彭亦稰，陳小元

（麗水學(xué)院工學(xué)院，浙江麗水323000）

基于方程駐軸的永磁同步電機(jī)動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型

彭亦稰，陳小元

（麗水學(xué)院工學(xué)院，浙江麗水323000）

常用的三相永磁同步電機(jī)動(dòng)態(tài)矩陣數(shù)學(xué)模型的推導(dǎo)過(guò)程龐雜，理解難度大。用復(fù)數(shù)矢量表示繞組軸線位置，獲得包含繞組位置信息的繞組駐軸電壓方程，推導(dǎo)永磁同步電機(jī)的復(fù)數(shù)矢量電壓方程，建立具有隨轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)的正交兩相繞組的永磁同步電機(jī)數(shù)學(xué)模型。用復(fù)數(shù)矢量運(yùn)算闡述數(shù)學(xué)模型推導(dǎo)過(guò)程，簡(jiǎn)練且物理概念清晰，可促進(jìn)對(duì)永磁同步電機(jī)動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型的理解及應(yīng)用。

永磁同步電機(jī)；動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型；復(fù)數(shù)矢量

0 引言

在電機(jī)控制的教材[1-4]和相關(guān)的論文[5-8]中，對(duì)于三相永磁同步電機(jī)，均采用矩陣描述其動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型，以便于電機(jī)調(diào)速時(shí)的控制編程。但矩陣模型的推導(dǎo)過(guò)程龐雜，理解難度大。

本文將表示繞組軸線位置的復(fù)數(shù)矢量與繞組方程相乘，獲得包含繞組位置信息的繞組駐軸方程。在此基礎(chǔ)上，通過(guò)復(fù)數(shù)矢量運(yùn)算，建立三相永磁同步電機(jī)的復(fù)數(shù)矢量電壓方程，推導(dǎo)坐標(biāo)設(shè)立在轉(zhuǎn)子上的永磁同步電機(jī)的旋轉(zhuǎn)正交兩相繞組數(shù)學(xué)模型。力求模型推導(dǎo)過(guò)程簡(jiǎn)練且物理概念清晰，以利于理解及應(yīng)用永磁同步電機(jī)動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型。

1 電機(jī)的駐軸電壓方程

圖1所示為三相永磁同步電機(jī)的單元電機(jī)（兩極電機(jī)）的永磁轉(zhuǎn)子和Y連接的定子繞組，圖中uA、uB和uC為定子三相繞組的相電壓，iA、iB和iC為定子三相繞組的相電流。

圖1 永磁同步電機(jī)的單元電機(jī)

圖1中，以定子A相繞組軸線為α軸，從α軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)π/2為β軸，形成靜止的αβ坐標(biāo)。以永磁轉(zhuǎn)子的N極軸線為d軸，從d軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)π/2為q軸，形成旋轉(zhuǎn)的dq坐標(biāo)。θ為d軸與α軸之間的轉(zhuǎn)角，轉(zhuǎn)子逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角速度ω為

定子A、B和C相繞組的電壓方程為

式中R為定子的相繞組電阻，ψA、ψB和ψC分別為A、B和C相繞組交鏈的磁鏈。

式（2）中不包含三相繞組的位置信息，需附加說(shuō)明。由于三相繞組在空間對(duì)稱分布，若以α軸為實(shí)軸、β軸為虛軸構(gòu)成復(fù)數(shù)平面，則A、B、C相繞組軸線位置可分別用復(fù)數(shù) ej0、ej2π/3、e-j2π/3表示，如圖1所示。

將 ej0、ej2π/3、e-j2π/3分別乘 A、B、C 相繞組方程，得包含繞組位置信息的駐軸電壓方程:

2 電機(jī)的矢量電壓方程

2.1 αβ坐標(biāo)中的矢量電壓方程

將待定常數(shù)k乘式（3）的三個(gè)等式并相加，得三相永磁同步電機(jī)在αβ坐標(biāo)中的矢量電壓方程

式（4）中的電流矢量i、電壓矢量u和磁鏈?zhǔn)噶喀追謩e為:

