汪彥，涂立

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基于改進(jìn)Lorenz混沌系統(tǒng)的圖像加密新算法

汪彥1, 2，涂立2

(1. 中南大學(xué)軟件學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙，410083；2. 湖南城市學(xué)院信息與電子工程學(xué)院，湖南益陽(yáng)，413000)

為了提高圖像加密算法的加密安全性和抗攻擊能力，提出一種基于改進(jìn)Lorenz混沌系統(tǒng)的圖像加密新算法。首先，將Lorenz系統(tǒng)中的1個(gè)非線性項(xiàng)用指數(shù)函數(shù)項(xiàng)與單變量2次平方項(xiàng)的和替代；然后，分析該改進(jìn)Lorenz系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，證實(shí)其混沌特性；最后，利用該混沌映射生成分別用于置亂加密和替代加密的2組密鑰序列，進(jìn)行圖像的加密和解密操作：在置亂加密階段，將圖像像素灰度進(jìn)行升序排列，并與置亂加密密鑰序列結(jié)合實(shí)現(xiàn)像素位置置亂；在替代加密階段，采用密文反饋的加密方式修改像素灰度。研究結(jié)果表明：該算法能有效抵御選擇明文攻擊，密文圖像像素具有類隨機(jī)均勻分布特性，且相鄰像素具有零相關(guān)特性，擁有192 bit的密鑰空間且對(duì)密鑰非常敏感。

Lorenz系統(tǒng)；圖像加密；混沌系統(tǒng)；置亂

圖像是人們獲取信息的主要來(lái)源。相關(guān)統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明，視覺(jué)提供了人們每天所感知信息的比例高達(dá)80%。圖像是視覺(jué)信息的主要表現(xiàn)形式之一，具有形象、直觀、生動(dòng)的特點(diǎn)，在生活中得到了廣泛應(yīng)用。隨著計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)和通信技術(shù)的迅猛發(fā)展，越來(lái)越多的數(shù)字圖像需要在復(fù)雜多變的網(wǎng)絡(luò)環(huán)境中處理、傳輸和存儲(chǔ)，圖像信息的安全性問(wèn)題日益受到重視[1]。在很多應(yīng)用場(chǎng)合，數(shù)字圖像信息往往與個(gè)人隱私、商業(yè)秘密、軍事情報(bào)甚至國(guó)家安全等密切相關(guān)，如何合理采用加密技術(shù)、切實(shí)保障這些信息不被非授權(quán)者非法竊取，是具有現(xiàn)實(shí)意義而不容忽視的重大問(wèn)題。由于數(shù)字圖像自身具有數(shù)據(jù)量大、相關(guān)性強(qiáng)以及冗余度高等特點(diǎn)，使得傳統(tǒng)的密碼學(xué)方法應(yīng)用到圖像加密場(chǎng)合效果并不理想[2]。由于混沌系統(tǒng)具有類隨機(jī)性、遍歷性和初值敏感性等特點(diǎn)，因此，將離散混沌系統(tǒng)運(yùn)用于加密領(lǐng)域[3]，并提出了基于混沌的圖像加密思 想[4]。自此，研究者紛紛將圖像加密與混沌聯(lián)系起來(lái)。涂立等[5]提出了一種基于二維廣義Logistic混沌映射的圖像加密算法；YANG等[6]提出了一種基于混沌約瑟夫矩陣的圖像加密算法；陳鴻等[7]采用混沌理論和小波變化，設(shè)計(jì)了圖像加密壓縮算法；鄧曉衡等[8]針對(duì)加密算法存在的安全缺陷問(wèn)題，提出了一種像素位置與比特雙重置亂的圖像混沌加密算法。采用一維的混沌系統(tǒng)對(duì)圖像加密，存在安全性低、密鑰空間小等問(wèn)題，為此，鄧曉衡等[8?14]采用高維Lorenz系統(tǒng)或改進(jìn)Lorenz系統(tǒng)進(jìn)行圖像加密。為進(jìn)一步提高安全性、擴(kuò)大密鑰空間、抵御選擇明文攻擊，本文作者提出一種基于改進(jìn)Lorenz混沌系統(tǒng)的圖像加密新算法。

