高薇薇,石玉紅,耿綺靈

(西南交通大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,成都 611756)

工作性能水平約束下多狀態(tài)系統(tǒng)可靠性分析*

高薇薇,石玉紅,耿綺靈

(西南交通大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,成都 611756)

在實(shí)際工程應(yīng)用中,要考慮系統(tǒng)運(yùn)行過(guò)程中可能會(huì)因?yàn)槭芨黝愅饨缫蛩?如溫度、壓力、流量、功率等)的影響而導(dǎo)致對(duì)系統(tǒng)性能需求不同;針對(duì)系統(tǒng)性能受工作需求性能水平約束的現(xiàn)象,對(duì)傳統(tǒng)Markov過(guò)程進(jìn)行改進(jìn),提出改進(jìn)型Markov過(guò)程；在考慮工作需求性能水平約束的條件下,利用改進(jìn)型Markov過(guò)程來(lái)分析多狀態(tài)串并聯(lián)系統(tǒng)的可靠性,并給出簡(jiǎn)單的實(shí)例分析；結(jié)果表明該方法與傳統(tǒng)可靠性分析方法相比,大大降低了計(jì)算的復(fù)雜程度.

多狀態(tài)系統(tǒng);性能水平;結(jié)構(gòu)函數(shù);改進(jìn)型Markov過(guò)程;可靠性

0 前 言

多狀態(tài)系統(tǒng)可靠性的理念最早是在20世紀(jì)70年代提出來(lái)的,經(jīng)過(guò)幾十年的研究發(fā)展,多狀態(tài)系統(tǒng)可靠性這一領(lǐng)域已經(jīng)取得不錯(cuò)的理論研究成果[1-3].多狀態(tài)系統(tǒng)的理論能夠更加全面地描述復(fù)雜系統(tǒng)在不同性能水平下的可靠性,更重要的是它打破了以往二狀態(tài)可靠性理論對(duì)系統(tǒng)及其部件的狀態(tài)數(shù)量的限制,更加具有廣闊的應(yīng)用前景.其中,對(duì)多狀態(tài)系統(tǒng)的研究?jī)?nèi)容主要集中在多狀態(tài)系統(tǒng)的可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)、維修決策、保修管理等方面.除此之外,在實(shí)際工程應(yīng)用中,還要考慮系統(tǒng)運(yùn)行過(guò)程中可能會(huì)因?yàn)槭芨黝愐蛩氐挠绊懚鴮?dǎo)致對(duì)性能的需求不同,過(guò)低或過(guò)高的系統(tǒng)狀態(tài)(如溫度、壓力、流量、功率等)都是不允許的,即系統(tǒng)受到工作需求性能水平的約束.與傳統(tǒng)的多狀態(tài)系統(tǒng)可靠性分析相比,在考慮工作需求性能水平約束的條件下分析多狀態(tài)系統(tǒng)的可靠性,更具有實(shí)際的應(yīng)用價(jià)值.

目前,多狀態(tài)系統(tǒng)可靠性的分析方法主要有結(jié)構(gòu)函數(shù)法、通用生成函數(shù)法(UGF)等[4-5].為了更好地分析工作需求性能水平約束下多狀態(tài)系統(tǒng)的可靠性,確定系統(tǒng)及其部件在臨界狀態(tài)時(shí)的工作性能水平,文獻(xiàn)[6]提出多狀態(tài)串并聯(lián)系統(tǒng)的性能取決于系統(tǒng)部件間的結(jié)構(gòu)形式以及部件的不同性能的不同組合方式,為對(duì)多狀態(tài)系統(tǒng)可靠性進(jìn)行有效的評(píng)估,基于多狀態(tài)系統(tǒng)理論和概率論提出了一種多狀態(tài)串并聯(lián)系統(tǒng)狀態(tài)及其工作性能的定量分析方法.文獻(xiàn)[7]運(yùn)用Hidden Markov模型來(lái)監(jiān)測(cè)與分析數(shù)控裝備關(guān)鍵性能參數(shù)的時(shí)變特性,基于此分析數(shù)控裝備使用過(guò)程中可靠性變動(dòng)狀況.文獻(xiàn)[8]討論了基于性能水平劃分下多狀態(tài)系統(tǒng)可靠性分析方法,在限定各部件的性能水平的條件下,提出多狀態(tài)系統(tǒng)的部件性能重要性的度量方法,并在給定的性能水平下,求得各部件對(duì)系統(tǒng)可用性的貢獻(xiàn)程度.文獻(xiàn)[9]給出離散狀態(tài)連續(xù)時(shí)間Markov過(guò)程的一種特殊變換,即Lz-變換,分析了隨機(jī)需求性能水平約束下多狀態(tài)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)可靠性.

