北京信息科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，北京 100192

一、引言

隨著無人機(jī)地快速發(fā)展，無人機(jī)巡檢技術(shù)以其良好的特性成為各大公司的巡檢利器，并大大減少了維護(hù)成本。為了便于對(duì)巡檢位置上的故障分析診斷，無人機(jī)巡檢時(shí)要求拍攝高清晰度的照片，因此，巡檢時(shí)要求無人機(jī)要盡可能地靠近巡檢對(duì)象，但是距離越近，必然存在另一方面的安全隱患，若不對(duì)其速度和飛行姿態(tài)，飛行方向加以控制，就很有可能撞上巡檢對(duì)象，所以研究巡檢無人機(jī)的優(yōu)化飛行控制具有重要的工程應(yīng)用意義。

在巡檢無人機(jī)中，四旋翼飛行器具有結(jié)構(gòu)簡單、成本低、輕小易攜帶、能垂直起降、可實(shí)現(xiàn)六自由度等優(yōu)點(diǎn)，因而可以看作是一種良好的飛行控制算法驗(yàn)證平臺(tái)。它除了具備一般無人機(jī)隱蔽性好、生命力強(qiáng)、造價(jià)低廉、操控簡單、起降穩(wěn)定的優(yōu)點(diǎn)以外，其特殊的結(jié)構(gòu)使其還有以下優(yōu)點(diǎn)[1-5]。

1、飛行器體積小、方便攜帶，適合多平臺(tái)、多空間的應(yīng)用，可以在地面、軍艦上自由靈活地垂直降，無需發(fā)射架、彈射器等輔助裝置；

2、具備良好的機(jī)動(dòng)性，能快速、靈活地在三維空間進(jìn)行運(yùn)動(dòng)，可大大縮小旋回半徑，從而可以節(jié)省時(shí)間、提高效率；

3、結(jié)構(gòu)簡單、便于操控，可執(zhí)行諸如軍事偵察、目標(biāo)鎖定、航拍、森林救火、重點(diǎn)區(qū)域安防巡邏等各種特殊、危險(xiǎn)的任務(wù)。

本文以四旋翼飛行器作為研究對(duì)象，在原有的線性二次最優(yōu)控制算法的基礎(chǔ)上，采用LQR優(yōu)化控制算法，該算法保證了無人機(jī)在巡檢過程中其飛行控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，以及面對(duì)不同干擾信號(hào)良好的抗干擾性能。

二、四旋翼飛行器的數(shù)學(xué)模型

圖1所示為四旋翼飛行器結(jié)構(gòu)模型圖。從該結(jié)構(gòu)模型可以看出，四旋翼飛行器是通過分布于四周的電機(jī)（M1，M2，M3，M4）的轉(zhuǎn)速調(diào)整來實(shí)現(xiàn)俯仰、滾轉(zhuǎn)、偏航運(yùn)動(dòng)的，并且四個(gè)電機(jī)承擔(dān)著提供升力的任務(wù)。通過改變4個(gè)電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)速度，我們可以控制飛行器的垂直起降運(yùn)動(dòng)。其中，M1和M3將為飛行器的俯仰運(yùn)動(dòng)提供力矩；M2和M4為飛行器的滾轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)提供力矩；M1、M2、M3、M4共同作用將實(shí)現(xiàn)飛行器的偏航運(yùn)動(dòng)。

下面研究如何根據(jù)飛行器的動(dòng)力學(xué)特性建立其數(shù)學(xué)模型。

首先，建立空間坐標(biāo)系A(chǔ)(OXYZ)和機(jī)體坐標(biāo)系B(oxyz)如圖2所示。并做如下假設(shè)[1-5]：

1、四旋翼飛行器是完全均勻?qū)ΨQ的剛體結(jié)構(gòu)；

2、四旋翼飛行器的幾何中心和重心重合；

3、四旋翼飛行器飛行時(shí)其飛行姿態(tài)角變化很小；

4、直流電機(jī)的輸入電壓和輸出力矩之間呈線性關(guān)系。

在這些假設(shè)條件下，可以把四旋翼飛行器的動(dòng)力學(xué)模型等效成一個(gè)固定的飛行器在空中由電機(jī)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)而引起的空氣動(dòng)力學(xué)特性。

利用牛頓第二定律，該四旋翼飛行器的動(dòng)力學(xué)模型為[1]：

其中，L—表示四旋翼飛行器的質(zhì)心到空間坐標(biāo)系原地的距離；

m—表示四旋翼飛行器的總質(zhì)量；

Fu—4個(gè)電機(jī)的合力；

λ—表示四旋翼飛行器相對(duì)于機(jī)體坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)角速度，其具體表達(dá)式如下：