1 混沌系統(tǒng)

所謂混沌[15]，就是指在確定性的非線性系統(tǒng)中出現(xiàn)的一種看似毫無(wú)規(guī)則、類似隨機(jī)的獨(dú)特現(xiàn)象，表現(xiàn)出對(duì)系統(tǒng)初值和控制參數(shù)的高度敏感性和類隨機(jī)行為?；煦缫话憔哂腥缦绿卣鳎撼踔得舾行裕粌?nèi)隨機(jī)性；遍歷性?；煦绲膬?yōu)良特性使其非常適合應(yīng)用到密碼學(xué)領(lǐng)域。下面介紹Lorenz混沌系統(tǒng)及其改進(jìn)方法。

1.1 Lorenz系統(tǒng)

洛倫茲在研究對(duì)流實(shí)驗(yàn)的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)了一個(gè)高維的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，這是世界上第1個(gè)表現(xiàn)奇異吸引子的連續(xù)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，同時(shí)表現(xiàn)出非常復(fù)雜的非線性動(dòng)力學(xué)行為特征。該系統(tǒng)描述了從水桶底部加熱時(shí)桶內(nèi)液體的運(yùn)動(dòng)情況。這一系統(tǒng)被稱為L(zhǎng)orenz系統(tǒng)[16]，其動(dòng)力學(xué)方程如下：

其中：，，和為L(zhǎng)orenz系統(tǒng)參數(shù)，均可取大于0的任意實(shí)數(shù)，當(dāng)取=10，=28，=1，=8/3時(shí)，Lorenz系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài)。由上述Lorenz混沌系統(tǒng)得到的混沌序列在應(yīng)用到信息加密場(chǎng)合時(shí)，存在寬頻帶特性較弱、序列相關(guān)性不夠理想以及局部區(qū)域的單調(diào)性等問(wèn)題，因此，有必要對(duì)Lorenz混沌系統(tǒng)加以改造，以便更加契合信息加密領(lǐng)域的實(shí)際需要。

1.2 Lorenz系統(tǒng)的改進(jìn)方法

張成亮等[17]提出將Lorenz微分方程組的變量的微分方程中的非線性項(xiàng)用指數(shù)函數(shù)e替換。取系統(tǒng)參數(shù)=10，=40，=1，=2.5時(shí)，可得最大的Lyapunov指數(shù)E1=1.733 0。而對(duì)于同樣的參數(shù)設(shè)置，原始Lorenz系統(tǒng)(1)的最大Lyapunov指數(shù)1=1.213 2。該改進(jìn)系統(tǒng)比系統(tǒng)(1)具有更大的正的Lyapunov指數(shù)，這說(shuō)明前者的混沌行為更復(fù)雜，根據(jù)前者得到的混沌系列更適宜于信息加密。

官國(guó)榮等[12]提出用2來(lái)替代e。當(dāng)給定系統(tǒng)參數(shù)=10，=40，=1，=2.5時(shí)，最大的Lyapunov指數(shù)1=2.060 6，這說(shuō)明該改進(jìn)系統(tǒng)得到了更大的正的Lyapunov指數(shù)，其混沌動(dòng)力學(xué)行為表現(xiàn)更復(fù)雜。

2 新的改進(jìn)Lorenz系統(tǒng)及其動(dòng)力學(xué)特性分析

2.1 一種新的改進(jìn)Lorenz系統(tǒng)

