杜林林， 劉維寧， 劉衛(wèi)豐， 馬龍祥

(1. 北京交通大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院， 北京 100044； 2. 西南交通大學(xué) 土木工程學(xué)院， 成都 610031)

固定諧振荷載作用下曲線軌道動(dòng)力響應(yīng)特性研究

杜林林1， 劉維寧1， 劉衛(wèi)豐1， 馬龍祥2

(1. 北京交通大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院， 北京 100044； 2. 西南交通大學(xué) 土木工程學(xué)院， 成都 610031)

將曲線軌道視為周期性離散支撐結(jié)構(gòu)，根據(jù)周期性結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性，通過(guò)引入移動(dòng)荷載作用下曲線軌道梁的數(shù)學(xué)模態(tài)以及廣義波數(shù)，得出曲線軌道梁頻域響應(yīng)的級(jí)數(shù)表達(dá)，進(jìn)而求解固定諧振荷載作用下曲線軌道梁平面外彎扭耦合振動(dòng)的響應(yīng)特性。通過(guò)計(jì)算不同頻率固定諧振荷載作用下曲線軌梁的動(dòng)力響應(yīng)，可以求得曲線軌梁垂向位移頻響特性。對(duì)單層離散點(diǎn)支撐軌道模型進(jìn)行計(jì)算分析可知：曲線軌道梁一階自振頻率受扣件支點(diǎn)垂向支撐剛度、垂向支撐阻尼系數(shù)、扣件支點(diǎn)間距變化影響較大，扣件支點(diǎn)垂向支撐剛度增加時(shí)軌梁一階自振頻率提高，垂向支撐阻尼系數(shù)增加時(shí)軌梁一階自振頻率略有減少，扣件支點(diǎn)間距減小時(shí)軌梁一階自振頻率提高；扣件支點(diǎn)間距對(duì)曲線軌梁頻響特性具有顯著的影響，跨中處一階pinned-pinned共振峰幅值及支點(diǎn)處反共振峰幅值隨支點(diǎn)間距的增加而變大；曲線半徑對(duì)地鐵軌道軌梁垂向位移頻響特性幾乎沒(méi)有影響。

曲線軌道；彎扭耦合；周期結(jié)構(gòu)；頻響特性

曲線軌道能夠適應(yīng)地形、地物、地質(zhì)等條件的約束，滿足城市軌道交通線路的規(guī)劃設(shè)計(jì)要求[1]。然而列車(chē)通過(guò)曲線軌道時(shí)產(chǎn)生的振動(dòng)問(wèn)題卻不容忽視，以北京地鐵為例，曲線軌道處出現(xiàn)了大量的異常波磨，影響車(chē)輛運(yùn)行甚至危及行車(chē)安全[2]，曲線段列車(chē)運(yùn)行引起的地表振動(dòng)響應(yīng)較大[3]。不同于直線軌道，列車(chē)在曲線軌道運(yùn)行時(shí)會(huì)引起曲線軌道的平面內(nèi)振動(dòng)以及平面外振動(dòng)，對(duì)于列車(chē)運(yùn)行時(shí)的垂向荷載來(lái)說(shuō)，平面外振動(dòng)占主要成分[4-5]，為研究列車(chē)通過(guò)曲線軌道過(guò)程中的輪軌相互作用關(guān)系，應(yīng)首先明確曲線軌道的動(dòng)力響應(yīng)特性，因此需要研究固定簡(jiǎn)諧荷載作用下曲線軌道彎扭耦合振動(dòng)特性。