（C和S分別代表三角函數(shù)cos和sin）

在小角度情況下，λ可近似為即：

式中，θ—表示四旋翼飛行器的縱軸(oz)與水平面(OXY)的夾角，為俯仰角，若飛行器縱軸指向水平面上方，則θ為正，反之為負(fù)；

φ—表示B坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸與包含四旋翼飛行器縱軸(oz)的鉛垂直平面的夾角，為滾轉(zhuǎn)角，由飛行器尾部順縱軸前視，若(oz)縱軸位于鉛垂面右側(cè)（即飛行器向右傾斜），則φ為正，反之為負(fù)；

Ψ—為四旋翼飛行器縱軸在水平面內(nèi)投影與空間坐標(biāo)系(OX)軸之間的夾角，為偏航角，前視Ψ角平面，若由(OX)軸轉(zhuǎn)至投影線為逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則Ψ為正，反之為負(fù)。

I∈R3×3—表示為坐標(biāo)系B中機(jī)體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：

式中，Ixx，Iyy，Izz—分別為機(jī)體繞三坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；

R—表示一個(gè)3×3階的方向余弦矩陣[1-2]，表示從空間坐標(biāo)系到機(jī)體坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣[3-4]：

（C和S分別代表三角函數(shù)cos和sin）

對(duì)于給定的列向量λ=[λ1λ2λ3]T，定義S(λ)為：

綜上所述，空間坐標(biāo)系下的四旋翼飛行器的數(shù)學(xué)模型為：

（C和S分別代表三角函數(shù)cos和sin）

其中，l—機(jī)體幾何中心距電機(jī)安裝中心的距離；

Kp—升力系數(shù)，

ωi—旋轉(zhuǎn)角速度；

U1,U2,U3,U4——4個(gè)電機(jī)的角速度決定的系統(tǒng)的控制輸入量，具體如下：

式中，Kd—拖拉系數(shù)。

旋翼由無刷直流電機(jī)驅(qū)動(dòng)，直流電機(jī)電樞回路的電壓平衡方程和電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)的力矩平衡方程為[1]：

式中，u—電機(jī)輸入電壓；

i—電機(jī)輸入電流；

ke—反電勢系數(shù)；

km—電機(jī)轉(zhuǎn)矩系數(shù) ；

kr—負(fù)載轉(zhuǎn)矩常量；

R—電機(jī)本身阻抗；

Ir—電機(jī)的慣性常數(shù)。

由于四旋翼飛行器使用的小型直流電機(jī)具有很低的感應(yīng)系數(shù)，故感應(yīng)系數(shù)Li可以忽略不計(jì)，式（9）可以近似為：

三、四旋翼飛行器的LQR優(yōu)化控制

根據(jù)四旋翼飛行器的特點(diǎn)和動(dòng)力學(xué)特性，我們選擇LQR控制方法，LQR控制是在規(guī)定的限度下，使被控系統(tǒng)的性能指標(biāo)達(dá)到最佳狀態(tài)的控制；即在滿足一定的約束條件下，尋求最優(yōu)控制策略，使得系統(tǒng)性能指標(biāo)取得極大值或極小值。

定理1對(duì)于給定的受控系統(tǒng)[7]：

以及其性能指標(biāo)：

其中，Q、R—定常對(duì)稱正定矩陣。

設(shè)[A,B]可控，則存在唯一的最優(yōu)控制：

最優(yōu)性能指標(biāo)簡化為：

式中，x*(t0)=x0，它所對(duì)應(yīng)的最優(yōu)軌跡是式（15）的解x*(t)：

“城市復(fù)興”視角下的古城更新規(guī)劃探索——以許昌曹魏古城城市設(shè)計(jì)為例 滕 熙 張 萍2018/04 40

矩陣P為Riccati代數(shù)方程的唯一對(duì)稱正定解。

式中，A—系統(tǒng)的系數(shù)矩陣；

B—系統(tǒng)的輸入矩陣；

Q,R—給定的定常對(duì)稱正定矩陣；

K—最優(yōu)反饋增益矩陣。

定理2設(shè)[A,B]可控，[A,C]可觀，R〉0，Q=DT，D≥0，則受控系統(tǒng)式（11）在指標(biāo)式（12）下的最優(yōu)控制為：