在對(duì)原Lorenz系統(tǒng)分析的基礎(chǔ)上，構(gòu)建如下改進(jìn)Lorenz混沌系統(tǒng)：

對(duì)于上述系統(tǒng)，取參數(shù)=10，=40，=1，=2.5時(shí)，可得最大的Lyapunov指數(shù)1=2.084 0，2=0，3=?13.597 0。這說(shuō)明系統(tǒng)(2)相比原始Lorenz系統(tǒng)以及張成亮等[17]提出的改進(jìn)系統(tǒng)得到了更大的正Lyapunov指數(shù)，其混沌行為表現(xiàn)更加復(fù)雜。通過(guò)反復(fù)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，對(duì)于系統(tǒng)(2)的第3個(gè)方程，平方項(xiàng)系數(shù)設(shè)置為200，指數(shù)函數(shù)項(xiàng)系數(shù)設(shè)置為0.01，此時(shí)，系統(tǒng)(2)具有更加復(fù)雜的混沌行為。

2.2 改進(jìn)Lorenz系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性分析

對(duì)于改進(jìn)Lorenz系統(tǒng)(2)，有必要從混沌系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)角度出發(fā)，對(duì)該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)進(jìn)行深入探究。

2.2.1 改進(jìn)Lorenz混沌系統(tǒng)的混沌吸引子的相位圖

對(duì)于系統(tǒng)(2)，給定系統(tǒng)參數(shù)=10，=40，=1，=2.5時(shí)，采用Matlab7.1繪制該混沌系統(tǒng)的混沌吸引子的相位圖，如圖1所示。

由圖1可知：改進(jìn)的Lorenz混沌系統(tǒng)(2)的混沌吸引子的拉伸軌線和折疊軌線非常復(fù)雜，呈現(xiàn)出混沌特征。

2.2.2 系統(tǒng)的對(duì)稱性分析

系統(tǒng)(2)在變換:(，，)→(，?，)下保持不變，這說(shuō)明系統(tǒng)(2)關(guān)于軸對(duì)稱。

2.2.3 耗散性即混沌吸引子的存在性

2.2.4 平衡點(diǎn)與穩(wěn)定性分析

將系統(tǒng)參數(shù)=10，=40，=1，=2.5代入式(3)，即可得到系統(tǒng)(2)的3個(gè)平衡點(diǎn)：1(0，0，0.004 0)，2(?0.715 8，?0.715 8，41.000 0)，3(0.715 8，0.7158，41.000)。

現(xiàn)將系統(tǒng)(2)線性化，可得到其Jacobian矩陣：

將點(diǎn)1(0，0，0.004 0)代入式(4)，根據(jù)Jacobian矩陣可解出3個(gè)特征根：1=25.241 5，2=16.241 5，3=?2.500 0。這些特征根中既有正值也有負(fù)值，據(jù)Routh-Hurwitz條件，可知點(diǎn)1是不穩(wěn)定鞍結(jié)點(diǎn)。同樣地，分別將點(diǎn)2(?0.715 8，?0.715 8，41.000 0)和3(0.715 8，0.715 8，41.000 0)代入式(4)，可得到3個(gè)特征根：1=?17.153 6，2=2.862 8+10.559 2i，3= 2.862 8?10.559 2i。其中，i為虛數(shù)單位；λ1為負(fù)實(shí)根，2和3則為1對(duì)具有正實(shí)部的共軛復(fù)根，據(jù)此可判定2和3均為系統(tǒng)的不穩(wěn)定鞍結(jié)點(diǎn)。

(a)?平面投影；(b)?平面投影；(c)?平面投影；(d) 混沌吸引子相位圖

圖1 系統(tǒng)(2)混沌吸引子的平面投影與相位圖

Fig. 1 Plane projections and phase diagram attractors of system (2)

2.2.5 Lyapunov指數(shù)與維數(shù)分析

混沌的一個(gè)非常重要的特點(diǎn)是初始狀態(tài)的細(xì)微不確定性以指數(shù)速度快速擴(kuò)大，這種軌跡發(fā)散或者收斂的比率可用Lyapunov指數(shù)定量刻畫(huà)。利用Jacobian矩陣可計(jì)算動(dòng)力系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)。給定系統(tǒng)參數(shù)=10，=40，=1，=2.5，并確定初值為(3，3，3)，計(jì)算系統(tǒng)(2)的3個(gè)Lyapunov指數(shù),依次用1，2和3表示，隨時(shí)間變化的曲線如圖2所示，其中1=2.084 0，2=0，3=?13.597 0。