在考慮系統(tǒng)受工作需求性能水平約束的條件下,利用改進(jìn)型Markov過(guò)程模型來(lái)分析多狀態(tài)系統(tǒng)的可靠性,并給出簡(jiǎn)單的實(shí)例分析.

1 多狀態(tài)系統(tǒng)及其部件性能描述

1.1 多狀態(tài)系統(tǒng)部件的性能描述

多狀態(tài)系統(tǒng)Y是由具有多種狀態(tài)的部件通過(guò)各種不同邏輯關(guān)系組合而成的,其中部件的每一個(gè)狀態(tài)都對(duì)應(yīng)一個(gè)性能水平.若部件Xi有mi個(gè)不同的狀態(tài),其性能集合表示為gi={gi1,gi2,…,gimi},gij表示部件i處于狀態(tài)j時(shí)的工作性能值.

在t≥0的任意時(shí)刻,部件Xi的性能gi(t)是離散型隨機(jī)變量,可取集合gi中的不同值,即gi(t)∈gi.所以,對(duì)任意工作時(shí)段[0,T],部件i的性能可描述為一個(gè)離散型隨機(jī)過(guò)程.多狀態(tài)部件Xi處于不同狀態(tài)的概率可用集合pi={pi1,pi2,…,pimi}表示,pij表示部件Xi處于狀態(tài)j時(shí)的概率.

pij=p{gi(t)=gij},j=1,2,…,mi

(1)

由于部件Xi的性能集gi是由互不相容子集{gi1,gi2,…,gimi}構(gòu)成的集合,所以有

(2)

由式(2)可知,集合gi(t)和pi(t)完全確定了時(shí)刻t部件Xi的性能gi(t)的分布.

1.2 多狀態(tài)系統(tǒng)的性能描述

由n個(gè)多狀態(tài)部件組成的多狀態(tài)系統(tǒng),它的性能水平可以通過(guò)各部件的性能水平來(lái)確定.在任一特定時(shí)刻,構(gòu)成系統(tǒng)的各個(gè)部件都各自處于某個(gè)特定的狀態(tài),這些部件的狀態(tài)組合確定了在該時(shí)刻系統(tǒng)所對(duì)應(yīng)的工作狀態(tài),即系統(tǒng)的工作狀態(tài)由各組成部件的狀態(tài)組合來(lái)確定.系統(tǒng)具有M種工作狀態(tài),分別對(duì)應(yīng)著不同的性能值Gi(i=1,2,…,M).系統(tǒng)在t時(shí)刻的性能值G(t)是一個(gè)隨機(jī)變量,G(t)∈{G1,G2,…,GM}.

設(shè)Ln={g11,g12,…,g1m1}×{g21,g22,…,g2m2}×…×{gn1,gn2,…,gnmn}為構(gòu)成系統(tǒng)各部件的工作性能值空間,G={G1,G2,…,GM}為系統(tǒng)的狀態(tài)性能值空間,性能結(jié)構(gòu)函數(shù)用φ表示,用來(lái)描述部件性能空間與系統(tǒng)性能組合空間之間的關(guān)系:

φ{(diào)G1(t),G2(t),…,GM(t)}：Ln→G

假定各個(gè)部件之間不會(huì)存在并發(fā)性的狀態(tài)轉(zhuǎn)移,即在同一時(shí)刻t,系統(tǒng)內(nèi)只有一個(gè)部件發(fā)生狀態(tài)轉(zhuǎn)移,其他部件不會(huì)發(fā)生狀態(tài)轉(zhuǎn)移,并且每個(gè)部件的轉(zhuǎn)移過(guò)程都是獨(dú)立的Markov過(guò)程.