針對(duì)曲線梁振動(dòng)特性的研究，姚玲森等[6]根據(jù)Vlasov[7]曲線梁平衡方程，采用傅里葉級(jí)數(shù)法求解簡(jiǎn)支曲線梁內(nèi)力，通過(guò)求解兩個(gè)聯(lián)立的四階微分方程得到曲梁的內(nèi)力和變形。單德山[8]應(yīng)用積分變換法，求解了移動(dòng)荷載作用下簡(jiǎn)支曲線梁彎扭耦合振動(dòng)的解析解，并進(jìn)一步研究了高速鐵路曲線梁橋車(chē)橋耦合振動(dòng)。宋郁民等[9]運(yùn)用模態(tài)疊加法，通過(guò)考慮列車(chē)曲線的通過(guò)特點(diǎn)及輪軌非線性相互作用，建立了空間列車(chē)-橋梁的耦合方程。Yang等[10]通過(guò)模態(tài)疊加法，研究了水平曲線簡(jiǎn)支梁在豎向力和水平力的共同作用下，曲線梁的彎扭耦合振動(dòng)響應(yīng)。劉維寧等[11]根據(jù)曲線梁的傳遞矩陣，以Duhamel積分為基礎(chǔ)，推導(dǎo)了移動(dòng)荷載作用下曲線Timoshenko梁平面外振動(dòng)響應(yīng)的解析解?？傮w來(lái)說(shuō)，針對(duì)曲線梁振動(dòng)特性的研究相對(duì)較少，固定諧振荷載作用下曲線軌道的動(dòng)力響應(yīng)問(wèn)題仍需作進(jìn)一步的研究。

不同于曲線車(chē)-軌動(dòng)態(tài)耦合研究，曲線超高、輪軌間橫向相互作用力及軌底坡等對(duì)車(chē)軌動(dòng)態(tài)相互作用影響較大[12]，本文主要研究固定簡(jiǎn)諧荷載作用下曲線軌道的振動(dòng)響應(yīng)問(wèn)題，可以忽略超高、橫向輪軌力、軌底坡等因素的影響，將曲線軌道簡(jiǎn)化為周期性離散支撐的平面曲線梁。利用軌道結(jié)構(gòu)周期性條件，將動(dòng)力響應(yīng)的求解映射于一個(gè)基本元之內(nèi)進(jìn)行，通過(guò)引入移動(dòng)荷載作用下曲線軌道梁的數(shù)學(xué)模態(tài)以及廣義波數(shù)，得出了曲線軌道梁頻域響應(yīng)的級(jí)數(shù)表達(dá)，進(jìn)而求解得出軌梁的頻域動(dòng)力響應(yīng)，得到了固定諧振荷載作用下曲線軌道平面外彎扭耦合振動(dòng)的響應(yīng)特性。

1 曲線軌道梁動(dòng)力響應(yīng)分析

1.1 圓弧曲梁振動(dòng)微分方程推導(dǎo)

在推導(dǎo)曲線梁振動(dòng)微分方程時(shí)，假定曲線梁為等截面的勻質(zhì)梁且曲率半徑為常數(shù)，橫截面具有豎直的對(duì)稱(chēng)軸；曲線梁形心與剪切中心重合；曲率半徑遠(yuǎn)大于橫截面、梁長(zhǎng)的尺寸。曲線梁的坐標(biāo)系按照右手螺旋法則規(guī)定，如圖1所示。

圖1 曲線梁坐標(biāo)系Fig.1 Coordinate of curved beam

自由振動(dòng)下，忽略高階微量，曲線Euler梁的軸向、徑向、垂向及扭轉(zhuǎn)振動(dòng)微分方程為[13-15]

(1)

(2)

(3)

(4)

式中:uz、uy、uz分別為x、y、z方向上的位移；φz為繞z軸的扭轉(zhuǎn)變形；m為單位長(zhǎng)度質(zhì)量；ρ為密度；A為截面面積；Id為截面扭轉(zhuǎn)常數(shù)；I0為截面極慣性矩；E、G分別為曲線梁的彈性模量和剪切模量；Ix、Iy分別為繞x、y軸的截面慣性矩；Iω為截面扭轉(zhuǎn)翹曲常數(shù)；R為半徑。

由式(1)～(4)可知，式(1)～(2)表示曲梁的軸向及徑向，即平面內(nèi)振動(dòng)微分方程，式(3)～(4)表示曲梁的垂向及扭轉(zhuǎn)，即平面外振動(dòng)微分方程。觀察式(1)～(4)可知，曲線梁平面內(nèi)振動(dòng)與平面外振動(dòng)相互獨(dú)立，且曲梁平面內(nèi)振動(dòng)對(duì)平面外振動(dòng)影響很小，因此，垂向荷載作用下曲線梁的動(dòng)力響應(yīng)僅考慮平面外振動(dòng)情況。

