虞翔， 李旦， 張建秋

復(fù)旦大學(xué) 電子工程系， 上海 200433

魯棒成形極化敏感陣列波束的方法及極化估計

虞翔， 李旦， 張建秋*

復(fù)旦大學(xué) 電子工程系， 上海 200433

基于極化敏感陣列，提出了一種魯棒成形陣列波束的方法。該方法首先將陣列的數(shù)據(jù)模型進(jìn)行了重新描述，從而獲得了信號波達(dá)角(DOA)和極化解耦的模型。借助于該模型并對信號的兩個極化方向分別進(jìn)行魯棒約束，設(shè)計出了一個新的魯棒空域波束空間成形矩陣，利用該矩陣可以獲得信號兩個極化分量的魯棒估計。基于特征值分解的方法，最后給出了估計信號極化參數(shù)的方法。分析和數(shù)值仿真實驗均表明：提出的方法，在對DOA估計誤差以及陣列位置誤差等造成的陣列失配具有較強(qiáng)魯棒性的同時，也能有效抑制干擾和噪聲，進(jìn)而提升了極化參數(shù)估計的性能。

陣列信號處理； 極化估計； 波束成形； 魯棒性； 凸優(yōu)化； 特征值分解

極化作為電磁波信號的一個重要特征，在無線通信、雷達(dá)等領(lǐng)域具有極大的應(yīng)用價值[1-7]。在無線通信領(lǐng)域中，利用極化信息可以提升系統(tǒng)的信道容量，還可以提高系統(tǒng)的抗干擾能力以改善通信質(zhì)量[2-4]。在雷達(dá)信號處理中，利用信號的極化可以提高雷達(dá)對目標(biāo)的檢測能力、對雜波的抑制能力[5-6]、對目標(biāo)波達(dá)角(Direction of Arrival， DOA)的分辨能力以及估計準(zhǔn)確性[2,6-7]。

目前，大多數(shù)DOA和極化參數(shù)聯(lián)合估計的方法，主要側(cè)重于對DOA估計方法的改進(jìn)[8-17]，期待以提高DOA參數(shù)的估計性能來改善極化參數(shù)的估計性能，而極化參數(shù)的估計大多還是沿用文獻(xiàn)[12，16]的方法?？墒窃谝恍?yīng)用場合中，人們更多關(guān)注的是極化參數(shù)的估計性能。例如，在利用極化參數(shù)調(diào)制的通信中，往往使用極化來攜帶信息[3-4]，因此在存在其他干擾以及陣列失配等非理想情況下，盡可能地能夠獲得準(zhǔn)確的極化參數(shù)估計，以便后續(xù)準(zhǔn)確地解碼所發(fā)送的信息是其關(guān)注的問題之一。眾所周知，信號的DOA和極化參數(shù)是相互耦合于陣列導(dǎo)向矢量之中。為了避免高計算量的四維搜索，通常的措施是先估計DOA參數(shù)再估計極化參數(shù)[8-17]。由于極化參數(shù)的估計依賴于陣列響應(yīng)矩陣，當(dāng)DOA估計不準(zhǔn)確或者陣列本身存在誤差，如陣列位置誤差、通道增益誤差等時，極化參數(shù)的估計精度很難滿足應(yīng)用中的要求。針對這一狀況，文獻(xiàn)[16]中有提到利用矢量傳感器內(nèi)部存在的旋轉(zhuǎn)不變性來直接估計極化參數(shù)的方法。然而該方法需要對估計得到的極化參數(shù)和DOA參數(shù)進(jìn)行配對，且為了進(jìn)一步提高極化參數(shù)的估計性能，它仍需要使用估計的DOA來校正極化參數(shù)的估計，因此其在本質(zhì)上其與一般的極化參數(shù)估計思路并不存在差異。

本文從空間濾波的角度出發(fā)，通過對陣列輸出數(shù)據(jù)的重新描述，獲得了解耦DOA和極化參數(shù)的數(shù)據(jù)模型。借助于該模型，提出了以DOA作為參數(shù)來成形波束空間的算法，進(jìn)而獲取信號兩維極化信息。同時考慮到陣列響應(yīng)可能存在的失配情況，給出了通過增加約束來提升波束空間濾波器魯棒性的方法。最后基于特征值分解提出了極化參數(shù)估計的方法。分析和仿真實驗均表明，本文提出的方法可以有效地提升在非理想條件下極化參數(shù)的估計性能。

1 數(shù)據(jù)模型

對于完全極化的遠(yuǎn)場窄帶信號，其完整的電磁場信號可以表示為

(1)

式中：V為空域響應(yīng)矩陣；p為歸一化的極化矢量；γ∈[0,π/2)為極化輔助角；η∈[-π,π)為極化相位差異角；s(t)為t時刻基帶信號的復(fù)包絡(luò)。完整的電磁場信息共有3個電場分量和3個磁場分量，不同的極化敏感天線，其輸出可以通過在式(1)的基礎(chǔ)上乘以不同的選擇矩陣G，例如：當(dāng)表示共點正交環(huán)偶天線、三偶極子天線以及電磁矢量傳感器時，G可以分別用下面的G1、G2和G3表示。

圖1 極化敏感天線均勻線陣示意圖 Fig.1 Uniform linear array of polarization sensitive antennas

(2)

(3)

G3=I6

(4)

