廣東省東莞市長安實驗中學(xué)數(shù)學(xué)教研組(523846) 鄭健微

立足教材夯基礎(chǔ) 借題發(fā)揮促發(fā)展

廣東省東莞市長安實驗中學(xué)數(shù)學(xué)教研組(523846) 鄭健微

1 問題提出

多媒體網(wǎng)絡(luò)教學(xué)給我們的教育手段、教育方式帶來了全新而又深刻的革命,在很多方面是傳統(tǒng)的教學(xué)手段無法比擬的.但是,無論科學(xué)技術(shù)再發(fā)達,教材,尤其是教科書,作為數(shù)學(xué)課堂的重要載體,它所能發(fā)揮的作用依舊是很多網(wǎng)絡(luò)資源所無法取代的.但有部分老師往往為了照著網(wǎng)絡(luò)課件思路走而忽略了課本上一些對學(xué)生的思維具有訓(xùn)練性的習(xí)題,或者為了完成教學(xué)任務(wù)而評講習(xí)題,沒有充分發(fā)掘教材題目的價值,致使學(xué)生數(shù)學(xué)思維沒有得到很好發(fā)展.

2 借助教材趣題,促進學(xué)生發(fā)展

知識是靜態(tài)的,思維是活動的,課本的習(xí)題是經(jīng)過精心篩選的,它是固定的,但是它的變化又是無窮的.教師在備課時應(yīng)在對教材合理的挖掘中,尋找促進學(xué)生發(fā)展的有趣題目,深入研究課本的典型習(xí)題,挖掘其潛在的價值,進行一題多變或一題多解,優(yōu)化知識結(jié)構(gòu),使教材中的靜態(tài)知識操作化、活動化,在夯實學(xué)生基礎(chǔ)同時,也促進學(xué)生發(fā)散思維的發(fā)展.

2.1 立足課本問題,一題多變促發(fā)展

課本的例題和習(xí)題都是經(jīng)過專家學(xué)者精心挑選,反復(fù)斟酌后確定下來的,它具有深刻的數(shù)學(xué)背景和典型的代表性,教師在對教材進行合理的挖掘的過程中要尋找一些突破口,從學(xué)生的實際出發(fā),活用教材,使教材中的靜態(tài)知識動態(tài)化,激發(fā)學(xué)生的求知欲望,促進學(xué)生從多層面、多角度去認識、研究問題.

案例1 如圖1,利用一面墻(墻的長度不限),用20長的籬笆,怎樣圍成一個面積為50的矩形場地?(本題來自人教版九年級數(shù)學(xué)上冊P25第八題)

圖1

解法一設(shè)垂直于墻的一邊長為xm.

第一步,審題,弄清題意.找出等量關(guān)系;本題中已知條件:用20 m長的籬笆圍成一個面積為50 m2的矩形場地,隱含條件:矩形場地一面靠墻,籬笆只需圍三邊.

第二步,設(shè)未知數(shù).用表示所求的數(shù)量或有關(guān)的未知量;要問如何圍成面積為50 m2的矩形場地,而我們已知矩形的面積公式為長乘以寬,在本題中,矩形場地長和寬都不知道,因此根據(jù)題意我們可以設(shè)垂直于墻的一邊長為xm,則與墻平行的一邊長為(20?2x)m;

第三步,根據(jù)題中等量關(guān)系,列出一元二次方程:x(20?x)=50;

第四步,解方程,求出未知數(shù)的值;x=5;

第五步,檢查結(jié)果是否符合題意并寫出答語.

解法二設(shè)與墻平行的一邊長為xm,則垂直于墻的一邊長為根據(jù)題中等量關(guān)系,列出一元二次方程:

一般在數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師會給出上述兩種解法.如果靜止地、孤立地去解答一道道課本習(xí)題,我們僅僅是完成了教學(xué)任務(wù),但數(shù)學(xué)的解題不應(yīng)該僅僅停留在習(xí)題的解答上,我們應(yīng)該對習(xí)題進行深度挖掘,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,對此,我進行了以下幾種變式.

變式一增加圍欄,改變圖形,使圍成的矩形場地有較多的用途

圖2

圖3

變式題1 利用一面墻(墻的長度不限),用20 m長的籬笆圍成一個矩形場地,設(shè)與墻垂直的一邊長為xm;

圖2所示的矩形場地中,與墻平行的一邊長為

圖3所示的矩形場地中,與墻平行的一邊長為

師:通過上述三道題,你能否用一個簡潔的話式子,概括“與墻垂直的總邊長”“與墻平行的邊長”和“總籬笆長”三者之間的關(guān)系.