考慮到曲線軌道曲線半徑遠(yuǎn)大于軌梁截面尺寸，軌梁動(dòng)力變形中可忽略翹曲扭轉(zhuǎn)，因而Iω=0，則曲線梁平面外自由振動(dòng)微分方程為

(5)

(6)

1.2 曲線軌梁動(dòng)力學(xué)控制方程

將鋼軌簡(jiǎn)化為曲線Euler梁，將扣件簡(jiǎn)化為彈簧阻尼支點(diǎn)，此時(shí)軌道簡(jiǎn)化為等間距離散點(diǎn)支撐的軌梁模型，考慮一速度為v、角頻率為ωF的垂向單位移動(dòng)諧振荷載eiωFt作用于軌梁上，如圖2所示。軌梁的振動(dòng)微分方程可以寫(xiě)為

(7)

(8)

對(duì)式(7)、式(8)進(jìn)行傅里葉變換

(9)

(10)

圖2 垂向移動(dòng)簡(jiǎn)諧荷載作用下曲線軌道梁力學(xué)模型圖3 軌梁變形及約束示意圖Fig2MechanicsmodelofcurvedtracksubjectedtoharmonicmovingloadsFig.3Schematicofconstraintofrail

1.3 曲線軌道軌梁頻域響應(yīng)的廣義波數(shù)法

將曲線軌道映射至圓形軌道結(jié)構(gòu)中[18]，根據(jù)周期性結(jié)構(gòu)的性質(zhì)對(duì)曲線軌道梁的動(dòng)力特性進(jìn)行分析，移動(dòng)諧振荷載作用下軌梁頻域動(dòng)力響應(yīng)具有如下周期性性質(zhì)[19]

(11)

式中:ω為角頻率；符號(hào)“＾”代表頻域內(nèi)的物理量；L為軌梁的周期長(zhǎng)度。

(12)

結(jié)合式(11)與式(12)，有

(13)

(14)

式中:Cn(ω,ωF)是傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)；ξn=2πn/L。

(15)

記：

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

式中:2N+1為計(jì)算采用的軌梁模態(tài)數(shù)，記為NMR，即NMR=2N+1。

令：

κ=(ω-ωF)/v或ω=ωF+vκ

(21)

由軌梁頻域動(dòng)力響應(yīng)的模態(tài)疊加法可知：

(22)

(23)

(24)

(25)

聯(lián)立式(24)及式(25)，整理可得：

G(κ,ωF)u(κ,ωF)=P(κ,ωF)

(26)

式中:u(κ,ωF)={U-N,…,U+N,Φ-N,…,Φ+N}T；G(κ,ωF)為(NMR+NMR)階方陣；P(κ,ωF)為(NMR+NMR)×1階已知向量，其第j行的值為

解式(26)可得：

(27)

(28)

1.4 固定諧振荷載下曲線軌梁動(dòng)力響應(yīng)求解

根據(jù)已求出的軌道梁頻域響應(yīng)，軌梁時(shí)域響應(yīng)可采用逆傅里葉變換求得

(29)

上式即為速度為v的移動(dòng)諧振荷載作用下，軌梁時(shí)域位移響應(yīng)解。令v=0，可得固定諧振荷載作用下軌梁的位移響應(yīng)

(30)

式(30)表明：在固定諧振荷載作用下，軌梁穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是簡(jiǎn)諧的，位移響應(yīng)幅值為

(31)

式(31)即為固定諧振荷載作用下曲線軌梁動(dòng)力響應(yīng)幅值，通過(guò)計(jì)算不同頻率固定諧振荷載作用下曲線軌梁的動(dòng)力響應(yīng)幅值，即可求得曲線軌梁垂向位移頻率響應(yīng)函數(shù)。式(31)可采用數(shù)值積分法求解：

(32)