它所對(duì)應(yīng)的最優(yōu)軌跡為式（18）的解x*(t)：

而常數(shù)向量為：

其中，yr—參考信號(hào)，即期望信號(hào)。

將所建立的數(shù)學(xué)模型式（7）表示為狀態(tài)空間表達(dá)式為：

（C和S分別代表三角函數(shù)cos和sin）

其中，θ、φ、Ψ—分別為俯仰角、滾轉(zhuǎn)角、偏航角；

Ixx，Iyy，Izz—分別為滾轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、俯仰轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、偏航轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；

kfc—電壓與升力比；

l1—前向升力距質(zhì)點(diǎn)的距離；

ω—左右臂與X軸的夾角；

U1,U2,U3,U4—分別為前向電機(jī)電壓、左向電機(jī)電壓、右向電機(jī)電壓、后向電機(jī)電壓。輸出為：

目標(biāo)函數(shù)可以寫為：

R，Q分別為系統(tǒng)輸入向量和狀態(tài)向量的定常正定對(duì)稱矩陣，根據(jù)實(shí)際需求要對(duì)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)最優(yōu)控制，需要在控制輸出間尋找一個(gè)最優(yōu)平衡狀態(tài)。經(jīng)過多次仿真測試與多次試驗(yàn)，取R=diag[1,1,1,1]，Q=diag[10,2.8,5.1,2,1,0.1]，此時(shí)能夠得到較優(yōu)的控制效果。若要使得上述性能指標(biāo)最小化，可由定理1中的Riccati方程求出矩陣P，并找出狀態(tài)反饋控制律：即當(dāng)四旋翼飛行器趨于穩(wěn)定時(shí)，可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)輸出跟蹤期望輸出[9]。

四、四旋翼飛行器LQR優(yōu)化控制仿真

1、LQR優(yōu)化控制器對(duì)未加干擾信號(hào)的跟蹤情況

根據(jù)所建立的四旋翼飛行器的模型，仿真結(jié)果如圖3～圖5所示。假設(shè)此時(shí)的俯仰角、滾轉(zhuǎn)角、偏航角的期望輸出為0°。

由圖3、圖4、圖5可以看出，在初始運(yùn)行階段，系統(tǒng)在初始狀態(tài)隨著LQR控制器的控制參數(shù)K的調(diào)節(jié)作用，經(jīng)過很短時(shí)間的動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)過程后，其俯仰角、滾轉(zhuǎn)角、偏航角即可準(zhǔn)確地跟蹤系統(tǒng)的期望輸出。

2、LQR優(yōu)化控制器對(duì)加入階躍信號(hào)作為干擾信號(hào)的跟蹤情況

為考察所設(shè)計(jì)的控制器對(duì)階躍信號(hào)的抗干擾性能，我們進(jìn)行假設(shè)，假設(shè)俯仰角、滾轉(zhuǎn)角、偏航角的期望值為-0.5°，在所設(shè)計(jì)的LQR控制器中加入幅值為0.1的階躍信號(hào)作為干擾，我們可以得到仿真圖如圖6～圖8所示。

從圖6、圖7、圖8可以很明顯地看出，在初始運(yùn)行狀態(tài)，我們?cè)谙到y(tǒng)中加入階躍信號(hào)作為干擾信號(hào)時(shí)，系統(tǒng)會(huì)隨著所設(shè)計(jì)的LQR控制器在反饋矩陣K的調(diào)節(jié)作用下，經(jīng)過較短的動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)過程后，該系統(tǒng)最終達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，即俯仰角、滾轉(zhuǎn)角、偏航角可以準(zhǔn)確地達(dá)到系統(tǒng)所期望的值，并且曲線幾乎沒有波動(dòng)，從而說明了所設(shè)計(jì)的LQR優(yōu)化控制器具備一定的階躍信號(hào)抗干擾能力。

3、LQR優(yōu)化控制器對(duì)加入白噪聲作為干擾信號(hào)的跟蹤情況

為考察所設(shè)計(jì)的控制器的對(duì)白噪聲信號(hào)的抗干擾性能，我們進(jìn)行假設(shè)，假設(shè)俯仰角、滾轉(zhuǎn)角、偏航角的期望值為-0.5°，在所設(shè)計(jì)的LQR控制器中加入幅值為0.1的白噪聲信號(hào)作為干擾，我們可以得到仿真圖圖9～圖11。

