王欽敏 余明芳

（福建教育學(xué)院數(shù)學(xué)研修部，福建 福州 350025）

明確高考數(shù)學(xué)試題特點(diǎn) 增強(qiáng)復(fù)習(xí)教學(xué)目標(biāo)意識(shí)
——近五年高考理科數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅰ卷試題分析與復(fù)習(xí)教學(xué)建議

王欽敏 余明芳

（福建教育學(xué)院數(shù)學(xué)研修部，福建 福州 350025）

對(duì)近五年高考理科數(shù)學(xué)全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ卷試題的內(nèi)容進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，指出高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)教學(xué)中教師應(yīng)著重增強(qiáng)的三個(gè)目標(biāo)意識(shí)：立足基礎(chǔ)突出主干，構(gòu)建完整知識(shí)體系；運(yùn)算推理兩翼并重，增強(qiáng)求變轉(zhuǎn)化意識(shí)；通法為主特技為輔，力促解證周密有序。

高考數(shù)學(xué)；試題統(tǒng)計(jì)分析；復(fù)習(xí)教學(xué)；目標(biāo)意識(shí)

近五年高考數(shù)學(xué)全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ卷在命題理念與試題特點(diǎn)方面，具有很強(qiáng)的穩(wěn)定性和連貫性，對(duì)其的理科試題內(nèi)容進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，有助于廣大教師進(jìn)一步明確高考理科數(shù)學(xué)全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ卷試題特點(diǎn)，增強(qiáng)高三理科數(shù)學(xué)教學(xué)工作的針對(duì)性。

一、關(guān)于近五年高考理科數(shù)學(xué)全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ卷試題內(nèi)容與特點(diǎn)的統(tǒng)計(jì)分析

整體上看，近五年高考理科數(shù)學(xué)全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ卷均遵循了《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)（2003實(shí)驗(yàn)）》的要求，以歷年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試大綱及其說(shuō)明為依據(jù)，對(duì)考生的數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)思維能力進(jìn)行了綜合考查。逐類分析，可以發(fā)現(xiàn)試卷在所考查的知識(shí)內(nèi)容的特點(diǎn)與題量分布等方面具有以下一些統(tǒng)計(jì)特征：

試卷的前9道選擇題與第1道填空題，所涉及的概念與知識(shí)較少，但解題時(shí)都需要進(jìn)行運(yùn)算與推理，過(guò)程并不簡(jiǎn)單，因而，試卷在考查數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)時(shí)仍然十分關(guān)注數(shù)學(xué)思維能力的考查。統(tǒng)計(jì)可知，近五年試卷在這10道試題中高頻考查的知識(shí)點(diǎn)有：集合、復(fù)數(shù)、概率、程序框圖、雙曲線、函數(shù)、三視圖、向量等，具體內(nèi)容按年記錄如下：

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試卷的后3道選擇題與后3道填空題，所涉及的概念與知識(shí)較多，解題時(shí)大都需要進(jìn)行較復(fù)雜的運(yùn)算與推理。統(tǒng)計(jì)可知，試卷在這6道試題中高頻考查的知識(shí)點(diǎn)有：圓錐曲線、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、幾何計(jì)算等，具體內(nèi)容按年記錄如下：

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整體地看，試卷在選擇題與填空題高頻考查的知識(shí)點(diǎn)有：集合、復(fù)數(shù)、概率、程序框圖、三視圖、線性規(guī)劃、二項(xiàng)式、函數(shù)、三角函數(shù)、幾何計(jì)算、向量、圓錐曲線、導(dǎo)數(shù)等，具有很強(qiáng)的穩(wěn)定性和連貫性，使高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)內(nèi)容有具體明確的范圍。

近五年試卷在解答題部分，3次考查了正余弦定理的應(yīng)用問題，2次考查了數(shù)列的計(jì)算問題，各年均考查了立體幾何、概率與統(tǒng)計(jì)、解析幾何、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等問題。

解答有關(guān)正余弦定理應(yīng)用問題，需要考生能靈活運(yùn)用正、余弦定理進(jìn)行邊角互換，能通過(guò)對(duì)已知數(shù)式變形化簡(jiǎn)求得三角形周長(zhǎng)等數(shù)值；解答數(shù)列計(jì)算問題，需要考生具有較強(qiáng)的求變意識(shí)與化歸能力，能熟練處理數(shù)列通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系式，掌握數(shù)列求和的常用方法，熟悉有關(guān)存在性問題的探究與證明思路。

5道立體幾何解答題中，所給幾何體的圖形底面均為菱形、矩形或正方形（如圖），試題第1問在近三年試卷中都是關(guān)于面面垂直的證明問題，第2問都是求線線、線面或面面所成角正、余弦值的計(jì)算問題。

