(méi)有多大的區(qū)別。文獻(xiàn)[8]提出一種根據(jù)奇異值曲率譜的最大峰值位置確定有效降噪階次的方法，但在工程實(shí)現(xiàn)中曲率譜的最大峰值也有可能出現(xiàn)在噪聲平臺(tái)中。本文基于上述兩種方法，提出一種基于奇異熵增量曲率譜的降噪階次確定方法，并通過(guò)仿真試驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的有效性。

1 奇異值分解降噪原理

假設(shè)一維信號(hào)序列x（k）混入加性高斯白噪聲e（k）后得到的含噪信號(hào)序列為y（k），即有y（k）=x（k）+e（k） （1）

采用SVD降噪方法對(duì)y（k）進(jìn)行降噪處理的具體實(shí)施框圖，如圖1所示。

實(shí)施步驟如下。

第1步，由一維含噪信號(hào)序列y（k）（k=1，2，…，N，N為數(shù)據(jù)長(zhǎng)度）構(gòu)造含噪信號(hào)矩陣Ym×n。為降低計(jì)算復(fù)雜度，當(dāng)N較大時(shí)，可采用連續(xù)截?cái)嗟姆绞綄⑵湓厍度氲絤×n維相空間內(nèi)，即

第2步，對(duì)含噪矩陣Ym×n進(jìn)行奇異值分解，得到主對(duì)角矩陣∑和左右正交矩陣S、D，即

其中：

式中：O 代 表 零 矩 陣；p=min（m，n）；λ1≥，稱為矩陣Ym×n的奇異值。

第3步，選取有效奇異值降噪階次q，保留主對(duì)角矩陣∑m×n的前q個(gè)大奇異值，將其余的小奇異值置零，得到新的主對(duì)角矩陣∑x=diag（λ1，λ2，…，λq，0，…，0），其中q＜p，且λi≠0，i=1，2，…q。

第4步，利用對(duì)角陣∑x、左右正交矩陣S和D，根據(jù)式（3）進(jìn)行SVD重構(gòu)運(yùn)算，得到估計(jì)出的信號(hào)矩陣X^。

由奇異值分解理論可知，較大的奇異值主要反映的是信號(hào)特征，而較小的奇異值主要反映的是噪聲特性，因此該方法的關(guān)鍵在于如何確定分解后的對(duì)角陣∑的有效降噪階次q。當(dāng)所選階次較高時(shí)，在降噪后的信號(hào)中仍保留了一部分噪聲信息，無(wú)法達(dá)到充分降噪的目的。當(dāng)所選階次較低時(shí)，降噪信號(hào)包含的信息不完整，會(huì)導(dǎo)致信號(hào)波形畸變，難以反映對(duì)原信號(hào)的有效信息特征。后文將重點(diǎn)討論有效降噪階次的選取問(wèn)題。

2 奇異熵增量曲率譜

在有效降噪階次的選取方面，目前使用較廣泛的是文獻(xiàn)[7]提出的一種方法，它將奇異熵增量開(kāi)始降低到漸近值時(shí)所對(duì)應(yīng)的階次作為降噪階次。奇異熵增量定義為

并非所有含噪信號(hào)的奇異熵增量曲線都存在明顯的漸近值，且從本質(zhì)上說(shuō)，除了幅值的變化外，奇異熵增量曲線和奇異值曲線的形狀并沒(méi)有多大的區(qū)別，即沒(méi)有明顯的特征可以用來(lái)確定有效降噪階次。

文獻(xiàn)[8]提出一種根據(jù)奇異值曲率譜的最大峰值位置確定有效降噪階次的方法，但射頻前端實(shí)采數(shù)據(jù)的奇異值較大，噪聲平臺(tái)對(duì)應(yīng)的小奇異值遠(yuǎn)大于0，且其值大幅度下降，導(dǎo)致其曲率譜的最大峰值有可能出現(xiàn)在噪聲平臺(tái)中。