1—L1；2—L2；3—L3。

根據(jù)求得的Lyapunov指數(shù)，可按下式計(jì)算系統(tǒng)(2)的Lyapunov維數(shù)為

可求出d=2.153 0。由此可見(jiàn)，系統(tǒng)(2)有1個(gè)Lyapunov指數(shù)是正值，而其Lyapunov維數(shù)是分?jǐn)?shù)，故系統(tǒng)(2)是混沌系統(tǒng)。

3 圖像加密算法基本原理

本文提出的圖像加密算法利用提出的改進(jìn)Lorenz系統(tǒng)生成用于加解密的混沌序列流，下面分別介紹加密過(guò)程和解密過(guò)程。

3.1 圖像加密過(guò)程

本文提出的圖像加密算法屬于典型的置亂—替代結(jié)構(gòu)的混沌加密方案。這種方案一般先利用混沌映射對(duì)圖像像素位置進(jìn)行置亂，然后利用混沌映射對(duì)圖像像素替代加密。

3.1.1 基于圖像像素位置的置亂加密

所謂像素位置的置亂，指按照某種方式將圖像的各個(gè)像素的位置在全圖范圍內(nèi)進(jìn)行改變，以降低甚至消除圖像中相鄰像素之間的相關(guān)性，從而增強(qiáng)圖像加密的安全性。圖像像素的置亂加密算法具體步驟如下。

式中：x和y為L的2個(gè)分量；=1，2，3，…，×。

3.1.2 基于異或運(yùn)算的像素替代加密

像素替代加密階段主要完成對(duì)置亂圖像像素序列的元素的替代加密，以改變加密圖像的直方圖，進(jìn)一步混淆密文圖像與明文圖像之間的關(guān)系，增強(qiáng)算法的安全性。基于異或運(yùn)算的圖像像素替代加密的具體操作步驟如下。

Step 4：將一維的最終密文圖像的像素序列轉(zhuǎn)換為二維×的矩陣，得到最終的密文圖像。至此，整個(gè)加密算法結(jié)束。

3.2 圖像解密過(guò)程

圖像的解密過(guò)程是加密的逆過(guò)程。加密算法分為像素置亂加密與像素替代加密這2個(gè)按先后順序依次進(jìn)行的過(guò)程。圖像解密同樣包含2個(gè)過(guò)程，即圖像替代解密和像素置亂解密。需注意的是，需要先進(jìn)行圖像替代解密操作，然后進(jìn)行像素置亂解密操作。圖像解密具體過(guò)程如下。

4 仿真實(shí)驗(yàn)效果

在算法的仿真實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，選擇經(jīng)典的分辨率為256×256的8位灰度圖像作為實(shí)驗(yàn)對(duì)象，在Win7平臺(tái)上利用Matlab7.1進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，混沌映射的初值和參數(shù)設(shè)置為：0=0.12，0=0.23，0=0.34，=10，40，=1，=2.5。由實(shí)驗(yàn)采用的原始圖像和仿真實(shí)驗(yàn)得到的加密圖像如圖3所示。由圖3(b)可以觀察到：憑借肉眼來(lái)判別，加密圖像中已看不到任何有用信息，也無(wú)法直接獲取加密圖像與原始圖像之間的關(guān)聯(lián)。

(a) 原始圖像；(b) 加密圖像

5 算法性能分析

5.1 直方圖分析

灰度直方圖是灰度級(jí)的函數(shù)，描述的是圖像中各灰度級(jí)具有的像素個(gè)數(shù)，直觀地體現(xiàn)了灰度圖像中像素的分布特性。圖4所示為原始明文圖像和加密圖像的灰度直方圖。原始圖像的像素灰度分布極不均勻，而加密圖像的像素灰度在[0，255]的區(qū)間較均勻分布。這說(shuō)明加密算法完全改變了圖像像素灰度的統(tǒng)計(jì)特性，使得密文圖像能夠抵御統(tǒng)計(jì)攻擊。

