潘尹凡 瞿 霞 馮 杰 郭長(zhǎng)江

(上海師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院 上海 200234)

邁克耳孫-莫雷實(shí)驗(yàn)的預(yù)期與實(shí)際模擬

潘尹凡 瞿 霞 馮 杰 郭長(zhǎng)江*

(上海師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院 上海 200234)

通過(guò)對(duì)邁克耳孫-莫雷實(shí)驗(yàn)的預(yù)期與實(shí)際計(jì)算機(jī)模擬對(duì)比，凸顯經(jīng)典時(shí)空觀的問(wèn)題.同時(shí)補(bǔ)充了普遍僅對(duì)中心位置分析計(jì)算的遺憾，給出了完整的模擬圖樣，以幫助理解該實(shí)驗(yàn)的思想原理.

邁克耳孫-莫雷實(shí)驗(yàn) 預(yù)期模擬 Matlab GUI

1900年4月27日，開(kāi)爾文男爵在他的演講中道出了物理學(xué)歷史中經(jīng)久不衰的比喻——19世紀(jì)籠罩在熱和光動(dòng)力理論上空的烏云.那兩朵烏云如同是日后物理學(xué)書(shū)籍中必不可少的一種定式化修辭，一次次重現(xiàn)著狂風(fēng)暴雨前夜物理學(xué)界自滿又不安的空氣[1].其中的一朵烏云是1887年由邁克耳孫與莫雷教授重做的“以太漂移”實(shí)驗(yàn)，即著名的邁克耳孫-莫雷實(shí)驗(yàn)，該實(shí)驗(yàn)動(dòng)搖了絕對(duì)靜止參考系的時(shí)空觀，對(duì)日后相對(duì)論的產(chǎn)生有著不可忽視的作用.

1 對(duì)條紋變化分析的不足

目前部分物理書(shū)籍在論述邁克耳孫-莫雷實(shí)驗(yàn)時(shí)，為得出0.37個(gè)條紋移動(dòng)的預(yù)期結(jié)果，多采用如下方式得出結(jié)論.

如圖1(a)所示,光經(jīng)分光板后，透射光先“追光”，后經(jīng)反射“迎光”，整個(gè)過(guò)程耗時(shí)

(1)

其中v為地球相對(duì)“以太系”的運(yùn)行速度，c為光速，L1為透射光到反射鏡M1的距離.對(duì)于反射光，如圖1(b)所示，當(dāng)時(shí)認(rèn)為在以太系中光速為c，故在豎直方向上有分量，應(yīng)有

(2)

圖1 實(shí)驗(yàn)光路圖

考慮到補(bǔ)償板已插入，兩路光的光程差即為Δδ=c(τ1-τ2).裝置旋轉(zhuǎn)90°后光路情況交換，故光程差變化為2Δδ，實(shí)驗(yàn)中L1與L2取為11 m，若v大小取30 000 m/s，代入算式，旋轉(zhuǎn)前后光程變化對(duì)應(yīng)約0.37個(gè)波長(zhǎng)，故應(yīng)有0.37個(gè)條紋移動(dòng)[2].

上述方法僅選擇了中心位置進(jìn)行分析，并未對(duì)其他近軸點(diǎn)進(jìn)行一般分析，如此就可能產(chǎn)生疑問(wèn)：“也許只有這中心點(diǎn)會(huì)有亮度改變，而旋轉(zhuǎn)90°對(duì)中心附近點(diǎn)的亮度分布幾乎沒(méi)有影響，導(dǎo)致我們?nèi)庋塾^察不到中心點(diǎn)的變化，所以才得出了零結(jié)果的結(jié)論？”或是：“是否因?yàn)樾D(zhuǎn)前裝置與以太風(fēng)恰成45°角，導(dǎo)致旋轉(zhuǎn)90°后圖樣確實(shí)不會(huì)有變化？”誠(chéng)然，從簡(jiǎn)單定量角度來(lái)看，該方法可最快給出結(jié)論，然而在未嚴(yán)格給出總體變化規(guī)律前，將零維特殊點(diǎn)的變化直接上升到二維難免有失嚴(yán)謹(jǐn).

2 基于當(dāng)時(shí)時(shí)空觀的計(jì)算

我們可通過(guò)鏡像法將整個(gè)光路化為兩個(gè)點(diǎn)光源在觀察屏上方成干涉圖樣的問(wèn)題，如圖2所示.

圖2 邁克耳孫-莫雷實(shí)驗(yàn)的細(xì)化光路圖

需要注意的是，由于經(jīng)過(guò)了鏡像處理，部分光路等效的v方向會(huì)發(fā)生改變，同時(shí)在裝置旋轉(zhuǎn)90°時(shí)，其變化方向也不相同，具體規(guī)律如表1所示(為不至于混亂，暫以兩點(diǎn)光源重合于S″分析).

表1 等效光路理論變化情況

現(xiàn)不妨設(shè)L1與v所成夾角為α，此時(shí)由圖3可知：光在“以太系”中的走向?yàn)镵→M1→K2，只需使用余弦定理即可求出KM1的長(zhǎng)度，即對(duì)應(yīng)的實(shí)際光程.

由圖3得

則其實(shí)際光程

(3)

圖3 實(shí)際光程理論示意圖

由式(3)，只要知道某等效光線在“地球系”走過(guò)的長(zhǎng)度L，及L與相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度v所成的夾角α，便可得出在“以太系”下傳播的實(shí)際光程.