奇異熵增量從幅值上可以理解為歸一化后的奇異值，其噪聲平臺(tái)對(duì)應(yīng)的奇異熵增量均接近0。由此，本文提出一種根據(jù)奇異熵增量曲率譜來(lái)確定有效降噪階次的方法。連續(xù)曲線l（t）上各點(diǎn)曲率的計(jì)算公式為

奇異熵增量曲線ΔEi由一系列離散點(diǎn)構(gòu)成，計(jì)算各點(diǎn)的曲率時(shí)用對(duì)應(yīng)的差分公式來(lái)代替上式中的導(dǎo)數(shù)，即

曲率譜反映的是各奇異熵增量的轉(zhuǎn)折程度，曲率越大，奇異熵增量的轉(zhuǎn)折程度越大，則奇異值在該處的變化越大。由理想噪聲構(gòu)造的矩陣的所有奇異值大小相等，實(shí)際噪聲構(gòu)造的矩陣中后面的奇異值會(huì)有一定幅度的下降，但這種下降是連續(xù)平滑的，且幅度很小，所以其奇異熵增量曲線沒(méi)有轉(zhuǎn)折點(diǎn)，曲率接近零。由此可以認(rèn)為，當(dāng)奇異熵增量的曲率降到趨于零時(shí)（設(shè)一個(gè)很小的正數(shù)作為判決閾值，即當(dāng)奇異熵增量曲率降到小于閾值時(shí)，則認(rèn)為達(dá)到了零值），信號(hào)的有效特征信息已趨于飽和，此時(shí)對(duì)應(yīng)的位置即為有效降噪階次q。

圖2為射頻接收前端實(shí)采短波信號(hào)的仿真，其中，圖2（a）為該信號(hào)的奇異值曲線，圖2（b）為該信號(hào)的奇異值曲率譜，圖2（c）為該信號(hào)的奇異熵增量曲線，圖2（d）為該信號(hào)的奇異熵增量曲率譜。對(duì)比圖2（a）和圖2（c）可見(jiàn)，除了幅值不同以外，這兩條曲線在形狀上的確沒(méi)有明顯的特征差異，即采用基于奇異熵增量的方法難以選取有效降噪階次。由圖2（b）可見(jiàn)，該曲線的最大峰值的確出現(xiàn)在噪聲平臺(tái)中（q=133），因此也不能依據(jù)奇異值曲率譜的最大峰值來(lái)選取有效降噪階次。由圖2（d）可見(jiàn)，該實(shí)采短波信號(hào)的有效降噪階次以確定（q=33），即采用本文提出的基于奇異熵增量曲率譜的方法能夠較準(zhǔn)確地選取到有效降噪階次。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

3.1 仿真信號(hào)的驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)

（1）雙窄帶通信號(hào)

為驗(yàn)證所提出的降噪方法的有效性，對(duì)通帶分別為7 MHz～8 MHz和15.5 MHz～16.5 MHz的雙窄帶通信號(hào)以不同的信噪比加入高斯白噪聲，對(duì)其進(jìn)行降噪處理，比較降噪前后的信噪比。實(shí)驗(yàn)時(shí)采用的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為65 536個(gè)點(diǎn)，構(gòu)造的矩陣規(guī)模為256×256。分別以5 dB、10 dB和15 dB的信噪比加入高斯白噪聲后進(jìn)行降噪處理，得到的仿真結(jié)果如圖3所示。其中，圖3（a）和圖3（b）分別為信噪比為5 d B時(shí)降噪處理前后的功率譜圖，圖3（c）和圖3（d）分別為信噪比為10 dB時(shí)降噪處理前后的功率譜圖，圖3（e）和圖3（f）分別為信噪比為15 dB時(shí)降噪處理前后的功率譜圖。表1則給出了仿真結(jié)果的具體數(shù)值。

可見(jiàn)，從功率譜上看，所提出的降噪方法具有較為明顯的降噪效果，可將本底噪聲降低10 dB左右。從降噪處理前后的信噪比來(lái)看，原含噪信號(hào)的信噪比越低，改善量越可觀，而當(dāng)原信號(hào)本身的信噪比已經(jīng)足夠高時(shí)，改善量則有限。