5道概率與統(tǒng)計(jì)解答題的，閱讀量都很大，并有增多趨勢(shì)，其中，2017年的試題文字?jǐn)?shù)量超過(guò)500個(gè)。各年試題的主要知識(shí)背景先后為：抽樣；頻率分布直方圖；散點(diǎn)圖；柱狀圖；正態(tài)分布，所要解答的問題涉及面廣，需要考生能耐心閱讀細(xì)致分辨，具備較強(qiáng)的數(shù)據(jù)處理和運(yùn)算能力。各年試題涉及的知識(shí)內(nèi)容記錄如下：

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5道解析幾何試題的解答難度相對(duì)以往福建自主命制的而言都有所降低，其中1道與拋物線有關(guān)，另4道均與橢圓有關(guān)且其中有2道出現(xiàn)圓的內(nèi)容，有出現(xiàn)圓的內(nèi)容，問題的圖形都比較復(fù)雜，需要予以充分重視。

有關(guān)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的5道解答題，題干都比較簡(jiǎn)單，題設(shè)給出的函數(shù)解析式中頻繁出現(xiàn)ex與lnx，出現(xiàn)ex的有4道，出現(xiàn)lnx的有2道，函數(shù)圖象多為單峰；需要解答的問題涉及不等式證明、求取值范圍與求最值等，有3道需要解答與零點(diǎn)有關(guān)的問題。

選答題中的“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”問題，題設(shè)中出現(xiàn)參數(shù)方程的有4道，出現(xiàn)極坐標(biāo)的有3道，第1問均有坐標(biāo)或方程的互化問題，第2問中出現(xiàn)求最值問題的有2道。

選答題中的“不等式選講”問題，有4道題在題設(shè)中出現(xiàn)含2個(gè)絕對(duì)值的函數(shù)，有7個(gè)問題與求解集或求取值范圍有關(guān)。

二、高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)教學(xué)工作中應(yīng)增強(qiáng)的三個(gè)目標(biāo)意識(shí)

相對(duì)各省自主命題的試卷而言，近五年高考理科數(shù)學(xué)全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ卷對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的考查更加全面系統(tǒng)，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力的考查更為自然地滲透在各個(gè)問題的解答過(guò)程中，試卷在考查應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)能力的同時(shí)，更深入地考查了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法理解和掌握的程度，以更多的方式考查了學(xué)生在分析與解決問題時(shí)的求變意識(shí)與化歸能力。因此，在高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)教學(xué)工作中，教師應(yīng)著重增強(qiáng)以下三個(gè)復(fù)習(xí)教學(xué)目標(biāo)意識(shí)：

1.立足基礎(chǔ)突出主干，構(gòu)建完整知識(shí)體系

從題量、分值與內(nèi)容上看，近五年高考理科數(shù)學(xué)全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ卷對(duì)解析幾何、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、向量與幾何、概率與統(tǒng)計(jì)等模塊的考查是全面與深入的。例如，解析幾何中的直線、圓、拋物線、橢圓和雙曲線等問題都是高頻考點(diǎn)，且多為壓軸問題；導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用問題多為選擇與解答題的壓軸題，與函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的問題是高頻考點(diǎn)，對(duì)三角與數(shù)列問題的考查則有相互彌補(bǔ)調(diào)和的特點(diǎn)：若試卷第1道解答題考查的是正余弦定理的應(yīng)用，選填題部分就會(huì)出現(xiàn)1道有關(guān)三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的問題，還有2道以上的數(shù)列問題；若第1道解答題考查的是數(shù)列問題，選填題就會(huì)出現(xiàn)3道有關(guān)三角函數(shù)的問題。對(duì)概率與統(tǒng)計(jì)模塊的考查，都是選擇題與解答題各1道，選擇題多為概率計(jì)算，解答題則可能涉及到模塊內(nèi)的所有知識(shí)，屬于中難題。

