周淑云

(廣東培正學(xué)院計算機(jī)科學(xué)與工程系,廣東 廣州 510830)

Rota-Baxter算子及其應(yīng)用

周淑云

(廣東培正學(xué)院計算機(jī)科學(xué)與工程系,廣東 廣州 510830)

Rota-Baxter算子是積分算子的抽象和推廣.本文介紹了Rota-Baxter算子的概念和一些基本的性質(zhì),并且討論了Rota-Baxter算子在序列、q-積分、矩陣代數(shù)等方面的應(yīng)用.

Rota-Baxter算子;k-代數(shù);交換環(huán);矩陣

1 引言

設(shè) k是一個交換環(huán),Rota-Baxter代數(shù)是由一個結(jié)合的 k-代數(shù)和 Rota-Baxter算子組成,Rota-Baxter算子是積分算子的抽象和推廣,包括求和、投影和數(shù)乘等算子,又作為經(jīng)典的Yang-Baxter方程的算子形式被物理學(xué)家獨(dú)立發(fā)現(xiàn).Rota-Baxter代數(shù)的理論起源于美國數(shù)學(xué)家G.Baxter[1]于1960年的波動理論研究,接著Rota開始研究在組合學(xué)中的應(yīng)用,他利用發(fā)生函數(shù)和Mobius反演公式得到了一系列的組合恒等式[2-3].近年來,Rota-Baxter代數(shù)得到了系統(tǒng)的發(fā)展,并在量子場論的重整化理論、樹狀代數(shù)、Hopf代數(shù)、啞積分、預(yù)Lie-代數(shù)、數(shù)論MZV及組合恒等式等理論中有著重要的應(yīng)用[4-5].

在上世紀(jì)80年代,一些數(shù)學(xué)家在研究Yang-Baxter方程時,在Lie代數(shù)中發(fā)現(xiàn)了 Rota-Baxter恒等式,從而引起了很多數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家的興趣.1998年,Winkel[6]在研究Baxter序列方面的工作之后,Connes和Kreimer[7-8]于 2000年將 Rota-Baxter代數(shù)引入到量子域重正規(guī)化的研究,它是量子域重正規(guī)化理論從代數(shù)角度研究的奠基性工作.2000年,Guo利用Rota-Baxter代數(shù)研究了第一類和第二類Stirling數(shù),指出了Rota-Baxter代數(shù)和分拆、多項式系數(shù)之間的聯(lián)系[9].

Rota-Baxter代數(shù)與數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)物理有著十分緊密地聯(lián)系,而且Rota-Baxter代數(shù)的研究與其它有著豐富成果的數(shù)學(xué)領(lǐng)域相比,還尚處在研究的初級階段,所以有著十分廣泛的研究與發(fā)展前景,見文獻(xiàn)[5,10-13].

在第二節(jié)中,主要回顧了Rota-Baxter算子的定義及其基本性質(zhì),然后得到了一個構(gòu)造權(quán)重為-1的Rota-Baxter算子的重要方法.第三節(jié)中,我們討論了Rota-Baxter算子的一些重要的應(yīng)用.

本文中的環(huán)R,是有單位元1R的交換環(huán).我們用N表示自然數(shù)集構(gòu)成的加法幺半群,N+表示正整數(shù)構(gòu)成的加法半群,R表示實(shí)數(shù)域.文中有關(guān)的概念和記號均參見文獻(xiàn)[5,13-14].

2 Rota-Baxter算子及其基本性質(zhì)

設(shè)R是一個k-代數(shù),如果R中的一個線性算子P:R→R滿足Rota-Baxter程

那么稱P是R上的一個權(quán)重為λ的Rota-Baxter算子（簡稱RBO).其中λ∈k.

顯然,0映射0:R→R是任意環(huán)R上的Rota-Baxter算子.因此每一個k-代數(shù)都可以看成是一個Rota-Baxter k-代數(shù).單位映射IP顯然是權(quán)重為?1的Rota-Baxter算子.

文獻(xiàn)[14]中已初步討論了Rota-Baxter算子的性質(zhì)，下面我們進(jìn)一步討論它的性質(zhì),并利用RBO的性質(zhì)得到一些Rota-Baxter算子的重要例子.