2 曲線軌道軌梁頻率響應(yīng)函數(shù)分析

2.1 軌道梁模型及軌梁頻率響應(yīng)函數(shù)計(jì)算

為求得曲線軌道梁垂向位移頻率響應(yīng)函數(shù)，以北京地鐵普通整體道床軌道為例，軌道采用DTVI2扣件，軌道梁模型如圖4所示，以此模型研究曲線軌道動(dòng)力響應(yīng)特性，鋼軌及DTVI2扣件參數(shù)見(jiàn)表1。

根據(jù)計(jì)算分析可知，軌梁模態(tài)數(shù)取為21，κ取值范圍為[-10，10]，Δκ取值為0.039，計(jì)算結(jié)果已充分收斂，可保證計(jì)算精度。

為研究曲線軌梁垂向位移頻響特性，本文分別計(jì)算了扣件支點(diǎn)處及兩相鄰支點(diǎn)跨中處的頻率響應(yīng)函數(shù)，其中激振點(diǎn)與拾振點(diǎn)布置如圖4所示，計(jì)算結(jié)果如圖5所示。

表1 T60鋼軌及DTVI2扣件參數(shù)Tab.1 Parameters of T60 rail and DTVI2 fasteners

支點(diǎn)處

跨中處圖4 不同位置處頻響函數(shù)布置圖Fig.4 Frequency response of track at different load points

圖5 軌梁支點(diǎn)及跨中處垂向位移頻響函數(shù)Fig.5 Frequency response of rail at a fastener support point and mid-span between fastener support points

2.2扣件支點(diǎn)垂向支撐剛度及阻尼系數(shù)對(duì)頻響函數(shù)的影響

為了研究支點(diǎn)垂向支撐剛度對(duì)軌梁垂向位移頻響函數(shù)的影響，本文分別計(jì)算了支點(diǎn)垂向支撐剛度為15 MN/m、30 MN/m、90 MN/m及120 MN/m時(shí)支點(diǎn)處和跨中處的頻響函數(shù)。為研究支點(diǎn)垂向支撐阻尼系數(shù)對(duì)頻響函數(shù)的影響，分別計(jì)算了垂向支撐阻尼系數(shù)為0.01 MN·s/m、0.04 MN·s/m及0.07 MN·s/m時(shí)支點(diǎn)處和跨中處的頻響函數(shù)。其余參數(shù)如表1所示。

圖6給出了不同支點(diǎn)垂向支撐剛度作用下跨中處及支點(diǎn)處的軌梁垂向位移頻響函數(shù)，觀察圖6可知：①曲線軌梁一階自振頻率受支點(diǎn)垂向支撐剛度變化影響較大，支點(diǎn)垂向支撐剛度的增加會(huì)引起軌梁一階自振頻率的提高，降低一階自振頻率點(diǎn)處的響應(yīng)幅值，增加頻響函數(shù)在高于一階自振頻率頻段的幅值；②扣件支點(diǎn)垂向支撐剛度變化對(duì)離散點(diǎn)支撐軌梁一階pinned-pinned共振頻率沒(méi)有影響。

跨中處

支點(diǎn)處圖6 垂向支撐剛度對(duì)垂向位移頻響函數(shù)的影響Fig.6 Frequency response of track with different stiffness of fastener support point

圖7給出了不同支點(diǎn)垂向支撐阻尼系數(shù)作用下跨中處及支點(diǎn)處的曲線軌梁垂向位移頻響函數(shù)，觀察圖7可知：

(1)曲線軌梁一階自振頻率受阻尼系數(shù)變化影響較大，增加阻尼系數(shù)時(shí)，軌梁一階自振頻率略有減少，頻響函數(shù)在一階自振頻率點(diǎn)附近處的響應(yīng)幅值有所降低；

(2)阻尼系數(shù)變化對(duì)離散點(diǎn)支撐軌梁一階pinned-pinned共振頻率沒(méi)有影響，隨著阻尼系數(shù)的增加，跨中處一階pinned-pinned共振頻率處響應(yīng)幅值增加，支點(diǎn)處反共振峰響應(yīng)幅值降低。

跨中處

支點(diǎn)處圖7 垂向支撐阻尼系數(shù)對(duì)垂向位移頻響函數(shù)的影響Fig.7 Frequency response of track with different damping coefficients of fastener support point