生:與墻平行的邊長=與墻平行的邊長?與墻垂直的總邊長

變式題2在與墻平行的一邊設(shè)置門

要用籬笆圍成矩形場地,其中一面利用墻(墻的長度不限),其它邊用籬笆圍成,已知現(xiàn)有20長的籬笆,要圍成一個矩形場地,設(shè)該矩形場地與墻垂直的一邊為xm,

圖4

圖5

(1)若在如圖4所示的地方開1 m寬的門,則與墻平行的一邊長____

(2)若在如圖5所示的兩處開1 m寬的門,則與墻平行的一邊長___

師:從上面這兩個式子,你能否仿照第一個變式,用文字語言描述與墻平行的邊長為多少?

生:與墻平行的邊長=與墻平行的邊長?與墻垂直的總邊長+總門寬

變式題3在與墻垂直的一邊設(shè)置門

要用籬笆圍成矩形場地,其中一面利用墻(墻的長度不限),其它用籬笆圍成,已知現(xiàn)有20 m長的籬笆,要圍成一個矩形場地,設(shè)該矩形場地與墻垂直的一邊為xm,

圖6

圖7

(1)若在如圖6所示的地方開1 m寬的門,則與墻平行的一邊長

(2)若在如圖7所示的兩處開1 m寬的門,則與墻平行的一邊長

師:從上面這兩個式子,你能得出什么規(guī)律?

生:與墻平行的邊長=與墻平行的邊長-與墻垂直的總邊長+總門寬

師:從變式2和變式3,你發(fā)現(xiàn)了什么?

生:無論門設(shè)置在與墻垂直的一邊,還是與墻平行的一邊,只要知道與墻垂直的籬笆段數(shù)和門的總寬度,就可以列出“與墻平行的一邊”的表達式.

變式題4在與墻垂直和與墻平行的的柵欄邊都設(shè)置門

某農(nóng)場擬建兩間矩形飼養(yǎng)室,一面靠現(xiàn)有墻(墻足夠長)中間用一道墻隔開,并在如圖8所示的三處各留1m寬的門,已知計劃中的材料可建墻體(不包括門)總長為27 m,則設(shè)與已有墻垂

圖8

直的一邊為xm,則與已有墻平行的一邊為___.

變式題5 上面的變式都是不限制墻長,如果限制了墻長,對題目是否有影響?為此,我設(shè)置下列變式.

如圖9,,要用防護網(wǎng)圍成長方形花壇,其中一面利用現(xiàn)有的一段墻,且在與墻平行的一邊開2 m寬的門,現(xiàn)有防護網(wǎng)的長度為91 m,花壇的面積需要1080 m2,若墻長為50 m,求花壇的長和寬?

圖9

(1)若墻長46 m,求花壇的長和寬.

(2)若墻長40 m,求花壇的長和寬.

(3)通過上面三題的討論,你覺得墻長對題目有何影響?

在本節(jié)課教學(xué)過程中,如果教師僅僅為完成教學(xué)任務(wù)而講解習(xí)題,沒有深挖題目的條件,設(shè)置一系列的變式題給學(xué)生以充分的時間和空間去交流、實踐探索,那么學(xué)生對此類習(xí)題僅僅是個別題目的“會解”,上升不到掌握這一類題“解題策略”,也凸顯不了學(xué)生的主體地位.本節(jié)課教師通過不斷變化題目的條件,圖形,培養(yǎng)學(xué)生隨機應(yīng)變的能力,通過以填空形式設(shè)問,制造小臺階,并從多個適當(dāng)點撥學(xué)生如何用簡潔的文字語言來概括本節(jié)課的規(guī)律,總結(jié)出解題的通法,使得此類題型在學(xué)生腦海里印象深刻,達到題目類化的目的,提高了學(xué)生邏輯思維能力,分析問題、解決問題的能力.正如數(shù)學(xué)教育家柏利亞曾說過得:“一個有責(zé)任心的教師與其窮于應(yīng)付繁瑣的數(shù)學(xué)內(nèi)容和過量的題目,還不如適當(dāng)選擇某些有意義但又不太復(fù)雜的題目去幫助學(xué)生挖掘題目的各個方面,在知道學(xué)生解題過程中,提高他們的才智和推理能力”.