繼續(xù)計(jì)算各段的L與α.先來(lái)分析各段等效光路在“地球系”的傳播長(zhǎng)度L.對(duì)觀察屏建立如圖4所示的三維直角坐標(biāo)系：定E點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸正方向與v同向，K→M2方向?yàn)閦軸正方向.為方便計(jì)算，設(shè)

h=KEH=S″E=SK+2KM2+KE

(4)

圖4 地球系下近軸光線的理論長(zhǎng)度

(5)

則各段長(zhǎng)為

(6)

則

(7)

式中h*=K′E,至此各段長(zhǎng)度均可表示.繼續(xù)分析L與相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度v所成夾角α的情況.如圖5所示，假設(shè)等效v沿HC方向(可以證明v恒在xOz平面內(nèi))，HJ為地球系下觀察到的光傳播方向，故α=∠CHJ，應(yīng)用兩次余弦定理便可求出.先對(duì)△COJ分析

CJ2=H2tan2θ+a2+b2+2aHtanθ

(8)

在△CHJ中

(9)

圖5 夾角計(jì)算

同理，v指向x正半軸時(shí)

3 基于Matlab的模擬

理論計(jì)算完備后，便可進(jìn)行模擬，本文使用Matlab2011b版本運(yùn)算，并為保證運(yùn)算速度，采樣點(diǎn)選為28+1即257個(gè).當(dāng)實(shí)驗(yàn)光波長(zhǎng)選擇為590 nm,臂長(zhǎng)取為11 m與11.001 m,觀察屏半寬度0.8 m,分光板距觀察屏15 m,相對(duì)速度v取地球公轉(zhuǎn)速度30 000 m/s時(shí)，預(yù)期的不同角度下模擬圖樣應(yīng)如圖6所示.

圖6 在上述條件下，轉(zhuǎn)過(guò)不同角度時(shí)的預(yù)期圖樣

可以看出，干涉圖樣應(yīng)有明顯的變化，變化表現(xiàn)在條紋不斷被“吞入”.外圍的條紋逐漸向中心靠攏，越外圈的條紋移動(dòng)程度越不明顯.有了該變化規(guī)律，才能說(shuō)用中心點(diǎn)來(lái)計(jì)算預(yù)期變化是可行的，同時(shí)上述一系列的疑問(wèn)自然也就解開(kāi)了.

4 結(jié)論補(bǔ)充

上文雖已給出了邁克耳孫-莫雷實(shí)驗(yàn)的預(yù)期模擬，但在實(shí)際中還存在著幾個(gè)值得注意的問(wèn)題，接下來(lái)從3個(gè)問(wèn)題切入，并結(jié)合模擬來(lái)逐一分析.

(1)表述問(wèn)題.在上文中已得出了理論上變化的規(guī)律，應(yīng)是條紋“吞吐”的變化，而目前部分文章中表述為條紋的“移動(dòng)”，移動(dòng)是一個(gè)很模糊的描述，是需要避免的誤區(qū).

(2)臂長(zhǎng)問(wèn)題.在通過(guò)公式得出條紋變化條數(shù)時(shí)，我們常將L1與L2直接取為11 m,并得出0.37個(gè)條紋的結(jié)論.該步驟從物理意義角度來(lái)看并不妥當(dāng)，假若兩臂均取11 m,代入模擬并不能形成干涉條紋，因?yàn)閮蓚€(gè)等效光源重合為了一點(diǎn).因此,本實(shí)驗(yàn)中臂長(zhǎng)不等是產(chǎn)生現(xiàn)象的關(guān)鍵前提，當(dāng)L1為11 m時(shí),L2必須為11 m±δ，δ是不可消除誤差，若不考慮該誤差，列出的計(jì)算式?jīng)]有對(duì)應(yīng)的實(shí)際意義.從這一角度來(lái)看，實(shí)驗(yàn)中旋轉(zhuǎn)的操作也不是為了“消除”臂長(zhǎng)誤差，主要是為交換兩光路的傳播方式.

圖7 v取750 m/s時(shí)，轉(zhuǎn)過(guò)角度后也幾乎沒(méi)有變化

(3)“零結(jié)果”問(wèn)題.邁克耳孫-莫雷實(shí)驗(yàn)的結(jié)果在當(dāng)時(shí)并沒(méi)有完全否定以太的存在，邁克耳孫本是為了測(cè)量地球相對(duì)以太的運(yùn)動(dòng)速度，但最后不成想只觀測(cè)到了極小的條紋變化，或才有了零結(jié)果這一說(shuō)法.若我們?cè)谀M中保持其他參數(shù)不變，將v修改

5 GUI模擬界面

利用Matlab軟件自帶的GUI功能生成一個(gè)模擬窗口(圖8)，可快速調(diào)整各個(gè)參數(shù)的數(shù)值并觀察其對(duì)圖樣的影響.本界面將旋轉(zhuǎn)角度、相對(duì)以太速度、兩臂長(zhǎng)、屏寬這5個(gè)主要參數(shù)以滑塊方式集合.

圖8 邁克耳孫-莫雷實(shí)驗(yàn)的預(yù)期模擬GUI界面

1 曹天元.量子物理史話 上帝擲骰子嗎.沈陽(yáng)：遼寧教育出版社，2008.28～32

2 馮杰.大學(xué)物理專題硏究.北京：北京大學(xué)出版社，2011.291～297

3 漆安慎，杜嬋英.力學(xué)(第2版).北京：高等教育出版社，2005.422～425

4 姚啟鈞.光學(xué)教程(第4版).北京：高等教育出版社，2008.42～44

2017-02-25)

潘尹凡(1994- )，男，在讀碩士研究生，研究方向?yàn)槲锢韺W(xué)科教學(xué).

指導(dǎo)教師：馮杰(1961- )，男，教授，碩士生導(dǎo)師,研究方向?yàn)槔碚撐锢?、非線性光學(xué)、物理課程與教學(xué)論.