試題全面體現(xiàn)以能力立意的命題導(dǎo)向，需要考生具備更為扎實(shí)的知識(shí)基礎(chǔ)；試題對(duì)主干章節(jié)全覆蓋式的考查在題量與難易方面有明顯傾斜，需要考生對(duì)其章節(jié)內(nèi)容有較深刻的系統(tǒng)認(rèn)識(shí)，因而，“立足基礎(chǔ)突出主干，構(gòu)建完整知識(shí)體系”是教師在高三復(fù)習(xí)教學(xué)中首要增強(qiáng)的一個(gè)目標(biāo)意識(shí)。復(fù)習(xí)教學(xué)不僅要引導(dǎo)學(xué)生全面掌握各章節(jié)知識(shí)內(nèi)容與基本方法，還要多渠道引導(dǎo)學(xué)生深刻理解核心概念，更廣泛地認(rèn)識(shí)知識(shí)間的縱橫聯(lián)系，構(gòu)建更完整的知識(shí)體系，進(jìn)一步領(lǐng)悟章節(jié)知識(shí)所蘊(yùn)含的主要思想，促使知識(shí)融會(huì)貫通，知識(shí)結(jié)構(gòu)得到更新優(yōu)化。幫助學(xué)生構(gòu)建完整的知識(shí)體系，可以提高學(xué)生解題時(shí)的化歸能力，讓學(xué)生能迅速地找到與問題有關(guān)的可能用得上的公式與定理，更易于通過(guò)類比與聯(lián)想，將問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)已解決的問題、一個(gè)更簡(jiǎn)單的問題、一個(gè)更普遍或更特殊的問題。

（二）運(yùn)算推理兩翼并重，增強(qiáng)求變轉(zhuǎn)化意識(shí)

運(yùn)算與推理是解答高考每一道試題都需要的數(shù)學(xué)能力，也是導(dǎo)致考生出現(xiàn)解題障礙與題解錯(cuò)誤的兩個(gè)主要因素，因而也是復(fù)習(xí)教學(xué)中必須關(guān)注與提升的主要思維能力。提升學(xué)生運(yùn)算與推理的能力，需要讓學(xué)生在運(yùn)算與推理中養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣與品質(zhì)，還需要增強(qiáng)學(xué)生在運(yùn)算和推理時(shí)運(yùn)用相關(guān)數(shù)學(xué)公式定理與思想方法的意識(shí)。例如，在一元二次函數(shù)、方程與不等式問題的運(yùn)算與推理過(guò)程中，應(yīng)有運(yùn)用配方法、判別式法和韋達(dá)定理的意識(shí)；在數(shù)列問題的運(yùn)算與推理過(guò)程中，應(yīng)有運(yùn)用基本量法、累加法、倒寫法、錯(cuò)項(xiàng)和裂項(xiàng)相消法的意識(shí)；在三角形問題的運(yùn)算與推理中，應(yīng)有運(yùn)用化異為同思想、正弦定理、余弦定理、面積公式等的意識(shí)，等等。運(yùn)算與推理在解題思維中有相互依存與相互推進(jìn)的關(guān)系，在復(fù)習(xí)教學(xué)中須兩翼并重，不可偏廢。

高考試題在考查運(yùn)算與推理能力的同時(shí)，也在考查考生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)與思想方法的水平，進(jìn)而考查考生的求變意識(shí)與化歸能力。命題變更是解決數(shù)學(xué)問題的基本思路，解題中需要進(jìn)行的因果、數(shù)形、整零、和積與動(dòng)靜等轉(zhuǎn)換，需要考生具備較強(qiáng)的求變意識(shí)，配方法、消元法、待定系數(shù)法、換元法、反證法、面積法、構(gòu)造法、降次法、參數(shù)法、割補(bǔ)法、拼湊法等常用數(shù)學(xué)方法，以及模型化、簡(jiǎn)單化、坐標(biāo)化等重要數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用，都存在轉(zhuǎn)化與化歸的流程，需要考生具備一定的化歸能力。因而，致力強(qiáng)化學(xué)生解題時(shí)的求變意識(shí)與化歸能力，是教師在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)要增強(qiáng)的一個(gè)重要目標(biāo)意識(shí)。例如，在圓錐曲線部分的復(fù)習(xí)教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生理解和掌握坐標(biāo)化、簡(jiǎn)單化等思想方法；在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)部分復(fù)習(xí)教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生了解和體會(huì)化動(dòng)為靜、化曲為直、化無(wú)限為有限等思想意識(shí)；在坐標(biāo)系與參數(shù)方程部分的復(fù)習(xí)教學(xué)中，要從化歸與轉(zhuǎn)化思想的角度引導(dǎo)學(xué)生理解章節(jié)知識(shí)內(nèi)容，等等。

