(湖北省武漢市黃陂區(qū)教學(xué)研究室，湖北 武漢 430300)

悟透導(dǎo)數(shù)本質(zhì)探析物理變化率問題

唐克明

(湖北省武漢市黃陂區(qū)教學(xué)研究室，湖北 武漢 430300)

通過高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)知識的學(xué)習(xí)，強(qiáng)化了學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，豐富了物理問題解決的途徑。本文闡釋了導(dǎo)數(shù)本質(zhì)、幾何意義、物理意義，并應(yīng)用求導(dǎo)的數(shù)學(xué)工具，簡單明了、形象直觀地探討一些物理現(xiàn)象和實例，總結(jié)物理學(xué)中變化率問題的處理思路，這有益于高三復(fù)習(xí)中的數(shù)理學(xué)科綜合，有益于培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決物理問題的能力。

導(dǎo)數(shù)；變化率；數(shù)學(xué)知識；物理問題

1 引言

導(dǎo)數(shù)的知識已納入高中數(shù)學(xué)教材，在數(shù)學(xué)高考中已作為必考內(nèi)容，這是新課改的一大亮點，為高中生解決物理問題增添了有力的數(shù)學(xué)工具。鑒于這部分知識是在高二下學(xué)期學(xué)完，那么在高三的一輪復(fù)習(xí)中，可以有意識地指導(dǎo)學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)知識重新認(rèn)識物理概念，同時培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用導(dǎo)數(shù)分析物理問題的能力。

2 導(dǎo)數(shù)知識的回顧

17世紀(jì)力學(xué)、航海、天文等方面取得了突飛猛進(jìn)的發(fā)展，這些發(fā)展對數(shù)學(xué)提出了新的要求，其中“根據(jù)物體的路程關(guān)于時間的函數(shù)求速度和加速度、求已知曲線的切線”這兩類問題直接導(dǎo)致了導(dǎo)數(shù)的產(chǎn)生。

2.1 導(dǎo)數(shù)的定義

2.2 導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)與幾何意義

由導(dǎo)數(shù)的定義可知“導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)在某一點處由于自變量變化所引起的函數(shù)變化的快慢程度，即表示函數(shù)變化的變化率，但在數(shù)學(xué)上一般都稱為導(dǎo)數(shù)”，我們可以認(rèn)為導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)就是函數(shù)的變化率。

圖1

2.3 導(dǎo)數(shù)的物理意義

關(guān)于導(dǎo)數(shù)的物理意義沒有一個統(tǒng)一的說法，對于不同的物理問題有不同的意義，凡是在物理問題中，涉及物理量的變化率的問題，一般都是利用導(dǎo)數(shù)來解決。

在導(dǎo)體中，通過橫截面的電量Q是時間t的函數(shù)，即Q(t)，則Q(t)對時間t的導(dǎo)數(shù)，就是電流強(qiáng)度I(t)=Q′(t)，即是電量對時間的變化率。

3 問題例析

3.1 探討“氣球膨脹率”

生活中很多人都看到過這樣一個物理現(xiàn)象：在給氣球打氣的過程中，發(fā)現(xiàn)隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加，氣球的半徑增加得越來越慢。這一現(xiàn)象稱之為“氣球膨脹率”,即半徑隨容積變化的快慢，從物理學(xué)的角度可以定性分析，但要定量描述這一現(xiàn)象，還需要借助數(shù)學(xué)工具來探討。若對這一物理現(xiàn)象作如下的導(dǎo)數(shù)分析，能啟迪學(xué)生的思維，有益于學(xué)生“應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決物理問題能力”的培養(yǎng)，分析如下。

圖2

3.2 探討“萬有引力隨物體離地高度h增大，減少得越來越慢”

圖3

圖4

3.3 探討“高臺跳水，速度的變化”

3.4 探討“簡諧運(yùn)動，速度隨位移的變化快慢”

圖5

圖6

拓展探究：振子m的動能Ek，隨時間t的變化快慢；隨位移x的變化快慢。

圖7

4 小結(jié)

在物理學(xué)中，要探討物理量的變化率問題，可用物理規(guī)律建立兩者間的函數(shù)關(guān)系，用計算機(jī)作出它們的函數(shù)圖像，用導(dǎo)數(shù)的幾何意義或原函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性來判斷解決，這是我們解決物理學(xué)中關(guān)于變化率問題的思路。

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