5.2 信息熵分析

(x)需要滿足下式給定條件：

5.3 圖像相鄰像素的相關(guān)性分析

針對(duì)圖3所示的原始圖像和加密圖像，分別在水平、垂直、對(duì)角這3個(gè)方向上，各自隨機(jī)挑選1 000組鄰點(diǎn)，計(jì)算它們的相關(guān)系數(shù)。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表1所示。

表1 原圖和密圖的相鄰像素的相關(guān)系數(shù)

由表1可知：原始圖像的相鄰像素之間的相關(guān)系數(shù)絕對(duì)值都超過(guò)了0.900 0，相鄰像素是高度相關(guān)的。而加密圖像的相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值都小于0.010 0。這說(shuō)明提出的加密算法破壞了原始圖像中相鄰像素的相關(guān)性，密文圖像的像素分布具有良好的隨機(jī)性。

5.4 密鑰敏感性測(cè)試

對(duì)于加密算法而言，只有使用正確的密鑰才能正確解密得到原始明文圖像。對(duì)正確密鑰進(jìn)行微小改變，得到的解密圖像與原始圖像差別很大，無(wú)法從解密圖像中獲取有意義的原始圖像相關(guān)信息，這種特性即為加密算法的密鑰敏感性[20]。下面分別采用正確的密鑰參數(shù)和不同的錯(cuò)誤密鑰參數(shù)對(duì)加密圖像進(jìn)行解密實(shí)驗(yàn)，以檢驗(yàn)所提出算法的密鑰敏感性。

首先，采用正確的密鑰參數(shù)1=0.12，1=0.23，1=0.34，所得到的解密圖像如圖5(a)所示。該圖像與圖3(a)所示原始圖像是一致的，這說(shuō)明采用正確的密鑰參數(shù)能夠成功地將密文圖像恢復(fù)成明文圖像。然后，依次將1，1和1這3個(gè)參數(shù)的其中1個(gè)參數(shù)增加10?10，同時(shí)其余2個(gè)參數(shù)取正確的密鑰參數(shù)，先后進(jìn)行3次解密實(shí)驗(yàn)，得到的錯(cuò)誤解密圖像分別如圖5(b)，(c)和(d)所示。從圖5可見(jiàn)：即便只對(duì)密鑰參數(shù)進(jìn)行細(xì)微改變，得到的解密圖像呈現(xiàn)類似于噪聲的分布狀態(tài)，與明文圖像區(qū)別很大。

(a) 正確密鑰解密圖像；(b) 錯(cuò)誤密鑰x1=0.12+10?10解密圖；(c) 錯(cuò)誤密鑰y1=0.23+10?10解密圖；(d) 錯(cuò)誤密鑰z1=0.34+10?10解密圖

在仿真實(shí)驗(yàn)中，采用的明文圖像和利用不同密鑰得到的解密圖像之間的灰度均方差如表2所示。從圖6和表2可知：只有使用正確的密鑰，才能通過(guò)解密還原出明文圖像；即使密鑰中的3個(gè)參數(shù)中某個(gè)參數(shù)發(fā)生微小變化，解密得到的圖像也無(wú)法分辨出有意義的內(nèi)容，且解密圖像與明文圖像之間的像素灰度均方差都在15 000以上，兩者差別很大。這說(shuō)明提出的加密算法對(duì)密鑰中的3個(gè)參數(shù)均非常敏感。