2.3 曲線半徑及扣件間距對(duì)頻響函數(shù)的影響分析

為了研究曲線軌梁半徑及扣件支點(diǎn)間距對(duì)垂向位移頻響函數(shù)的影響，本文分別計(jì)算了曲線半徑為3 m、6 m、12 m、50 m、100 m、300 m、500 m及1 000 m時(shí)支點(diǎn)處和跨中處的頻響函數(shù)。為了研究扣件支點(diǎn)間距對(duì)軌梁垂向位移頻響函數(shù)的影響，本文分別計(jì)算分析了扣件支點(diǎn)間距為0.45 m、0.6 m、0.9 m及1.2 m時(shí)支點(diǎn)處和跨中處的頻響函數(shù)。其余參數(shù)如表1所示。

圖8給出了不同曲線半徑作用下跨中處及支點(diǎn)處的軌梁垂向位移頻響函數(shù)，由圖8可知：

(1)曲線軌道一階自振頻率幾乎不受半徑影響，半徑的增加對(duì)一階自振頻率沒(méi)有影響；

(2)在一階pinned-pinned共振點(diǎn)處，支點(diǎn)處共振頻率高于跨中處，曲線半徑與扣件間距比值小于10時(shí)，半徑對(duì)曲線軌道梁頻響函數(shù)具有顯著影響，隨著曲線半徑的增加，軌道梁一階pinned-pinned共振頻率變大，跨中處共振峰幅值降低，支點(diǎn)處反共振峰響應(yīng)幅值提高；曲線半徑與扣件間距比值大于10時(shí)，隨著半徑的增加，半徑對(duì)曲線軌道梁頻響函數(shù)的影響逐漸降低，當(dāng)半徑大于50 m之后半徑對(duì)曲線軌道梁垂向位移頻響函數(shù)幾乎沒(méi)有影響；

(3)地鐵曲線軌道最小半徑為300 m，隨著曲線半徑的增加，軌梁垂向位移頻響函數(shù)基本一致，半徑對(duì)曲線軌道垂向位移頻響函數(shù)幾乎沒(méi)有影響。

圖9所示為曲線半徑為300 m時(shí)，不同扣件支點(diǎn)間距下跨中處及支點(diǎn)處的軌梁垂向位移頻響函數(shù)。觀察圖9可知：

(1)扣件支點(diǎn)間距對(duì)曲線軌道一階自振頻率變化影響較大，支點(diǎn)間距減小時(shí)軌道一階自振頻率提高，一階自振頻率處響應(yīng)幅值降低；

(2)根據(jù)計(jì)算公式求得支點(diǎn)間距為0.45 m、0.6 m、0.9 m及1.2 m時(shí)所對(duì)應(yīng)的一階pinned-pinned共振頻率分別為2 563 Hz、1 442 Hz、640 Hz和360 Hz，與程序求解計(jì)算結(jié)果吻合良好，支點(diǎn)間距減小一半時(shí)，一階pinned-pinned共振頻率增大4倍；

(3)支點(diǎn)間距對(duì)曲線軌梁一階pinned-pinned共振響應(yīng)具有顯著的影響，跨中處一階pinned-pinned共振峰幅值及支點(diǎn)處反共振峰幅值隨支點(diǎn)間距的增加而變大。

跨中處

支點(diǎn)處圖8 曲線軌道半徑對(duì)垂向位移頻響函數(shù)的影響Fig.8 Frequency response of track with different radiuses

跨中處

支點(diǎn)處圖9 扣件支點(diǎn)間距對(duì)垂向位移頻響函數(shù)的影響Fig.9 Frequency response of different spacing of fastener support points

