白亞軍

甘肅省永昌縣第一高級(jí)中學(xué) (737200)

2017年模擬考試中一道導(dǎo)數(shù)題的解法研究*

白亞軍

甘肅省永昌縣第一高級(jí)中學(xué) (737200)

一、試題呈現(xiàn)

已知函數(shù)f(x)=-2(x+a)lnx+x2-2ax-2a2+a，其中a>0．

(1)設(shè)g(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，討論g(x)的單調(diào)性；

(2)證明：存在a∈(0,1)，使得f(x)≥0在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)恒成立，且f(x)=0在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)有唯一解．

分析:本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用、函數(shù)的零點(diǎn)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新意識(shí)，考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)與整合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想．本題在閱卷過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生有以下六方面的錯(cuò)誤:

1.求導(dǎo)不熟，比如乘法法則、分式求導(dǎo)；

2.運(yùn)算能力不強(qiáng)，對(duì)函數(shù)式亂變形、一元二次方程求根公式亂寫(xiě)、亂約分；

3.對(duì)參數(shù)的處理能力不夠，分類(lèi)討論的思想還不到位；

4.研究函數(shù)時(shí)沒(méi)有注意函數(shù)的定義域；

5.多個(gè)同類(lèi)單調(diào)區(qū)間亂表達(dá)；

6.第二個(gè)小題基本沒(méi)有做，入手較難．

當(dāng)a=a0時(shí)，有f′(x0)=0,f(x0)=0,由(Ⅰ)知，f′(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增.故當(dāng)x∈(1,x0)時(shí)，f′(x)<0，從而f(x)>f(x0)=0;當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí)，f′(x)>0，從而f(x)>f(x0)=0.所以當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，f(x)≥0.

綜上所述，存在a∈(0,1)，使得f(x)≥0在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)恒成立,且f(x)=0在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)有唯一解．

綜上所述，存在a=a1∈(0,1)，使得f(x)≥0在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)恒成立,且f(x)=0在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)有唯一解．

綜上所述，?a=a0∈(0,1)，使得f(x)的最小值為0．此時(shí)f(x)≥0在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)恒成立,且f(x)=0在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)有唯一解．

綜上所述，?a=a0∈(0,1)，使得f(x)的最小值為0．此時(shí)f(x)≥0在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)恒成立,且f(x)=0在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)有唯一解．

二、 教學(xué)建議

高考中的壓軸題在素材選擇、情景設(shè)置和設(shè)問(wèn)方式上每年有所創(chuàng)新，基本都會(huì)考查二階導(dǎo)數(shù)和分類(lèi)討論，考查學(xué)生的探究意識(shí)，應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，對(duì)考生綜合與靈活運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法，進(jìn)行獨(dú)立思考分析，創(chuàng)造性的解決問(wèn)題有較高且合理的要求．

同時(shí)壓軸題對(duì)數(shù)學(xué)思維的靈活性、深刻性、創(chuàng)造性都有較高要求，具有一定的難度，解答這些問(wèn)題，需要具有較強(qiáng)的分析問(wèn)題、探究問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．展示了數(shù)學(xué)學(xué)科的抽象性和嚴(yán)謹(jǐn)性，要求考生具有高層次的理性思維，考生解答時(shí)可以采用“聯(lián)系幾何直觀—探索解題思路—提出合情猜想—構(gòu)造輔助函數(shù)—結(jié)合估算精算—進(jìn)行推理證明”的思路，整個(gè)解答過(guò)程與數(shù)學(xué)研究的過(guò)程基本一致，能較好地促進(jìn)考生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中掌握數(shù)學(xué)知識(shí)、探究數(shù)學(xué)問(wèn)題和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律．這些試題具有立意深遠(yuǎn)、背景深刻、設(shè)問(wèn)巧妙等特點(diǎn)，富含思維價(jià)值，體現(xiàn)了課程改革理念，是檢測(cè)考生理性思維廣度、深度和學(xué)習(xí)潛能的良好素材．這樣的設(shè)計(jì)，對(duì)考生評(píng)價(jià)合理、科學(xué)，鼓勵(lì)積極、主動(dòng)、探究式的學(xué)習(xí)，有利于引導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)注重提高學(xué)生的思維能力、發(fā)展應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，對(duì)全面深化課程改革、提高中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量有十分積極的作用．

高考中的壓軸題第1小問(wèn)一般主要考查分類(lèi)與整合的數(shù)學(xué)思想與方法．它是考試的必考點(diǎn)，同時(shí)也是學(xué)生解題的難點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn)．就其原因，根本是沒(méi)有想通為什么需要討論，所以我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)中，注意學(xué)生基本功的訓(xùn)練和過(guò)手，要經(jīng)常進(jìn)行不帶參數(shù)和帶參數(shù)的同一個(gè)問(wèn)題的切換，讓學(xué)生深深地體會(huì)到分類(lèi)討論是在“自然而然”中誕生的，而不是很勉強(qiáng)的，能避免則避免，有時(shí)是“無(wú)奈之舉”.就此題而言，討論“單調(diào)性”可化歸為“解不等式”，最終是解“一元二次含參不等式”．走啊走，走到“Δ”這一關(guān)過(guò)不去了，非討論不可，一切都是在自然而然中悄悄發(fā)生，高考中的壓軸題第2小問(wèn)是為優(yōu)等生準(zhǔn)備的“大餐”， 在處理時(shí)需要利用到主元轉(zhuǎn)換(因式分解功底強(qiáng)大的則無(wú)需)，后續(xù)操作則只需注意變量的取值范圍即可，此題需要考生強(qiáng)大的計(jì)算和心理承受能力，能明確自身目的所在，不至于在多重代換后迷失目標(biāo)而功虧一簣．一般的學(xué)生是無(wú)福消受！所以在平時(shí)教學(xué)中對(duì)班上的優(yōu)等生多加強(qiáng)一些思維訓(xùn)練，多給他們思考的時(shí)間、空間．針對(duì)這樣的壓軸題，要有心里準(zhǔn)備，集中精力盡量去完成，爭(zhēng)取多得分．

[1]張學(xué)忠,胡貴平.2016年全國(guó)高考導(dǎo)數(shù)題的幾種解法[J].數(shù)理化學(xué)習(xí),2016(8):29-30.

[1]陸麗.例談不等式恒成立問(wèn)題的解題策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué).2013(10):79-80.

*本文是甘肅省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題《“三段六環(huán)”數(shù)學(xué)課堂教學(xué)有效性的研究》的研究成果，課題批準(zhǔn)號(hào)GS[2016]GHB1348.