2.2 滲透解題技巧,一題多用促發(fā)展

教學(xué)中,教師應(yīng)對學(xué)生“授之以漁”,才能讓學(xué)生從茫茫題海中走出來.教學(xué)中,教師可以從教材某一道例題或習(xí)題出發(fā),教會學(xué)生解決與該習(xí)題或例題相類似的某一類題的解題策略.例如,在幾何教學(xué)中,我們會遇到許多基本圖形,如果在教學(xué)中,我們能夠教會學(xué)生識別教材常見的幾何圖形,充分挖掘基本幾何圖形的價值,講解時重視基本解題方法的講授,并輔之以適當(dāng)?shù)念}目,那么在教學(xué)中會達到事半功倍的效果.

案例2 以一道課本習(xí)題為例.如圖10,AD與BC相于點O,OA=OC,∠A=∠C,BE=DE.求證:OE垂直平分BD.

圖10

師:這題要求證OE垂直平分BD,即OE是BD的垂直平分線,要證明一條直線為一個線段的垂直平分線,要如何證明?

生:應(yīng)證明兩個點到線段BD的距離相等,且這兩個點都在要求證的直線BD上才可以.即證明OB=OD,BE=DE.

師:此題中BE=DE為已知,如何證明OB=OD?

生:OB=OD在不同的三角形上,所以,可以用全等三角形來證明.

師:在這個圖中,常見的全等三角形的圖形有哪些?你能否用將他們提取出來?

生:

圖11

圖12

圖13

圖14

師:這些都是我們常見的全等的圖形(圖11-圖14).所以本題證明,可以轉(zhuǎn)化為證什么?

生:可以轉(zhuǎn)化為證△CDO～=△ABO.

證明在△AOB與△COD中,

所以

所以O(shè)B=OD,所以,點O在線段BD的垂直平分線上,因為BE=DE,所以點E在線段BD的垂直平分線上,OE垂直平分BD.

師:識別上述的幾個基本圖形,我們在證明全等三角形時,會讓我們達到事半功倍之效,我們看下以下幾道題.

應(yīng)用1已知:如圖15,AC⊥OB,BD⊥OA,AC與BD交于E點,若OA=OB,求證:AE=BE.

師:圖15中的基本圖形中全等形有哪些?

生:

圖15

圖16

圖17

圖18

師:已知條件跟什么掛鉤?

生:△CAO和△DBO.

師:AE和BE在哪些三角形中?

生:△AEO和△BEC.

師:如何證明?

生:因為AC⊥BD,所以

又因為BD⊥OA,所以

因為 ∠O= ∠O,所以△CAO≌△DBO(ASA),所以O(shè)C=OD,又因為

所以

又因為 ∠AED= ∠BEC,所以△CAO≌△DBO,所以AE=BE.師:將基本圖形旋轉(zhuǎn)下,可以得到如下應(yīng)用2的圖19,而教材中的另外一道習(xí)題(應(yīng)用3)也可以在應(yīng)用2的基礎(chǔ)上再進行拓展.

應(yīng)用2 已知,如圖19,AB⊥AC,AB=AC,AD⊥AE,AD=AE.

求證:BE=CD.

解析要證BE=CD,因為BE和CD在△BAE和△DAC中,所以可以轉(zhuǎn)化為證△BAE～=△DAC,題目中已知AB=AC,AD=AE,根據(jù)全等三角形證明方法(SAS)知應(yīng)證∠BAE=∠DAC,由于題目已知∠BAC=∠DAE=90°,而∠BAC+∠CAE= ∠DAE+∠CAE,即∠BAE= ∠DAC.

應(yīng)用3(課本習(xí)題):如圖20,在△ABC的外邊作等邊△ABD、等邊△AEC,求證:BE=CD.

圖19

解析要證BE=CD,因為BE和CD在△BAE和△DAC中,所以可以轉(zhuǎn)化為證△BAE≌△DAC,題目中已知有等邊△ABD、等邊△AEC,所以AB=AD,AC=AE,根據(jù)全等三角形證明方法(SAS)知應(yīng)證,∠BAE=∠DAC,由于題目已∠BAD= ∠CAE=60°,而∠BAD+∠CAB=∠CAE+∠BAC,即∠BAE= ∠DAC.

圖20

在應(yīng)用3做完后,教師可以適當(dāng)鼓勵學(xué)生改變此題,引導(dǎo)學(xué)生思考,如果的外邊作的不是等邊三角形,而是等腰直角三角形,四邊形,甚至多邊形,那么能否得到類似的結(jié)論?如下面的應(yīng)用4和應(yīng)用5.

應(yīng)用4 如圖21,△ACD和△BCE都是等腰直角三角形,∠ACD= ∠BCE=90°,AE交CD于點F,BD分別交CE、AE于點G、H.試猜測線段AE和BD的數(shù)量和位置關(guān)系,并說明理由.