3 結(jié) 論

本文將曲線軌道視為周期性離散點(diǎn)支撐結(jié)構(gòu)，根據(jù)周期性結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性，通過(guò)引入移動(dòng)簡(jiǎn)諧荷載作用下曲線軌道軌梁的數(shù)學(xué)模態(tài)以及廣義波數(shù)，得出了垂向荷載作用下曲線軌道梁頻域響應(yīng)的級(jí)數(shù)表達(dá)，進(jìn)而求解得出垂向固定諧振荷載作用下曲線軌道梁平面外彎扭耦合振動(dòng)的響應(yīng)特性。通過(guò)計(jì)算不同頻率固定諧振荷載作用下曲線軌梁的動(dòng)力響應(yīng)，得到了曲線軌梁頻響特性。針對(duì)地鐵普遍采用的整體道床軌道，以單層離散點(diǎn)支撐軌道模型為基礎(chǔ)，通過(guò)計(jì)算分析扣件支點(diǎn)垂向支撐剛度、垂向支撐阻尼系數(shù)、曲線半徑及扣件支點(diǎn)間距對(duì)垂向位移頻響函數(shù)的影響，得到以下結(jié)論：

(1)曲線軌道軌梁一階自振頻率受支點(diǎn)垂向支撐剛度、垂向支撐阻尼系數(shù)、支點(diǎn)間距變化影響較大；支點(diǎn)垂向支撐剛度增加時(shí)軌梁一階自振頻率提高，一階自振頻率點(diǎn)處的響應(yīng)幅值降低；垂向支撐阻尼系數(shù)增加時(shí)軌梁一階自振頻率略有減少，頻響函數(shù)在一階自振頻率點(diǎn)附近的響應(yīng)幅值降低；支點(diǎn)間距減小時(shí)軌梁一階自振頻率提高，一階自振頻率點(diǎn)響應(yīng)幅值降低。

(2)扣件支點(diǎn)垂向支撐剛度對(duì)軌梁一階pinned-pinned共振頻率沒(méi)有影響；增大垂向支撐阻尼系數(shù)時(shí)跨中處一階pinned-pinned共振峰幅值增加，支點(diǎn)處反共振峰幅值降低；扣件間距對(duì)軌梁一階pinned-pinned共振特性具有顯著的影響，跨中處一階pinned-pinned共振峰幅值及支點(diǎn)處反共振峰幅值隨支點(diǎn)間距的增加而變大；支點(diǎn)扣件間距減小一半時(shí)，一階pinned-pinned共振頻率增大4倍。

(3)地鐵軌道最小曲線半徑為300 m，隨著曲線半徑的增加，軌道垂向位移頻率響應(yīng)函數(shù)基本一致，半徑對(duì)曲線軌道垂向位移頻響函數(shù)幾乎沒(méi)有影響。

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Astudyoncurvedtrackdynamicresponseunderafixedharmonicload

DU Linlin1, LIU Weining1, LIU Weifeng1, MA Longxiang2

(1.School of Civil Engineering, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044, China; 2.School of Civil Engineering, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China)

Modelling the dynamic behavior of a curved railway track subjected to fixed harmonic loads is important to understand its dynamic characteristics. The discretely supported curved Euler Beam was used to simulate dynamic response of curved track based on a periodic structure. Mathematical modes of track and generalized wavenumber were introduced, and dynamic response of bending and torsion of curved track in frequency domain was expressed by series superposition of the mathematical modes. Dynamic response of curved track subjected to a fixed harmonic load was obtained, and some conclusions were obtained. The natural vibration frequency of curved beam was greatly affected by vertical stiffness, vertical damping coefficient and spacing of fasteners. The first-order natural frequency of track increased with increasing the vertical stiffness of fastener, but decreased slightly with increasing the vertical damping of fastener. The first-order natural frequency of track increasing as the fastener spacing is decreased. Fastener spacing has a significant influence on response of curved track. The bigger the fastener spacing, the greater the amplitude of first order pinned-pinned resonance in mid-span and the bigger the amplitude of first order pinned-pinned anti-resonance in fastener support. Radius has little effect on vertical displacement frequency response of a curved track in metro.

curved track; coupling of bending and torsion; modal superposition method; periodical structure; frequency response function

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51378001)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專(zhuān)項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(2015YJS122)

2016-10-19 修改稿收到日期： 2016-12-18

杜林林 男，博士生，1988年生

劉衛(wèi)豐 男，博士，副教授，博士生導(dǎo)師，1975年生

U213.2

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.20.035