計(jì)算永磁同步電機(jī)功率，確定待定常數(shù)k。由電壓矢量和電流矢量計(jì)算電機(jī)輸入功率p的算式為

式中i*為i的共軛矢量，而定子電流有關(guān)系

由式（5）、（6）和（7）得

顯然，待定常數(shù)k應(yīng)為

在αβ坐標(biāo)中，電流矢量i、電壓矢量u和磁鏈?zhǔn)噶喀卓煞謩e表達(dá)為

將式（10）的第一式、式（9）和（7）代入式（5）的第一式，得所謂的Clarke變換式

當(dāng)電機(jī)三相對(duì)稱運(yùn)行時(shí)，電壓矢量u和磁鏈?zhǔn)噶?ψ 也有式（7）、（11）和（12）的關(guān)系成立。

2.2 dq坐標(biāo)中的矢量電壓方程

dq坐標(biāo)和αβ坐標(biāo)的關(guān)系如圖1所示，在靜止αβ坐標(biāo)中的電流矢量i、電壓矢量u和磁鏈?zhǔn)噶喀?，在旋轉(zhuǎn)dq坐標(biāo)中變換為電流矢量idq、電壓矢量udq和磁鏈?zhǔn)噶喀譫q，變換前后的矢量關(guān)系為

在dq坐標(biāo)中，電流、電壓和磁鏈?zhǔn)噶靠杀磉_(dá)為將式（14）和（10）的第一式代入式（13）的第一式，得所謂的Park變換式

3 電機(jī)的正交兩相模型

3.1 αβ坐標(biāo)中的正交兩相模型

將式（10）代入式（4），得駐于 αβ 坐標(biāo)軸的電壓方程

電壓矢量和磁鏈?zhǔn)噶恳灿腥缡剑?5）和（16）所示的變換關(guān)系。

將e-jθ乘式（4）兩端，整理得三相永磁同步電機(jī)在dq坐標(biāo)中的矢量電壓方程

式（18）表明，三相永磁同步電機(jī)可等效為具有靜止正交α繞組和β繞組的兩相永磁同步電機(jī)，如圖2所示。

圖2 正交兩相繞組的永磁同步電機(jī)

對(duì)稱三相電機(jī)與正交兩相電機(jī)之間的變換關(guān)系，正是式（11）和（12）所示的Clarke變換關(guān)系。

3.2 dq坐標(biāo)中的正交兩相模型

將式（14）代入式（17），得駐于dq坐標(biāo)軸的電壓方程

式（19）表明，三相永磁同步電機(jī)可等效為具有旋轉(zhuǎn)正交d繞組和q繞組的兩相永磁同步電機(jī)，如圖2所示。

旋轉(zhuǎn)兩相電機(jī)與靜止兩相電機(jī)之間的變換關(guān)系為式（15）和（16）所示的Park變換關(guān)系。

由圖2可知，d繞組和q繞組中的磁鏈為

式中ψr為永磁轉(zhuǎn)子在d繞組中產(chǎn)生的磁鏈，為常量；Ld為d繞組電感，Lq為q繞組電感，均為常量。

將式（20）代入式（19），得旋轉(zhuǎn)dq兩相繞組永磁同步電機(jī)的參數(shù)電壓方程

4 電機(jī)參數(shù)的變換關(guān)系

將三相永磁同步電機(jī)變換為兩相電機(jī)時(shí)，由變換前后的電壓方程式（2）和（18）知，兩相繞組電阻等于三相繞組電阻。依據(jù)Clarke變換式，推導(dǎo)三相-兩相變換時(shí)與磁鏈相關(guān)的電機(jī)參數(shù)變換關(guān)系。

設(shè)靜止的A相繞組交鏈旋轉(zhuǎn)的永磁轉(zhuǎn)子磁場(chǎng)產(chǎn)生的交變磁鏈幅值為ψf，將三相繞組旋轉(zhuǎn)至A相繞組軸線與d軸重合，旋轉(zhuǎn)的A相繞組交鏈永磁轉(zhuǎn)子磁場(chǎng)產(chǎn)生的磁鏈即為常量ψf。旋轉(zhuǎn)三相繞組與dq兩相繞組之間的變換關(guān)系，就是靜止三相繞組與αβ兩繞組之間的變換關(guān)系。由式（12）得旋轉(zhuǎn)三相繞組的A相繞組電流和磁鏈分別為