圖21

圖22

應(yīng)用5 如圖22,已知△ABC,分別以AB,AC為邊向外作正方形ABDE和正方形ACFG.連接EC、BG,判斷EC與BG的關(guān)系并證明.

在教學(xué)中,如果我們能深挖課本習(xí)題的價值,讓學(xué)生掌握課本問題的“本質(zhì)”證法,學(xué)生就能舉一反三,在基本題型的基礎(chǔ)上,學(xué)生就能應(yīng)付層出不窮的數(shù)學(xué)問題.

2.3 分解基本圖形,一題多解促發(fā)展

一道數(shù)學(xué)題,由于思考的角度不同,我們可以得到不同的思路,而這些思路來源于我們對基本題型的熟悉.正如前面所說的,在教材的習(xí)題中,我們會遇到許多基本圖形,如果學(xué)生能熟練識別常見幾何圖形,并掌握基本解題方法,那么對于一些難度較大的幾何題,學(xué)生便能從復(fù)雜圖形分解出幾何圖形,找到解決難題的突破口,從而達到事半功倍之效.

案例3一道東莞市中考幾何題的評析課

如圖23,⊙O是△ABC的外接圓,AC是直徑,過點O作OD⊥AB于點D,延長DO交⊙O于點P,過點P作PE⊥AC于點E,作射線DE交BC的延長線于F點,連接PF.

圖23

(1)若 ∠POC=60°,AC=12,求劣弧PC的長;(結(jié)果保留π)

(2)求證:OD=OE;

(3)PF是⊙O的切線.

本題前面第一個小問考查弧長公式,學(xué)生解答還可以,但是第二問,學(xué)生有點吃力,第三問,學(xué)生更是無從入手,故教師在解答第(2)(3)問前,就引導(dǎo)學(xué)生回憶教材的基本幾何圖形,引導(dǎo)學(xué)生從復(fù)雜圖形中提取基本圖形,發(fā)現(xiàn)題目隱含條件,作為解決問題的突破扣和切入點,并通過畫輔助線構(gòu)造新的幾何圖形,將分散的條件集中到有效的圖形上進行解決.

本題解答前教師先做如下鋪墊:

師:從這個圖形中,你能得出什么基本幾何圖形?

學(xué)生在教師的引導(dǎo)下從復(fù)雜圖形中提取以下基本幾何圖形(圖24):

圖24

師:第二問目標是證明,通過之前我們提取出來的基本幾何圖形,結(jié)合證明線段相等的兩種常規(guī)方法是?

生:當(dāng)線段在同一個三角形時,通過等角對等邊證明,當(dāng)線段在在不同三角形時,通過證明兩三角形全等來證.

師:所以本題證明OD=OE,可以轉(zhuǎn)化為證?

生:可以轉(zhuǎn)化為證△ADO～=△PEO.

師:本題的直接條件:OD⊥AB,PE⊥AC,要證△ADO～=△PEO,你還能找出什么條件?

生:OA=OP,∠AOD= ∠POE.

第(2)問解法如下

證明如圖25.因為OD⊥AB,PE⊥AC,所以 ∠ADO=∠PEO=90°,所以在△ADO和△PEO中,∠ADO=∠PEO,∠AOD= ∠POE,OA=OP,所以△ADO≌△PEO,所以O(shè)D=OE.

圖25

第三問目標要證PF是⊙O的切線,其實也就是要證明OP⊥PF,即∠ODF=90°,直接證明難度比較大,而學(xué)生通過觀察易發(fā)現(xiàn),四邊形DBPF是一個矩形,所以本題思路一是證四邊形DBPF是一個矩形.

第(3)問解法一

圖26

證明如圖26.連接AP,因為OA=OP,所以 ∠1= ∠3,由(2)得OD=OE,所以 ∠2= ∠4,又 ∠AOP= ∠EOD,所以 ∠1=∠2,所以AP//DF,∠PAD=∠FDB,因為PD⊥AB且PD經(jīng)過圓心O,所以,根據(jù)垂徑定理可知,AD=DB,又因為AC是直徑,∠PDA= ∠B=90°,所以△APD≌△DFB,所以PD=FB,所以四邊形DBPF是平行四邊形,因為∠B=90°,所以四邊形DBPF是矩形,,所以PF是⊙O的切線.由上面的思路,學(xué)生容易想到可以證四邊形APFD是平行四邊形

第(3)問解法二

圖27

證明如圖27.連接AP,所以O(shè)A=OP,所以 ∠1= ∠3,由(2)得OD=OE,所以 ∠2= ∠4,又 ∠AOP= ∠EOD,所以 ∠1=∠2,所以AP//DF,∠PAD=∠FDB,因為PD⊥AB且PD經(jīng)過圓心O,所以,根據(jù)垂徑定理可知,AD=DB,又因為AC是直徑,∠PDA= ∠B=90°,所以△APD≌△DFB,所以PD=FB,所以四邊形DBPF是平行四邊形,所以AP//PF,所以∠PDA= ∠DPF=90°,所以PF是⊙O的切線.