命題2.1[14](1)設(shè)(R,P)是Rota-Baxter代數(shù)，則P(R)是R的非酉子代數(shù).

命題2.2[14]設(shè) P 是權(quán)重為 ? λ(或 λ)的Rota-Baxter算子,則P 也是權(quán)重為 ? λ(或 λ )的Rota-Baxter算子.其中

或

IP是單位映射.

定理2.1設(shè)R是一個k-代數(shù),R上的線性算子P是權(quán)重為-1冪等的Rota-Baxter算子當(dāng)且僅當(dāng)存在R非酉的k-子代數(shù)R1,R2的k-模直和分解R=R1⊕R2,使得

是R到R1上的滿射滿足

證明如果R到非酉的k-子代數(shù)R1,R2有k-模直和分解R=R1⊕R2,則對于

有

則P是冪等的.

設(shè)

其中

因?yàn)?/p>

所以

因此

得到

因此,P是權(quán)重為?1的冪等的Rota-Baxter算子.

反之,設(shè)P是權(quán)重為?1冪等的Rota-Baxter算子.令

且

由命題2.1及2.2,得R1,R2是R非酉的k-子代數(shù),且

因此

如果

則

所以

從而

又因?yàn)?/p>

是

的分解,所以P是R到R1上的滿射.

3 Rota-Baxter算子的應(yīng)用

下面討論Rota-Baxter算子在矩陣代數(shù)、重正規(guī)化理論等方面的應(yīng)用.

例3.1[5]設(shè)R是取值在k-上所有序列(an)n≥1之集.R上的運(yùn)算按照分量相加、數(shù)乘及相乘構(gòu)成一個k-代數(shù),定義算子P為

則P為R上權(quán)重為1的Rota-Baxter算子.

證明定義函數(shù)f:N≥0→R,則P(f)是部分和序列

對于f,g∈R,有

而

同理可證

則P滿足等式(1),此時λ=1.

例3.2（q-積分）設(shè)R=K[t],q∈K 不是單位根.定義算子P為

即對于K[t]上的基tn,n≥1,有

則P為R上權(quán)重為1的Rota-Baxter算子.

例3.3[5]設(shè)R,q如例3.2所述.定義R上的算子P為

則P為R上權(quán)重為?1的Rota-Baxter算子.

證明因?yàn)?/p>

又

從而P為R上權(quán)重為?1的Rota-Baxter算子.

例3.4設(shè)n為正整數(shù),R是環(huán)k上n階下三角方陣構(gòu)成的k-代數(shù),令

其中

則P為R上權(quán)重為?1的Rota-Baxter算子.

證明設(shè)

則R1,R2是 R的k-子代數(shù),且

由定理2.3知,P為R上權(quán)重為?1的Rota-Baxter算子.

下面的例子說明Rota-Baxter算子在攝動量子域的重正規(guī)化理論中起著重要的作用.

例3.5[7-8](Laurent series[5])設(shè)K為域,R為Laurent series代數(shù):

定義R上的算子P為:

且

規(guī)定空集上的和為零.及

且

則P和P都為R上權(quán)重為?1的Rota-Baxter算子.

證明設(shè)

則

其中

而

其中

同理

其中

由于

所以

從而

由于

且

顯然 R1∩R2=0,又

由定理2.3 P和P都為R上權(quán)重為?1的Rota-Baxter算子.

致謝:作者感謝國家留學(xué)基金委給予出國留學(xué)項目的資助,感謝美國Rutgers University at Newark及導(dǎo)師Guo.L..

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Some applications of Rota-Baxter operators

Zhou Shuyun
(Department of Computer Science and Engineering,Guangdong Peizheng College,Guangzhou 510830,China)

A Rota-Baxter operator is an abstraction and generalization of the integration operator.This paper studies the concept and basic properties of Rota-Baxter operators,and applications of Rota-Baxter operators on the ring of sequences with entries in some commutative rings,q-integral,matrix.

Rota-Baxter operators,k-algebras,commutative rings,matrix

O153.5

A

1008-5513(2017)05-0454-08

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.05.002

2017-03-10.

廣東培正學(xué)院重點(diǎn)資助項目(17pzxmzd1).

周淑云(1964-),碩士,教授,研究方向：Rota-Baxter代數(shù)及半群代數(shù).

2010 MSC:18D50,17A30,17A50