表1 雙窄帶通信號(hào)仿真結(jié)果

（2）等幅三頻加16QAM小信號(hào)

再以一個(gè)等幅三頻加16QAM小信號(hào)為例，進(jìn)一步說(shuō)明所提出的降噪算法的有效性。其中，等幅三頻信號(hào)的頻率位置分別為6.1 MHz、7.6 MHz和10.9 MHz；16QAM小信號(hào)的中心頻率為9.43 MHz，波特率為500 kbps，成型濾波器滾降系數(shù)a=0.5。實(shí)驗(yàn)時(shí)采用的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為65 536個(gè)點(diǎn)，構(gòu)造的矩陣規(guī)模為256×256。對(duì)其進(jìn)行降噪處理，仿真結(jié)果如圖4所示。其中，圖4（a）為原含噪信號(hào)的功率譜圖，圖4（b）為經(jīng)過(guò)降噪處理后的輸出信號(hào)的功率譜圖。

可見(jiàn)，原含噪信號(hào)的本底噪聲為-103 dBm，降噪處理后的本底噪聲為-111 dBm，即可將本底噪聲降低8 dB。此外，對(duì)降噪處理后的16 QAM小信號(hào)進(jìn)行解調(diào)，可以得到較好的解調(diào)效果，即該降噪處理過(guò)程能夠保證信號(hào)所含信息的完整性。

3.2 實(shí)采信號(hào)的驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)

為更好的驗(yàn)證本文提出的SVD降噪算法的降噪性能，圖5給出了對(duì)短波數(shù)字接收前端實(shí)采的不同類型信號(hào)進(jìn)行降噪處理前后功率譜對(duì)比圖。其中，圖5（a）為實(shí)采的雙16 QAM信號(hào)，中心頻率分別為9 MHz和12 MHz，波特率為1.25 Mbps，成型濾波器滾降系數(shù)為0.5。圖5（b）為該雙16 QAM信號(hào)的降噪輸出。圖5（c）為實(shí)采的等幅三頻信號(hào)與小功率16 QAM信號(hào)的組合信號(hào)，三頻信號(hào)的中心頻率分別為7 MHz、16 MHz和22 MHz，16 QAM信號(hào)的中心頻率為9 MHz，波特率為0.25 Mbps。圖5（d）為該組合信號(hào)的降噪輸出。圖5（e）為實(shí)采的大功率16 QAM信號(hào)與小功率16 QAM信號(hào)的組合信號(hào)，大功率16 QAM信號(hào)的中心頻率為9 MHz，波特率為1.25 Mbps，小功率16 QAM信號(hào)的中心頻率為18 MHz，波特率為0.25 Mbps。圖5（f）為該組合信號(hào)的降噪輸出。

由圖5可見(jiàn)，所采用的數(shù)字接收前端的輸出信號(hào)的本底噪聲水平已經(jīng)比較低，但采用本文提出的SVD降噪算法仍能改善4 d B～8 d B左右，且對(duì)各種類型的信號(hào)均有效。

尤其值得注意的是，圖5（d）和圖5（f）中降噪處理后的小功率16 QAM信號(hào)均可解調(diào)，即該降噪處理過(guò)程在降噪的同時(shí)能夠保證信號(hào)所含信息的完整性。

4 結(jié)論

本文將奇異值分解降噪法用來(lái)降低數(shù)字接收前端的本底噪聲，提出的根據(jù)奇異熵增量曲率譜特性來(lái)確定降噪階次的方法取得了較好的降噪效果，且能夠保證信號(hào)的完整性。將該方法應(yīng)用于數(shù)字接收前端時(shí)，可改善其噪聲系數(shù)和接收靈敏度，并提高微弱信號(hào)的發(fā)現(xiàn)和檢測(cè)概率，有效增大接收前端動(dòng)態(tài)范圍。