呂梁信步

1 為什么Abaqus涉及解的收斂性？

在有限元計算中，經(jīng)常會遇到解的收斂性問題，而且其原因一般都五花八門，處理起來非常棘手，要解決這個問題，首先需要知道，什么是解的收斂性。

在有限元法中，場函數(shù)的總體泛函是由單元泛函集成的。如果采用完全多項式作為單元的插值函數(shù)（即試探函數(shù)），那么有限元解在有限尺寸的單元內(nèi)可以精確地與真正解一致。但是，有限元的試探函數(shù)實際上只能取有限項多項式，因此有限元解只能是真正解的近似解答。

每一個單元的泛函都有可能趨于其精確值。如果試探函數(shù)還滿足連續(xù)性要求，那么整個系統(tǒng)的泛函將趨近于其精確值，即有限元的解趨近于精確解，也就是說該解是收斂的。

對于解的收斂性最書面的理解是：當(dāng)選取的單元既完備又協(xié)調(diào)時，有限元解是收斂的，即當(dāng)單元尺寸趨于0時，有限元解趨于真正解。這就是有限元的收斂性。

需要說明的是：由于數(shù)學(xué)微分方程的精確解往往不一定能夠得到，甚至問題的數(shù)學(xué)微分方程并未建立（例如對于復(fù)雜形式的結(jié)構(gòu)），同時有限元解中通常包含多種誤差（例如計算機的截斷誤差和舍入誤差等），因此有限元解收斂于精確解在更嚴(yán)格意義上說是問題的有限元解的離散誤差趨于0。

2 針對解的收斂性，如何選擇直接法和迭代法？

針對Abaqus軟件用戶在使用軟件時提出，在靜態(tài)隱式分析步中方程求解的默認(rèn)值為“Direct”，而不是本應(yīng)該的“Iterative”的問題，此處進行詳細(xì)的說明。

（1）直接法。直接法全稱為直接式線性方程求解法，該方法可以用于線性和非線性的分析。在Abaqus/Standard模塊下，完成非線性分析時常使用牛頓方法或者其他的方法，比如弧長法，在求解的每次迭代過程中都必須求解一系列線性方程組，而直接線性求解器就是用來尋找這些線性方程組的精確解的。Abaqus/Standard模塊下的直接線性方程求解器使用稀疏、直接、高斯消元法，并且往往占用分析所耗總時間的大部分（尤其是大型模型的計算），計算過程中方程的存儲占據(jù)磁盤空間的最大部分。

（2）迭代法。迭代法全稱為迭代式線性方程求解法。在Abaqus/Standard模塊下，該方法可以用于尋找線性、非線性、準(zhǔn)靜態(tài)、地應(yīng)力、孔隙流動擴散以及熱傳導(dǎo)等分析步的線性方程組。由于采用迭代技術(shù)，不能保證給定的線性方程組有收斂解，當(dāng)?shù)蠼馄鞑皇諗繒r，模型的改進有助于提高收斂性。在某些情況下，使用直接式線性求解可能是得到解的唯一選擇，但當(dāng)求解收斂時，使用迭代式線性求解法將獲得更精確的解答，當(dāng)然這也要依賴于相對容許值的大小。在通常情況下，相對容許值的缺省值已經(jīng)足夠精確，然而對于特殊的分析，適當(dāng)?shù)卣{(diào)整容許值將會改善仿真的整體性能，如對于薄板或薄殼結(jié)構(gòu)，相比直接式線性方程求解法，迭代式線性方程求解法更適合進行該類結(jié)構(gòu)的分析與計算。

以上提到的2種方法均在形成線性方程組之后才進行區(qū)分。隱式中常說的迭代是指求解剛度矩陣K時采用的求解方法。當(dāng)剛度矩陣已經(jīng)求得并形成線性方程組KU=P時，直接法就是直接對剛度矩陣求逆進而得到位移解，而迭代法就是利用迭代的求解手段得到位移解。Abaqus默認(rèn)為直接法，即在忽略計算時間的前提下，為保證方程組一定有解而設(shè)定，而迭代法是用于大型模型或者薄板及薄殼結(jié)構(gòu)求解時采用的，前提是可以收斂。

3 如何提高解的收斂性？

如何在計算過程中避免解的不收斂呢？現(xiàn)列舉模型改進的方向和一些方法。

（1）在接觸分析真正加載之前，設(shè)置一個接觸步讓2個面相接觸。在這個步驟中，接觸面的過盈要小一點好（比如0.001），然后再把作用于2個接觸體的力以及接觸方向的自由度放開。

（2）如果系統(tǒng)的載荷很多，將系統(tǒng)的載荷分多步進行加載。多個載荷一次性全部加載可能使系統(tǒng)無法在規(guī)定的迭代次數(shù)內(nèi)收斂，所以根據(jù)需要將載荷分步加載，可以讓Abaqus的內(nèi)核慢慢消化。

（3）如果系統(tǒng)有多個接觸，最好也如載荷加載過程一樣，分成幾個步驟接觸。這樣的做法會令接下來模型的修改更有方向性。

（4）如果模型還是不收斂的話，可以檢查是在哪一步或者哪個inc不收斂。假如第一步直接不收斂，如果模型是類似于上述把載荷和接觸分成很多步建立的情況，可以調(diào)整載荷加載的順序，比如將第二步加載的載荷換到第一步，很可能會使計算收斂，那么影響收斂的主要問題應(yīng)該就是原來的第一個加載步。在這種情況下，接下來當(dāng)再次計算到這個加載步的時候可能還是不會收斂，那么此時可以考慮是否存在其他方法能夠使步驟的變化量縮小一點，或者也可以繼續(xù)把這個載荷細(xì)分。

（5）對于接觸分析不收斂的情況，可以檢查模型的接觸面。如果接觸面是overclosure，此時在assemble中將模型相對位置稍微移動一下或者選用接觸設(shè)置中的adjust only to remove overclosure即可，但是注意這種方法會導(dǎo)致網(wǎng)格扭曲變形，只有變形問題不大時才可以選用。如果模型中的2個接觸面變成了一個點和一個面接觸，而點或者面中有一個位置并不是很穩(wěn)定，這時候就就會出現(xiàn)dividing，致使求解無法成功。此時可以考察是否能將模型該處略作調(diào)整，或?qū)⒃撎幍木W(wǎng)格細(xì)化。

（6）模型實在較大的話，可以修改solver的設(shè)定，將迭代次數(shù)增大。對于開始計算就不收斂的情況，如果在迭代次數(shù)滿足以后時間增量還不是很小的話，可以將initial和minimum改小一點。模型越大則可以改得越小，特別是前后2個step變化比較大的情況下。對于模型不是很大的情況，太小的時間增量意義不大，解決該問題應(yīng)從模型當(dāng)中是否有錯誤去考慮。

（7）模型太大會導(dǎo)致求解的方程太大，所以不重要的接觸最好從模型中去除。這樣可以保證在對結(jié)果影響不大的前提下，計算時間大大減少。endprint