2 改進(jìn)型Markov過(guò)程

設(shè){X(t),t≥0}是取值在E={0,1,…}或E={0,1,…,N}上的一個(gè)隨機(jī)過(guò)程.若對(duì)任意自然數(shù)n及任意n個(gè)時(shí)刻點(diǎn)0≤t1

P{X(tn)=Xn/X(t1)=X1,X(t2)=

X2，X3，…，X(tn-1)=Xn-1}=

P{X(tn)=Xn|X(tn-1)=Xn-1}

(3)

則稱{X(t),t≥0}為離散狀態(tài)空間E上的連續(xù)時(shí)間Markov過(guò)程.又如果對(duì)?t,u≥0,均有

p{X(t+u)=j|X(u)=i}=pij(t)i,j∈E

(4)

與u無(wú)關(guān),則稱Markov過(guò)程{X(t),t≥0}是時(shí)齊的.其中,對(duì)于固定的i,j∈E,函數(shù)pij(t)稱為轉(zhuǎn)移概率函數(shù),Ρ(t)=(pij(t))稱為轉(zhuǎn)移概率矩陣[10].

令Ρ(t)=(p0(t),p1(t),…,pn(t)),其中pi(t)=p(X(t)=Xi),稱Ρ(t)為Markov過(guò)程{X(t),t≥0}在t時(shí)刻的狀態(tài)分布向量.特別地,Ρ(0)=(p0(0),p1(0),…,pn(0))為初始狀態(tài)分布.

其中Ρ(t)滿足如下微分方程組：

(5)

記aki=qki,aii=-qi,式(5)表示成矩陣的形式為

Ρ′(t)=Ρ(t)A

(6)

其中A為轉(zhuǎn)移率矩陣：

然而,在實(shí)際的工程應(yīng)用中,系統(tǒng)及其部件會(huì)受到工作需求性能水平的約束,即當(dāng)系統(tǒng)的性能不滿足工作需求的性能水平時(shí),系統(tǒng)所有性能狀態(tài)空間都被視為無(wú)效空間,記為0狀態(tài),這時(shí)系統(tǒng)的狀態(tài)表現(xiàn)為失效狀態(tài).因此,系統(tǒng)的可靠性受到以下函數(shù)的約束：

w≤G(t)≤W

(7)

其中，G(t)是系統(tǒng)的性能函數(shù),w,W分別是系統(tǒng)需要滿足的工作性能水平的最小值、最大值.圖1為多狀態(tài)系統(tǒng)可靠性計(jì)算框圖.

圖1 多狀態(tài)系統(tǒng)可靠性計(jì)算框圖Fig.1 Block-diagram for the multi-state system reliability computation

在系統(tǒng)受工作需求性能水平約束的條件下,對(duì)Markov過(guò)程進(jìn)行改進(jìn).滿足工作需求水平的任何一個(gè)狀態(tài)k轉(zhuǎn)入無(wú)效狀態(tài)0狀態(tài)的失效率λk,0等于狀態(tài)k轉(zhuǎn)入無(wú)效狀態(tài)內(nèi)任何一個(gè)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移率的總和[11],即

(8)

在0狀態(tài)空間中的所有狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移以及從0狀態(tài)中轉(zhuǎn)移出的轉(zhuǎn)移率都被視為無(wú)效[12],此模型稱為改進(jìn)型Markov過(guò)程模型.其中H={j+1,…,n}為系統(tǒng)性能大于工作需求水平W的系統(tǒng)狀態(tài)的集合,L={1,2,…,i-1}是系統(tǒng)性能小于需求水平w的系統(tǒng)狀態(tài)的集合,E={i,i+1,…,k,…,j-1,j}是系統(tǒng)性能滿足工作需求水平的系統(tǒng)狀態(tài)的集合,狀態(tài)轉(zhuǎn)移過(guò)程如圖2所示.

圖2 改進(jìn)型Markov過(guò)程狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖Fig.2 State-transition diagram of the improved Markov process

改進(jìn)型Markov過(guò)程模型表達(dá)式如下：

(9)

其中，l=i,i+1,…,j.

