梁興為

（福清元洪高級(jí)中學(xué)，福建 福清 350300）

數(shù)學(xué)最值與優(yōu)化問題教學(xué)例談

梁興為

（福清元洪高級(jí)中學(xué)，福建 福清 350300）

對近三年高考理科數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷中與規(guī)劃有關(guān)的最值與優(yōu)化問題、與三角有關(guān)的最值優(yōu)化問題、與函數(shù)導(dǎo)數(shù)有關(guān)的最值和優(yōu)化問題等問題進(jìn)行分析，以便考生在最值與優(yōu)化問題知識(shí)模塊中找到解決辦法，并提出相應(yīng)的教學(xué)策略。

全國數(shù)學(xué)理科Ⅰ卷；最值與優(yōu)化問題；教學(xué)策略

高考數(shù)學(xué)對最值與優(yōu)化問題的考查歷久不衰，一直是熱點(diǎn)題型之一。從題型上看，選擇題、填空題、解答題中都常涉及，尤其是選擇和填空的把關(guān)題，更是經(jīng)常出現(xiàn)；從知識(shí)模塊上看，線性規(guī)劃、函數(shù)導(dǎo)數(shù)、不等式、三角函數(shù)、數(shù)列、極坐標(biāo)與參數(shù)方程、解析幾何、立體幾何，甚至統(tǒng)計(jì)概率中都有涉及。最值優(yōu)化問題綜合性強(qiáng)，能很好地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。下面結(jié)合近三年高考理科數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷的試題，以例題的形式，談?wù)勛钪蹬c優(yōu)化問題的解決方法和教學(xué)策略。

一、與規(guī)劃有關(guān)的最值與優(yōu)化問題

例1（2016全國Ⅰ卷第16題）某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料。生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg,用5個(gè)工時(shí)；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg，用3個(gè)工時(shí)。生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元．該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg,乙材料90kg，則在不超過600個(gè)工時(shí)的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為_________元。

分析：本題應(yīng)用背景，考線性規(guī)劃的最值與優(yōu)化；需較強(qiáng)的分析化歸建模和運(yùn)算求解能力。

解析：設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品A、B分別為x、y件,利潤之和為Z元,則

目標(biāo)函數(shù)Z＝2100x+900y；

約束條件可化為：

作可行域如圖1：

圖1

聯(lián)立解方程組得M的坐標(biāo)（60,100），將其代入目標(biāo)函數(shù)的最大值216000元。

分析：本題直接考線性規(guī)劃的最值與優(yōu)化。

解析：作可行域如圖2所示：

圖2

此時(shí) z=3×(-1)-2×1=-5。

教學(xué)策略：在與規(guī)劃有關(guān)的最值與優(yōu)化問題教學(xué)中，須結(jié)合實(shí)際問題，理清線性規(guī)劃的有關(guān)知識(shí)，把握解題的一般步驟：審清題意，畫出可行域，求與最值有關(guān)的交點(diǎn)坐標(biāo)，將坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)中求出最值。在教授或復(fù)習(xí)時(shí)，應(yīng)加強(qiáng)以下三方面訓(xùn)練，避免出現(xiàn)軟肋：分析轉(zhuǎn)化問題列出目標(biāo)函數(shù)和約束條件；截距型、斜率型和距離型三類最值；截距型規(guī)劃中含參問題。

二、與三角有關(guān)的的最值與優(yōu)化問題

（1）若a=-1，求C與L的交點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）若C上的點(diǎn)到L的距離的最大值為 17，求a。

分析：本題為選考中極坐標(biāo)與參數(shù)方程內(nèi)容，第二問考最值與優(yōu)化；需較強(qiáng)的分析化歸能力。

（2）直線L的普通方程為x+4y-a-4=0,故C上的點(diǎn) (3cosθ,sinθ)到L的距離為

解得a＝-16或a＝8.

例4（2015全國Ⅰ卷第16題）在平面四邊形ABCD中 ，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，則 AB 的 取 值 范 圍是____。

分析：本題為解三角形和平面幾何的內(nèi)容，求取值范圍實(shí)質(zhì)上也是一種最值與優(yōu)化問題，需要考生具備較強(qiáng)的化歸意識(shí)和運(yùn)算能力。

解析：如圖3所示

延長BA，CD交于E，平移AD，當(dāng)A與D重合與E點(diǎn)時(shí)，AB 最長，在△BCE 中，∠B＝∠C＝75°，∠E＝30°，

平移AD，當(dāng)D與C重合時(shí)，AB最短，此時(shí)與AB交于F，在△BCF中，∠B＝∠BFC＝75°，∠FCB＝30°，由正

所以AB的取值范圍為（ 6-2，6+2）。

例5（2017全國Ⅰ卷第10題）已知F為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D、E兩點(diǎn)，則|AB|+|DE|的最小值為( )。

A．16 B．14 C．12 D．10

分析：本題為解析幾何的內(nèi)容，考距離和最小；需很強(qiáng)的分析化歸能力.

