連博勇, 蔡清波

(1.仰恩大學(xué)數(shù)學(xué)系,福建 泉州 362014;2.泉州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院,福建 泉州 362000)

一類基于波利亞分布的修正的Lupas-Durrmeyer型算子

連博勇1, 蔡清波2

(1.仰恩大學(xué)數(shù)學(xué)系,福建 泉州 362014;2.泉州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院,福建 泉州 362000)

引入了一類基于波利亞分布的修正Lupas-Durrmeyer型算子,它具有常數(shù)保持與線性保持性質(zhì).利用連續(xù)模,光滑模,K-泛函,Lipschitz函數(shù)類,討論了該算子的某些逼近性質(zhì),在區(qū)間上該算子具有更好的收斂結(jié)果.最后還給出了該算子的Voronvskaya型漸近展開公式.

Lupas-Durrmeyer型算子;K-泛函;光滑模;Voronvskaya型漸近展開公式

1 引言

Aral等在文獻(xiàn)[1]中定義了一類Lupas-Durrmeyer型算子:

這里f∈C[0,1],

其中

最近,在文獻(xiàn)[1]的基礎(chǔ)上Gupta[2]引入了另一類Lupas-Durrmeyer型算子,

自2003年King[6]引入修正的Bernstein算子以來，近十多年來修正型的算子成為逼近論領(lǐng)域的一個研究熱點.在這些研究中,有關(guān)于算子線性保持的[7-8],有關(guān)于算子平方保持的[6,9],甚至推廣到修正的q算子中[10-11].

設(shè)

定義

首先給出一些基本定義.

設(shè)

定義:

一階連續(xù)模

二階光滑模

對應(yīng)的K-泛函是

其中

對應(yīng)的K-泛函是

其中

AC[0,1]表示區(qū)間[0,1]上的絕對連續(xù)函數(shù).Lipschitz函數(shù)類

其中

2 若干引理

為了得到算子的逼近性質(zhì),需要如下引理:

引理2.1[2]令ei=ti,i=0,1,2,有

注2.1由引理2.1,得

類似于引理2.1的計算方法,可以得到

引理2.2令時,有

注 2.2由引理2.2,得

即

注2.3經(jīng)過簡單的計算,有

注2.4由遞推關(guān)系,得

引理2.3設(shè)f∈C[0,1],當(dāng)時,有

證明由算子的定義及引理2.2,得

引理2.4[13]設(shè)f(x)∈C[0,1],則存在常數(shù)C＞0,使得

引理 2.5[14]設(shè)f(x)∈C[0,1],則存在常數(shù)C＞0,使得

3 主要結(jié)果

定理3.1設(shè)f∈C[0,1],當(dāng)時,有

證明由引理2.2,可得

應(yīng)用Korovkin定理,即得定理3.1.

定理3.2設(shè)f∈C[0,1],則當(dāng)時,有

證明由的單調(diào)性可知,對任意的λ＞0,有

取

結(jié)合引理2.2及注2.3,可得定理3.2.

定理 3.3設(shè)f∈C[0,1],則當(dāng)時,存在常數(shù)C＞0,使得

證明令g∈W2,由Taylor展開式,得

根據(jù)引理2.2,可知

從而有

所以

對所有的g∈W2,上式取下確界,得

由引理2.4,可得

定理3.4設(shè)f∈C[0,1],則當(dāng)時,存在常數(shù)C＞0,使得

證明由Taylor展開式,得

因此

任意的x,t∈(0,1),有

且

應(yīng)用Cauchy-Schwarz不等式,得

從而有

對所有的g∈W?[0,1],上式取下確界,得

由引理2.5,立即得定理3.4.

定理 3.5設(shè) f∈LipM(β),則當(dāng)時,有

證明取

根據(jù) H?lder不等式,引理 2.2及注 2.3,有

定理 3.6設(shè)時,有

證明由Taylor公式,得

其中 ?(t;x)是 Peano余項,滿足 ?(t;x)∈C[0,1],且從而有

由Cauchy-Schwartz不等式,得

注意到 ?2(x;x)=0及 ?2(t;x)∈C[0,1],由定理 3.1,得

由注2.2,(6),(10),(11),立即得到

由(9)-(14)式得定理3.6.

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[14]Ditzian Z,Totik V.Moduli of Smoothness[M].New York:Springer-Verlag,1987.

Some modi fi ed Lupas-Durrmeyer type operators based on Polya distribution

Lian Boyong1,Cai Qingbo2
(1.Department of Mathematics,Yang′en University,Quanzhou 362014,China;2.School of Mathematics and Computer Science,Quanzhou Normal University,Quanzhou 362000,China)

In this paper,the authors introduce a class of modi fi ed Lupas-Durrmeyer type operators based on Polya distribution which preserve constant and linear functions.By using modulus of continuity,modulus of smooth,K-functional and Lipschitz class,the rate of convergence of these operators are derived.The modi fi ed Lupas-Durrmeyer type operators have better error estimatin on the intervalthan the classical Lupas-Durrmeyer type operators.Finally,the authors present a Voronovskaya-type asymptotic formula.

Lupas-Durrmeyer type operators,K-functional,modulus of smoothness,Voronovskaya-type asymptotic formula

O174.41

A

1008-5513(2017)05-0466-09

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.05.004

2017-08-09.

國家自然科學(xué)基金(11601266);福建省自然科學(xué)基金(2016J05017);2016年福建省高校杰出青年科研人才培育計劃.

連博勇(1982-),碩士,副教授,研究方向:函數(shù)逼近論.

2010 MSC:41A25,41A35