利用初始條件求出各個(gè)狀態(tài)的狀態(tài)概率,就可以得到在時(shí)刻t,工作需求性能水平約束下系統(tǒng)的可靠度為

(10)

3 案例分析

某發(fā)動(dòng)機(jī)的燃油供給系統(tǒng)要通過(guò)高壓油管向噴油閥輸送燃油,其工作示意圖如圖3所示,g1,g2,g3為供油系統(tǒng)中的3個(gè)部件,g1表示高壓油管,g2、g3表示噴油閥,它們都有3種不同的狀態(tài),并且分別對(duì)應(yīng)不同的性能水平,各部件的性能值分別為g1={g11,g12,g13}={1,2.5,4},g2={g21,g22,g23}={1,3,3.5},g3={g31,g32,g33}={1,2,3.5},部件i在任一時(shí)刻的性能值gi(t)∈gi,則系統(tǒng)各部件的性能組合空間表示為

L3={g11,g12,g13}×{g21,g22,g23}×{g31,g32,g33}

圖3 系統(tǒng)工作示意圖Fig.3 Diagram of the system operation

部 件轉(zhuǎn)移率1λ111=0λ121=3λ131=5λ112=10λ122=0λ132=3λ113=0λ123=5λ133=02λ211=0λ221=5λ231=8λ212=10λ222=0λ232=2λ213=0λ223=4λ233=03λ311=0λ321=6λ331=3λ312=9λ322=0λ332=8λ313=0λ323=12λ333=0

由圖3可知該燃油供給系統(tǒng)為串并聯(lián)系統(tǒng),故系統(tǒng)的性能結(jié)構(gòu)函數(shù)為G=φ(g1,g2,g3)=min{g1,max(g2,g3)}.為保證該系統(tǒng)燃料輸出量穩(wěn)定,要求該系統(tǒng)需要滿足的性能水平為W≥G≥w,其中w=2,W=3.由系統(tǒng)的性能結(jié)構(gòu)函數(shù)可知該系統(tǒng)部件的狀態(tài)組合共有33=27種,利用改進(jìn)型Markov過(guò)程模型對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行簡(jiǎn)化,即只對(duì)系統(tǒng)性能水平滿足3≥G≥2的狀態(tài)轉(zhuǎn)移過(guò)程進(jìn)行分析;對(duì)不滿足工作需求水平的狀態(tài)視為系統(tǒng)的無(wú)效狀態(tài),將其合并為一個(gè)吸收態(tài),記為0狀態(tài).0狀態(tài)集合中的各個(gè)狀態(tài)之間不會(huì)發(fā)生狀態(tài)轉(zhuǎn)移,并且刪除所有從0狀態(tài)轉(zhuǎn)出的轉(zhuǎn)移率.因此,得到滿足工作需求性能水平的系統(tǒng)狀態(tài)如下：

G1=3: {g13,g23,g32}={4,3,2}

G2=3: {g13,g23,g31}={4,3,1}

G3=2: {g13,g21,g32}={4,1,2}

G4=2.5: {g12,g23,g33}={2.5,3.5,3.5}

G5=2.5: {g12,g23,g32}={2.5,3.5,2}

G6=2.5: {g12,g23,g31}={2.5,3.5,1}

G7=2.5: {g12,g22,g33}={2.5,3,3.5}

G8=2.5: {g12,g22,g32}={2.5,3,2}

G9=2.5: {g12,g22,g31}={2.5,3,1}

G10=2.5: {g12,g21,g33}={2.5,1,3.5}

G11=2: {g12,g21,g32}={2.5,1,2}

另外,0狀態(tài)為

G01=1: {g11,g21,g31}={1,1,1}

G02=1: {g11,g21,g32}={1,1,2}

G03=1: {g11,g21,g33}={1,1,3.5}

G04=1: {g11,g22,g31}={1,3,1}

G05=1: {g11,g22,g32}={1,3,2}

G06=1: {g11,g22,g33}={1,3,3.5}

G07=1: {g11,g23,g31}={1,3.5,1}

G08=1: {g11,g23,g32}={1,3.5,2}

G09=1: {g11,g23,g33}={1,3.5,3.5}

G0,10=1: {g12,g21,g31}={2.5,1,1}

G0,11=1: {g13,g21,g31}={4,1,1}

G0,12=3.5: {g13,g21,g33}={4,1,3.5}

G0,13=3.5: {g13,g22,g33}={4,3,3.5}

G0,14=3.5: {g13,g23,g31}={4,3.5,1}

G0,15=3.5: {g13,g23,g32}={4,3.5,2}

G0,16=3.5: {g13,g23,g33}={4,3.5,3.5}

系統(tǒng)部件各個(gè)狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移過(guò)程圖如圖4所示。

圖4 系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖Fig.4 State-transition diagram for the system