從圖9、圖10、圖11可以很明顯地看出，在初始運(yùn)行狀態(tài)，我們?cè)谙到y(tǒng)中加入幅值為0.1的白噪聲作為干擾信號(hào)時(shí)，系統(tǒng)會(huì)隨著所設(shè)計(jì)的LQR控制器在反饋矩陣K的調(diào)節(jié)作用下，經(jīng)過動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)過程后，該系統(tǒng)最終達(dá)到相對(duì)穩(wěn)定狀態(tài)，即俯仰角、滾轉(zhuǎn)角、偏航角可以達(dá)到系統(tǒng)所期望的值，但是曲線波動(dòng)較大，說明了所設(shè)計(jì)的LQR優(yōu)化控制器在一定條件下相對(duì)具備對(duì)白噪聲抗干擾能力。

4、LQR優(yōu)化控制器對(duì)加入三角函數(shù)作為干擾信號(hào)的跟蹤情況

為考察所設(shè)計(jì)的控制器的對(duì)三角函數(shù)信號(hào)的抗干擾性能，我們進(jìn)行假設(shè)，假設(shè)俯仰角、滾轉(zhuǎn)角、偏航角的期望值為-0.5°，在所設(shè)計(jì)的LQR控制器中加入幅值為0.1的三角函數(shù)信號(hào)作為干擾，我們可以得到仿真圖如圖12～圖14所示。

從圖12、圖13、圖14可以很明顯地看出，在初始運(yùn)行狀態(tài)，我們?cè)谙到y(tǒng)中加入幅值為0.1的三角函數(shù)作為干擾信號(hào)時(shí)，系統(tǒng)會(huì)隨著所設(shè)計(jì)的LQR控制器在反饋矩陣K的調(diào)節(jié)作用下，經(jīng)過短暫的動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)過程后，該系統(tǒng)最終達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，即俯仰角、滾轉(zhuǎn)角、偏航角可以很準(zhǔn)確地達(dá)到系統(tǒng)所期望的值，并且曲線幾乎沒有波動(dòng)，說明了所設(shè)計(jì)的LQR優(yōu)化控制器對(duì)三角函數(shù)具備良好的抗干擾能力。

5、LQR優(yōu)化控制器對(duì)加入脈沖函數(shù)作為干擾信號(hào)的跟蹤情況

為考察所設(shè)計(jì)的控制器的對(duì)脈沖函數(shù)信號(hào)的抗干擾性能，我們進(jìn)行假設(shè)，假設(shè)俯仰角、滾轉(zhuǎn)角、偏航角的期望值為-0.5°，在所設(shè)計(jì)的LQR控制器中加入幅值為0.1的脈沖信號(hào)作為干擾，我們可以得到仿真圖如圖15～17所示。

從圖15、圖16、圖17可以很明顯地看出，在初始運(yùn)行狀態(tài)，我們?cè)谙到y(tǒng)中第10s時(shí)加入幅值為0.1的脈沖函數(shù)作為干擾信號(hào)時(shí)，系統(tǒng)會(huì)隨著所設(shè)計(jì)的LQR控制器在反饋矩陣K的調(diào)節(jié)作用下，經(jīng)過短暫的動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)過程后，該系統(tǒng)最終達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，即俯仰角、滾轉(zhuǎn)角、偏航角可以很準(zhǔn)確地達(dá)到系統(tǒng)所期望的值，并且曲線幾乎沒有波動(dòng)，說明了所設(shè)計(jì)的LQR優(yōu)化控制器對(duì)脈沖函數(shù)具備良好的抗干擾能力。

五、結(jié)束語

本文以四旋翼飛行器為研究對(duì)象，建立了四旋翼飛行器的數(shù)學(xué)模型，以LQR控制理論為基礎(chǔ)，設(shè)計(jì)了四旋翼飛行器的最優(yōu)控制算法，進(jìn)行了仿真，并對(duì)多個(gè)干擾信號(hào)進(jìn)行抗干擾性能考察，從仿真結(jié)果看，系統(tǒng)總體呈現(xiàn)穩(wěn)定狀態(tài)，運(yùn)動(dòng)過程中，四旋翼飛行器的俯仰角、滾轉(zhuǎn)角、偏航角都能較快速地趨于穩(wěn)定，取得了良好的控制效果及控制精度，并且對(duì)階躍信號(hào)、白噪聲、三角函數(shù)干擾、脈沖信號(hào)具備一定的抗干擾性能。仿真結(jié)果驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)的LQR優(yōu)化控制器的有效性、可靠性、準(zhǔn)確性。