由于三相電流之和為零，旋轉(zhuǎn)三相繞組的A相繞組ψA為

式中Lσ為三相繞組的相繞組漏電感，Lmd為三相繞組的相繞組d軸主電感。將式（20）第一式、式（24）和（22）代入式（23）可得

將三相繞組旋轉(zhuǎn)至A相繞組軸線與q軸重合，用相同的方法可推導(dǎo)得

式中np為永磁同步電機(jī)的磁極對(duì)數(shù)。

電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)方程為

式中J為永磁同步電機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩。

6 結(jié)論

式中Lmd為三相繞組的相繞組q軸主電感。

5 電機(jī)的轉(zhuǎn)矩表達(dá)式

三相永磁同步電機(jī)的單元電機(jī)（兩極電機(jī)）定子繞組產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩矢量是繞組的磁鏈?zhǔn)噶颗c電流矢量的叉乘，而永磁轉(zhuǎn)子產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩與其大小相等，方向相反。當(dāng)采用復(fù)數(shù)表達(dá)矢量時(shí)，永磁轉(zhuǎn)子產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩Te為

用復(fù)數(shù)矢量表示繞組軸線位置，將該復(fù)數(shù)矢量與對(duì)應(yīng)繞組方程相乘，獲得包含繞組位置信息的繞組駐軸方程；將三相永磁同步電機(jī)的繞組駐軸方程相加，獲得了電機(jī)的復(fù)數(shù)矢量電壓方程；通過(guò)分解復(fù)數(shù)矢量電壓方程至坐標(biāo)實(shí)軸和虛軸，將三相永磁同步電機(jī)變換為正交兩相電機(jī)；在永磁轉(zhuǎn)子上設(shè)立坐標(biāo)，再將三相永磁同步電機(jī)變換為具有隨轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)的正交兩相繞組的電機(jī)。

用復(fù)數(shù)矢量運(yùn)算闡述數(shù)學(xué)模型推導(dǎo)過(guò)程，使推導(dǎo)過(guò)程簡(jiǎn)練且物理概念清晰，有助于理解及應(yīng)用永磁同步電機(jī)動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型，具有現(xiàn)實(shí)意義。

［1］阮毅，陳伯時(shí).電力拖動(dòng)自動(dòng)控制系統(tǒng)［M］.4版.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2014：155-199.

［2］李華德，李敬，白晶.電力拖動(dòng)自動(dòng)控制系統(tǒng)［M］.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2009：127-232.

［3］李寧，白晶，陳桂.電力拖動(dòng)與運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)［M］.北京：高等教育出版社，2009:67-141.

［4］孫冠群，蔡慧，李景.控制電機(jī)與特種電機(jī)［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2012：113-124.

［5］丁文，高琳，梁得亮，等.永磁同步電機(jī)矢量控制系統(tǒng)的建模與仿真［J］.微電機(jī)，2010，43（2）：66.

［6］魯文其，胡育文，梁驕雁，等.永磁同步電機(jī)伺服系統(tǒng)抗擾動(dòng)自適應(yīng)控制［J］.中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2011，31（3）：75.

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The Dynamic Mathematical Model of PMSM Based on Standing-axis Equations

PENGYixu，CHENXiaoyuan
（FacultyofEngineering，Lishui University，Lishui 323000，Zhejiang）

The dynamic matrix mathematical model of the three-phase permanent magnet synchronous motor（PMSM）is complicated and not easily understandable.In this paper，the axis positions of the windings are expressed by the complex vector，and then the standing-axis voltage equations with the position information of the windings is obtained.The voltage equations of the PMSM with complex vector are derived and the dynamic mathematical model of PMSM with the orthogonal two-phase windings rotating with the rotor is established.The conciseness of the model expressed with complex vector can make the dynamic mathematical model of PMSM easily understandable and applicable.

permanent magnet synchronous motor；dynamic mathematical model；complex vector

10.3969/j.issn.2095-3801.2017.05.017

TM351

A

2095-3801（2017）05-0097-05

2017-03-28；

2017-06-14

浙江省高等教育教學(xué)改革項(xiàng)目“學(xué)為導(dǎo)向教學(xué)模式構(gòu)建的研究與實(shí)踐——以‘電力拖動(dòng)自動(dòng)控制系統(tǒng)’課程為例”（jg20160188）；浙江省高等教育教學(xué)改革項(xiàng)目“現(xiàn)代電源技術(shù)綜合實(shí)驗(yàn)平臺(tái)研制及實(shí)驗(yàn)內(nèi)容設(shè)計(jì)”（jg2015186）；麗水市高層次人才培養(yǎng)資助項(xiàng)目“電動(dòng)汽車驅(qū)動(dòng)用新型SRM的電磁設(shè)計(jì)及轉(zhuǎn)矩控制研究”（2014RC07）

彭亦稰，男，上海人，副教授。