由圖4得出轉(zhuǎn)移率矩陣為

其中

a12,12=0

根據(jù)式(9)和轉(zhuǎn)移率矩陣可得

Ρ′(t)=Ρ(t)A

即

初始條件如下：

p1(0)=1,pi(0)=0,i=2,3,…,12

將性能參數(shù)相同的概率值進(jìn)行合并,得出下面結(jié)果：

p(G=3)=p1(t)+p2(t)

p(G=2.5)=p4(t)+p5(t)+p6(t)+

p7(t)+p8(t)+p9(t)+p10(t)

p(G=2)=p3(t)+p11(t)

故在時(shí)刻t,工作需求水平約束下,多狀態(tài)系統(tǒng)的可靠度為

R(t)=p(G=3)+p(G=2.5)+p(G=2)

下面利用MATLAB軟件對(duì)微分方程組進(jìn)行編程求解,由于微分方程組的復(fù)雜性,無(wú)法求出解析式,故對(duì)該微分方程組進(jìn)行數(shù)值求解,求解結(jié)果見(jiàn)表2.

表2 各個(gè)性能狀態(tài)的狀態(tài)概率

tPp(G=3)p(G=2．5)p(G=2)R(t)0．062120．220980．064360．052710．338060．064620．210080．064550．051290．325920．067120．199840．064660．049840．314340．069620．190210．064700．048390．303300．072120．181150．064660．046940．292750．074620．172610．064570．045500．282670．077120．164550．064410．044070．273040．079620．156960．064200．042660．263820．082120．149780．063950．041270．254990．084620．143000．063640．039900．246540．087120．136590．063290．038570．238440．089620．130520．062900．037260．230680．092120．124770．062470．035990．223230．094620．119320．062010．034750．216090．095960．116510．061750．034100．212360．097310．113780．061480．033460．208710．098650．111120．061210．032820．205140．100000．108530．060920．032200．20165

運(yùn)行得到[0,0.1]時(shí)刻內(nèi)各個(gè)性能狀態(tài)的概率曲線如圖5所示,系統(tǒng)可靠度隨時(shí)間變化情況如圖6所示.

圖5 各個(gè)性能狀態(tài)的概率曲線圖Fig.5 The probability curve graph of each performance state

圖6 系統(tǒng)的可靠度曲線圖Fig.6 Curve graph of system reliability

4 結(jié) 論

利用改進(jìn)型Markov過(guò)程模型,求得工作需求性能水平約束下多狀態(tài)系統(tǒng)的可靠性.與傳統(tǒng)方法相比,大大降低了計(jì)算的復(fù)雜程度.求得的工作需求性能水平約束下多狀態(tài)系統(tǒng)的可靠度,為系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的優(yōu)化及其維修提供一個(gè)更貼近實(shí)際情況的參考依據(jù).在實(shí)際的工程應(yīng)用中,具有更加實(shí)際的意義.

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WANG Z K, YANG X Q. Birth Death Process and Markov Chain[M].Beijing:Science Press,2005

Reliability Analysis of Multi-state System under the Constraint of Work Performance Level

GAOWei-wei,SHIYu-hong,GENGQi-ling

(School of Mathematics, Southwest Jiaotong University, Chengdu 611756, China)

In practical engineering application, it is necessary to consider that the system performance may be affected by various factors such as temperature, pressure, flow, power and so on to cause different demands of system performance. According to the phenomenon that the system performance is constrained by the performance level of work requirements, the traditional Markov process is improved, and the improved Markov process is proposed. Under the condition of taking into account the performance level constraint, the improved Markov process is used to analyze the reliability of multi-state series parallel system, and a simple example analysis is given. The results show that compared with the traditional reliability analysis methods, this method greatly reduces the computational complexity.

multi-state system; performance level; structural function; improved Markov process; reliability

O213.2

A

2017-05-03；

2017-06-10.

中國(guó)鐵路總公司科技研究開(kāi)發(fā)計(jì)劃重大課題(2016J007-B);國(guó)家重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃任務(wù)(2016YFB1200401-102A);國(guó)家科技支撐計(jì)劃(2015BAG19B02-10).

高薇薇(1992-),女,山東棗莊人,碩士研究生,從事可靠性統(tǒng)計(jì)研究.

責(zé)任編輯：羅姍姍