（三）通法為主特技為輔，力促解證周密有序

相對(duì)而言，高考理科數(shù)學(xué)全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ卷壓軸題的解題技巧均有所減少，但在更多試題中考查了數(shù)學(xué)解題時(shí)中的求變意識(shí)與化歸能力，更加注重考查具有普適性的數(shù)學(xué)思想方法。因而，高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)應(yīng)增進(jìn)學(xué)生關(guān)于數(shù)學(xué)基本思想方法的理解，提高學(xué)生在解題中運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法的能力，讓學(xué)生在解題中能有意識(shí)地結(jié)合常用的數(shù)學(xué)思想方法對(duì)問題進(jìn)行思考與分析。研究提高備考復(fù)習(xí)教學(xué)效益與學(xué)生考場(chǎng)答題水平的主要策略，是師生在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中要增強(qiáng)的另一重要目標(biāo)意識(shí)。通法為主特技為輔，在備考解題教學(xué)中更多地選取與常用數(shù)學(xué)思想方法相關(guān)的中難度習(xí)題，在講解時(shí)更多地揭示數(shù)學(xué)思想方法在問題解決過(guò)程中的引領(lǐng)與導(dǎo)向作用，逐步養(yǎng)成學(xué)生在思考分析問題時(shí)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法的意識(shí)、習(xí)慣與能力，是提高備考復(fù)習(xí)教學(xué)效益與學(xué)生考場(chǎng)答題水平的主要策略之一。

在高考中，大部分學(xué)生在中難題的解答中頻繁出現(xiàn)“會(huì)而不對(duì)”的現(xiàn)象，是備考復(fù)習(xí)教學(xué)和學(xué)生在考場(chǎng)上最需要關(guān)注的問題。周而不疏、密而不漏，是體現(xiàn)在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中的大智慧，輕慢、懈怠與疏忽是解題時(shí)最需要克服的心理弱點(diǎn)，周密有序地進(jìn)行運(yùn)算與推理是最重要的考場(chǎng)答題策略，因而，力促解證周密有序，是教師備考復(fù)習(xí)教學(xué)中不可或忘的重要工作。力促解證周密有序，就是要養(yǎng)成學(xué)生縝密思維的習(xí)慣，使之在解題時(shí)能較快分辨未知數(shù)、已知數(shù)據(jù)、條件各是什么，能通過(guò)畫圖或引入適當(dāng)?shù)姆?hào)審清題意，能在解題中整體關(guān)注包含在問題中的所有概念，融合使用所有的已知數(shù)據(jù)與條件，懂得在易發(fā)生錯(cuò)誤的地方放慢運(yùn)算速度，力求推理步步有據(jù)，并在完成解答后懂得檢驗(yàn)一些可疑的運(yùn)算與推理步驟。

三、結(jié)語(yǔ)

在近五年高考理科數(shù)學(xué)全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ卷中，很難發(fā)現(xiàn)有脫離中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)體系的試題，沒有出現(xiàn)與遞推公式、函數(shù)的凹凸性、二階導(dǎo)數(shù)等內(nèi)容有關(guān)的超綱試題，試卷更加注重考查高中數(shù)學(xué)的主干知識(shí)內(nèi)容與基本思想方法，規(guī)避了許多沒有數(shù)學(xué)意義的偽問題，以及許多特殊的、無(wú)實(shí)際背景的、人為編造的問題，壓軸試題中也很少出現(xiàn)純粹形式演算與技巧演繹的問題。

無(wú)論是命題理念還是試題特點(diǎn)方面，近五年高考理科數(shù)學(xué)全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ卷與各省自主命題的試卷都有很大差異，因而，教師在復(fù)習(xí)教學(xué)中應(yīng)格外明確其試題特點(diǎn)，增強(qiáng)復(fù)習(xí)教學(xué)目標(biāo)意識(shí)，加強(qiáng)高中數(shù)學(xué)主干知識(shí)與基本思想方法的教學(xué)，進(jìn)一步研究提高備考復(fù)習(xí)教學(xué)效益與學(xué)生考場(chǎng)答題水平的主要策略。在解題教學(xué)中，不能一味地讓學(xué)生沒有目標(biāo)地大量做題，而應(yīng)選用有數(shù)學(xué)意義的好問題，大膽刪去練習(xí)和教輔材料中偏離章節(jié)知識(shí)系統(tǒng)思想指向的無(wú)意義問題，刪去那些無(wú)助于促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)理解無(wú)助于學(xué)生掌握數(shù)學(xué)基本思想方法的問題，刪去超綱的怪題和純粹玩花樣與技巧的難題。

［1］張飴慈,王尚志,薛文敘.體現(xiàn)課標(biāo)理念突出導(dǎo)向作用［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2012（2）.

［2］張飴慈.解數(shù)學(xué)題不應(yīng)是公式、規(guī)則的演繹游戲［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2010（6）.

［3］楊恩彬.穩(wěn)中求變，凸顯素養(yǎng)，貼近實(shí)際，彰顯品質(zhì)［J］.福建教育:中學(xué)版，2016（8）.

（責(zé)任編輯：萬(wàn)丙晟）