表2 P與P′的均方差

5.5 密鑰空間分析

算法的密鑰空間是否足夠大，能否抵抗攻擊者的窮舉攻擊，是評(píng)判加密算法優(yōu)劣的一個(gè)重要方面。本文提出的圖像加密算法基于改進(jìn)的Lorenz混沌系統(tǒng)，其密鑰牽涉到0，0和0這3個(gè)雙精度參數(shù)。若雙精度類型數(shù)據(jù)在計(jì)算機(jī)中為64 bit，那么，提出的加密算法密鑰空間為264×264×264=2192。若將改進(jìn)Lorenz混沌系統(tǒng)的參數(shù)，，和也作為密鑰參數(shù)，則密鑰空間更大。因此，本加密算法的密鑰空間足夠大，能夠有效地防范窮舉攻擊。

6 結(jié)論

1) 提出一種新的改進(jìn)Lorenz混沌系統(tǒng)。將Lorenz系統(tǒng)中的1個(gè)非線性項(xiàng)用指數(shù)函數(shù)項(xiàng)與單變量2次平方項(xiàng)的和替代，其能產(chǎn)生更復(fù)雜的混沌吸引子，具有更大的正Lyapunov指數(shù)。這說(shuō)明改進(jìn)的Lorenz混沌系統(tǒng)具有更好的混沌特性，有利于改善基于該改進(jìn)Lorenz混沌系統(tǒng)的圖像加密算法性能指標(biāo)。

2) 提出一種有效抵御選擇明文攻擊的圖像置亂加密方法。在由改進(jìn)Lorenz混沌系統(tǒng)構(gòu)造用于置亂的序列流后，將圖像的灰度序列進(jìn)行升序排列，然后將圖像灰度升序序列與置亂序列流的對(duì)應(yīng)元素相乘，利用得到的新序列進(jìn)行置亂加密。這種置亂加密方法與明文圖像的內(nèi)容緊密相關(guān)，能有效抵御選擇明文攻擊。

3) 在圖像像素替代加密階段引入密文輸出反饋機(jī)制，即將前一像素的加密結(jié)果作為加密密鑰參與下一個(gè)像素的替代加密，強(qiáng)化了密文擴(kuò)散效應(yīng)，使得算法能夠抵御差分攻擊。

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(編輯 陳燦華)

A new image encryption algorithm based on improved Lorenz chaotic system

WANG Yan1, 2, TU Li2

(1. School of Software,Central South University, Changsha 410083, China;2. School of Information and Electronic Engineering, Hunan City University, Yiyang 413000, China)

In order to improve the security and anti-attack ability of image encryption algorithm, a new image encryption algorithm based on improved Lorenz chaotic system was proposed. Firstly, a nonlinear term in the Lorenz system was replaced by an exponential function term and a two-square term of a single variable. Then, the dynamic characteristics of the improved Lorenz system were analyzed, which proved the chaotic characteristics of the system. Finally, the chaotic map was used to generate two groups of key sequences which were used for scrambling encryption and alternative encryption. In the scrambling encryption stage, the image pixel gray values were arranged in ascending order, and were combined with encryption key sequence to achieve pixel position scrambling. In the replacement encryption stage, the gray values of the pixels were modified by the way of cipher text feedback. The results show that the algorithm can effectively resist chosen plaintext attack, and the encrypted image has random-like distribution behavior of grey values and the adjacent pixels have zero correlation. The algorithm has 192 bit key spaces and it is very sensitive to the key.

Lorenz system; image encryption; chaotic system; scrambling

10.11817/j.issn.1672?7207.2017.10.017

TP309.7

A

1672?7207(2017)10?2678?08

2016?08?20；

修回日期：2016?10?25

湖南省教育廳科研項(xiàng)目(17C0296)；益陽(yáng)市指導(dǎo)性科技計(jì)劃項(xiàng)目(20165111)(Project(17C0296) supported by the Scientific Research of Department of Education of Hunan Province; Project(20165111) supported by the Guiding Science and Technology Planning of Yiyang City, Hunan Province)

汪彥，講師，從事智能信息處理、數(shù)字圖像處理等研究；E-mail：shaoguanzai@sina.com