教學(xué)策略：在與三角有關(guān)的最值與優(yōu)化問題教學(xué)中，須結(jié)合具體問題和相應(yīng)模塊知識(shí)，善于將問題化歸轉(zhuǎn)換成三角問題，再利用三角函數(shù)求最值。把握三角函數(shù)最值的一般步驟：利用正余弦定理和三角變換公式，化多個(gè)三角函數(shù)為同一個(gè)三角函數(shù)，再利用圖像和性質(zhì)求最值，注意角范圍的討論。在教授或復(fù)習(xí)時(shí)，應(yīng)加強(qiáng)以下兩方面訓(xùn)練：各個(gè)知識(shí)模塊向三角函數(shù)問題轉(zhuǎn)化和化歸；用三角變換化多個(gè)三角函數(shù)為同一個(gè)三角函數(shù)。

三、與函數(shù)導(dǎo)數(shù)有關(guān)的最值與優(yōu)化問題

例6（2016全國Ⅰ卷第15題）設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1+a3=10，a2+a4=5，則a1a2…an的最大值為_____。

分析：本題為數(shù)列的內(nèi)容，既考等比數(shù)列的基本量和性質(zhì)，又考指數(shù)對數(shù)的運(yùn)算，還考最值優(yōu)化；需較強(qiáng)的分析運(yùn)算能力。

當(dāng)n=3或4時(shí)，a1a2...an取得最大值26=64.

例7．（2017全國Ⅰ卷第16題）如圖4，圓形紙片的圓心為O，半徑為5cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為 O。D、E、F為圓 O 上的點(diǎn)，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形。沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱錐。當(dāng)△ABC的邊長變化時(shí)，所得三棱錐體積（單位：cm3）的最大值為 。

圖4

分析：本題屬翻折問題，需要幾何計(jì)算和求函數(shù)最值，考生要具備較強(qiáng)的化歸建模和運(yùn)算求解能力。

例8（2015全國Ⅰ卷第19題）某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x（單位：千元）對年銷售量y（單位：t）和年利潤z（單位：千元）的影響，對近8年的年宣傳費(fèi)x1和年銷售量y1（i=1,2，···，8）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖6及一些統(tǒng)計(jì)量的值。

圖6

（Ⅰ）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y=a+bx與y=c+d x哪一個(gè)適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）

（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；

（Ⅲ）已知這種產(chǎn)品年利率z與x、y的關(guān)系為z=0.2y-x.根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)果回答下列問題：

（1）年宣傳費(fèi)x=49時(shí)，年銷售量及年利潤的預(yù)報(bào)值是多少？

（2）年宣傳費(fèi)x為何值時(shí)，年利率預(yù)報(bào)值最大？

分析：本題為統(tǒng)計(jì)概率的內(nèi)容，期中第三問后半部分考到函數(shù)最值。

解析：（Ⅰ）略，答案為y＝c+d x；

（Ⅱ）略，答案為：y^=100.6+68 x；

（Ⅲ）（1）年銷售量576.6t，年利潤預(yù)報(bào)值約是66.32千元；

（2）由（ Ⅱ ）知 ，年 利 潤 Z的 預(yù) 報(bào) 值Z^=0.2(100.6+68 x)-x=-x+13.6 x+20.12，

即x＝46.24千元時(shí)，年利率的預(yù)報(bào)值最大。

教學(xué)策略：在與函數(shù)導(dǎo)數(shù)有關(guān)的最值與優(yōu)化問題教學(xué)中，須把握好解題一般步驟：結(jié)合具體問題和相應(yīng)模塊知識(shí)理解題意，將問題化歸轉(zhuǎn)化后建立函數(shù)模型，利用二次函數(shù)或三次函數(shù)或分段函數(shù)或復(fù)雜函數(shù)知識(shí)以及導(dǎo)數(shù)工具求解函數(shù)模型，最后回答及實(shí)際問題。在教授或復(fù)習(xí)時(shí)，應(yīng)加強(qiáng)以下兩方面訓(xùn)練：強(qiáng)化各個(gè)知識(shí)板塊和問題的轉(zhuǎn)換和化歸，建立函數(shù)模型；強(qiáng)化各類型函數(shù)的最值計(jì)算。

總之，最值與優(yōu)化問題在生活生產(chǎn)中有著廣泛的應(yīng)用基礎(chǔ)，在高考試卷中的各類題型和各個(gè)知識(shí)模塊中都常涉及。最值與優(yōu)化問題能很好地考察學(xué)生的數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)，是今后各類數(shù)學(xué)考試中熱點(diǎn)題型之一。

［1］李國艷，吳定業(yè).立足學(xué)生選擇視角優(yōu)化解法提升能力［J］.福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2017（6)）.

［2］顧忠華. 例談高中數(shù)學(xué)中的最值問題［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2017（3）.

［3］龔海濱，王茜.二次函數(shù)逆向最值問題的優(yōu)化策略［J］.高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2014（17）.

（責(zé)任編輯：王欽敏）