于 濤

廣東省東莞市東莞中學 (523005)

平面幾何視角下解三角形問題的四大模型

于 濤

廣東省東莞市東莞中學 (523005)

模型一：點動

三角形固定一邊(即確定了兩個頂點)，第三個頂點按照某種規(guī)律運動，稱為點動.例如在ΔABC中，邊BC=2,∠A=60°時，則點A在ΔABC的外接圓上運動.

A.{Sn}為遞減數(shù)列

B.{Sn}為遞增數(shù)列

C.{S2n-1}為遞增數(shù)列，{S2n}為遞減數(shù)列

D.{S2n-1}為遞減數(shù)列，{S2n}為遞增數(shù)列

圖1

如圖1，在邊BnCn固定的情況下，所有三角形的底相同，而高的大小隨著點Ai(i=1,2,3,…)的運動而變化.因為ΔAnBnCn中較大角越變越小，所以三角形的高越來越高，故{Sn}為遞增數(shù)列.

評析:題目將三角形隱藏于數(shù)列背景，需要通過數(shù)列的推理演算，才能發(fā)現(xiàn)ΔAnBnCn中邊BnCn為定值(即頂點Bn,Cn為定點)，點An滿足條件

|AnBn|+|AnCn|=2a1(即bn+cn=2a1).根據(jù)點動模型，便可發(fā)現(xiàn)點An在以Bn,Cn為焦點，2a1為定長的橢圓上運動，使得題目化繁為簡.題目設(shè)計時，讓第三點滿足于橢圓的定義，據(jù)此發(fā)散思維，第三點還可以滿足雙曲線的定義，滿足三角形外接圓的條件等，不論條件如何變化，均是固定兩點，讓第三點按照某種規(guī)律運動.

模型二：線動

三角形固定一個角的大小(即確定了兩條邊的方向)，第三邊的端點在已知角的兩邊上滑動，稱為線動；以此類推，四邊形固定相鄰兩個角的大小(即確定了相鄰三條邊的方向)，第四邊的端點在與其相鄰的兩邊上滑動，也稱為線動.

例2 (2015年全國Ⅰ卷理科)在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,則AB的取值范圍是___________.

圖2

評析:題目固定了四邊形ABCD中邊BC的長及∠B,∠C的大小，即明確了邊BA,CD所在的直線，因此點A,D分別在邊BA,CD所在直線上滑動.已知∠A=75°,則邊AD的方向也確定了，但長度不確定.根據(jù)線動模型，可發(fā)現(xiàn)四邊形因邊AD的平行滑動而變化，從而在變化過程中發(fā)現(xiàn)AB的變化.

模型三：角動

三角形固定一個角及其對邊所在直線，角的兩邊與其對邊的兩個交點和角的頂點可確定三角形，以角的頂點為旋轉(zhuǎn)點，隨著角的旋轉(zhuǎn)三角形發(fā)生變化，稱為角動.

圖3

評析:題目固定了兩個角，分別是∠ACB=120°和∠ADC=60°，兩個角因CD=2而確定了點C的位置和邊AB所在的直線，因此點A,B在該直線上運動并滿足與點C形成∠ACB=120°.根據(jù)角動模型，以點C為旋轉(zhuǎn)點，使∠ACB旋轉(zhuǎn)，與邊AB所在直線的交點為點A,B，明確了ΔABC的變化規(guī)律，從而在幾何圖形變化的過程中發(fā)現(xiàn)∠ACD的變化.

模型四：圖形動

旋轉(zhuǎn)變換與平移變換作為初中平面幾何的重要思想方法，在高中平面幾何問題中依然適用，稱為圖形動.

圖4

評析:題目幾何圖形中邊長AC因角B的變化而變化，使得ΔACD隨之變化，引起點D的運動.題目在條件設(shè)置時埋下了AC⊥CD及AC=CD的伏筆，在應(yīng)用旋轉(zhuǎn)變換時圖形旋轉(zhuǎn)的角度為90°，圖形大小不變，當旋轉(zhuǎn)ΔCBA至ΔCB′D時，便找到了點D的運動規(guī)律，讓我們感受到“柳暗花明又一村”.

以上四種模型應(yīng)用于不同特征的解三角形問題，由于高考題和模擬題解三角形綜合問題難度較大，如果局限在高中所學解三角形與三角函數(shù)知識中，往往會因復雜的運算而導致求解失敗.當解題跳出知識的局限，回歸平面幾何的本質(zhì)時，則可以從幾何要素點、線、角、圖形等角度，將問題轉(zhuǎn)化為觀察變化規(guī)律的平面幾何問題，化繁為簡，避免了大量代數(shù)運算，縮短解題時間.當然平面幾何視角下的解三角形問題具有較高的技巧性和特定性，需要在實際解題過程中多體會模型的特征，從而提高解三角形問題的幾何意識.