由已知和要證明的,在四邊形DBPF中,有三個角為90°,由四邊形內(nèi)角和公式知∠PFB=90°.通過之前箏形圖形的鋪墊,學(xué)生比較容易想到通過做輔助線PC,來證明△PCE≌△PCF,進而證明 ∠PFB=90°.

圖28

證明如圖28.連接PC,由AC是直徑知BC⊥AB,又OD⊥AB,所以PD//BF,所以∠OPC= ∠PCF,∠1= ∠4,由(2)知OD=OE,則 ∠1= ∠2,又 ∠2= ∠3,所以 ∠3= ∠4,所以EC=FC,由OP=OC知 ∠OPC= ∠OCE,所以∠PCE=∠PCF,所以在△PCE和△PFC中,EC=FC,∠PCE= ∠PCF,PC=PC,所以△PCE≌△PFC,所以 ∠PFC= ∠PEC=90°,由 ∠PDB= ∠B=90°,可知∠ODF=90°,即OP⊥PF,所以PF是⊙O的切線.

整個案例的教學(xué)過程,提示我們在平時的教學(xué)實踐中,不僅要注重教材基本幾何圖形的研究,更要善于結(jié)合有趣的題目來“借題發(fā)揮”,在平時的數(shù)學(xué)教學(xué)中,有大量的一題多解的例子,如果我們在拿到一個題目后,能有意識的去觀察、分析和研究,在課堂上與學(xué)生進行討論,從不同思考角度得到不同解題思路,那必定在教學(xué)中必定可以從基本題型出發(fā),變化出很多的花樣,增大課堂容量,拓展學(xué)生思維,讓學(xué)生走出茫茫題海,促進學(xué)生自主探索能力,培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維.

3 關(guān)于借題發(fā)揮促發(fā)展的兩點思考與建議

3.1 借題發(fā)揮不應(yīng)只是教師的獨角戲,應(yīng)讓“變化”的魅力吸引學(xué)生也參與其中

學(xué)生不是帶著空的腦袋進教室的,每一名學(xué)生都有許多數(shù)學(xué)知識和生活經(jīng)驗,教師可以鼓勵學(xué)有余力的學(xué)生在一起適當(dāng)改編原題或者從自己練習(xí)過的題目中找到與課本練習(xí)題相類似的變式題,讓他們的數(shù)學(xué)思維通過交流與碰撞,得到進一步提升,并學(xué)會自主地進行訓(xùn)練和創(chuàng)新訓(xùn)練,豐富課堂內(nèi)容,創(chuàng)生課程資源.

3.2 借題發(fā)揮避免過度深化題目,應(yīng)該在學(xué)生現(xiàn)狀和未來發(fā)展之間把握好一個“度”

教材的編寫滲透著專家的智慧,教材知識是循序漸進的,教師在日常備課中要博采眾長,披沙揀金,使得題目的引申、拓展能緊緊圍繞教學(xué)目的、教學(xué)重難點以及學(xué)生現(xiàn)有知識儲備,而不至于過度深化,增加學(xué)生負擔(dān),使得教學(xué)有序進行卻不“僵化”,題目進行引申卻不“偏離正軌”,在學(xué)生現(xiàn)狀和未來發(fā)展之間把握好一個“度”.

4 結(jié)束語

教育學(xué)家波利亞認為,“一個有責(zé)任心的教師與其窮于應(yīng)付繁瑣的數(shù)學(xué)內(nèi)容和過量的題目,不如適當(dāng)?shù)剡x擇某些有意義但又不太復(fù)雜的題目去幫助學(xué)生發(fā)掘題目的各個方面,在指導(dǎo)學(xué)生解題過程中,提高他們的才智和推理能力.”讓我們緊緊圍繞以“教師為主導(dǎo),學(xué)生為主體”的教育理念,為學(xué)生努力創(chuàng)建好平臺,利用好教學(xué)資源,使教材“活”起來,使學(xué)生的思維活躍起來.