式中：IL為L×L的單位陣，L為任意正整數(shù)。

電磁矢量傳感器[2]是一種重要的極化敏感天線，它包含了3個正交偶極子和3個正交環(huán)形天線。由電磁矢量傳感器組成的陣列，它不僅可以像標(biāo)量陣列那樣提取入射電磁波信號在各個傳感器上的空間相位信息，還可以完整地感知電磁波信號在各個方向上的投影分量。因此，利用電磁矢量傳感器陣列來進(jìn)行陣列信號處理，如信號參數(shù)估計和自適應(yīng)波束形成等時，它能夠獲得更好的性能[2,12,15,18]。本文下面的描述與推導(dǎo)中均采用電磁矢量傳感器，當(dāng)使用其他極化敏感天線時，可以將下面獲得的結(jié)果乘以不同的G即可。

對于圖1所示陣列中的第l個電磁矢量傳感器，其接收到的信號數(shù)據(jù)可以表示為

xl(t)=qlVps(t)+nl(t)=qlbps(t)+nl(t)

(5)

(6)

假設(shè)期望信號和K-1個干擾信號同時入射到陣列，且期望信號和干擾信號之間互不相關(guān)，那么陣列輸出數(shù)據(jù)的完整表達(dá)可寫成為

(7)

重寫陣列的輸出數(shù)據(jù)式(7)為

(8)

2 空域波束空間算法

傳統(tǒng)的極化敏感陣列波束成形算法希望獲取期望信號s1(t)，通過對導(dǎo)向矢量a進(jìn)行約束而得到[18-20]，它需要知道信號的DOA和極化聯(lián)合的四維參數(shù)信息。從式(8)可以看到，其陣列空域響應(yīng)矩陣T∈C6M×2僅與DOA參數(shù)相關(guān)，因此可在僅知道信號DOA參數(shù)的情況下，通過對矩陣T施加約束而得到一個波束空間成形矩陣WS∈C6M×2，以獲取含兩維極化信息的信號p1s1(t)，在數(shù)學(xué)上它可以表示為

(9)

式(9)表明：一旦借助波束空間成形矩陣WS∈C6M×2獲得了z(t)，那么就能利用其對極化參數(shù)進(jìn)行估計，進(jìn)而也可獲得期望信號的估計。若期望信號和干擾信號的DOA相同，但其極化方式不同，則可在空域波束空間濾波的基礎(chǔ)上，再應(yīng)用極化域濾波的方法[21-23]將兩者分開，因此本文僅考慮目標(biāo)信號和干擾信號DOA不相同的情況。

空域波束空間濾波后式(9)的能量為

E[zH(t)z(t)]=trace{E[z(t)zH(t)]}=

(10)

式中：trace(·)表示矩陣求跡運(yùn)算；R為陣列輸出數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣。保證期望DOA方向上帶兩維極化信息的信號無失真通過的約束下，使得式(10)最小化的代價函數(shù)可以描述為

(11)

利用拉格朗日數(shù)乘法，式(11)的解析解可以寫為

(12)

可以看到式(11)與式(12)的形式與傳統(tǒng)的Capon算法類似，它們可以看成是矩陣約束版本的Capon算法。但實際上，該目標(biāo)函數(shù)由兩個線性最小約束方差(LCMV)波束成形器構(gòu)成，即

(13)

(14)

3 魯棒空域波束空間算法

與傳統(tǒng)Capon算法類似，當(dāng)響應(yīng)矩陣T1存在不確定性時，上述算法性能會嚴(yán)重下降。結(jié)合最差性能最優(yōu)化準(zhǔn)則[24]，本節(jié)將提出魯棒的空域波束空間算法。在實際應(yīng)用中，由于期望DOA或者陣列位置可能存在誤差，這樣實際的信號水平極化方向矢量th,1和垂直極化方向矢量tv,1就會存在偏差，此時它們可以分別表示為

(15)

h(ε1)

(16)

v(ε1)

(17)

結(jié)合最差性能最優(yōu)化準(zhǔn)則，代價函數(shù)式(13)和式(14)可以轉(zhuǎn)化為

th,1∈h(ε1)，tv,1∈v(ε1)

(18)

th,1∈h(ε1)，tv,1∈v(ε1)

(19)

可以看到與傳統(tǒng)最差性能最優(yōu)化波束成形器不同的是，代價函數(shù)式(18)和式(19)還分別添加了對另一個極化方向的止帶約束。考慮到實際極化方向矢量th,1和tv,1本身具有不確定性，因而式(18)和式(19)中的止帶等式約束也可以用下面的衰減約束代替：

(20)

式中：ε2為衰減系數(shù)，取值應(yīng)比較小。將式(18)和式(19)中的不等式約束進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得到最終的優(yōu)化代價函數(shù)為

(21)

(22)

4 基于特征值分解的極化參數(shù)估計方法

讓陣列的快拍經(jīng)過上面設(shè)計得到波束空間濾波矩陣后，理想狀態(tài)下有

(23)

若直接采用比例關(guān)系求解極化參數(shù)，由于噪聲的影響，極化參數(shù)的估計將不是最優(yōu)的?？紤]波束空間輸出數(shù)據(jù)z(t)的協(xié)方差矩陣，有

Rz=E[z(t)zH(t)]=R0+WHW

(24)

式中：

(25)

推論空域波束空間矩陣WS滿足：

(26)

(27)

式中：κ為非零復(fù)常數(shù)，從而可以得到極化參數(shù)γ1和η1的求解公式為

(28)

其中：

(29)

5 數(shù)值仿真實驗

(30)

仿真實驗1考察存在陣列失配條件下的極化參數(shù)估計性能比較。假設(shè)期望信號的DOA先驗為(110°,50°)，存在2° 的DOA先驗偏差。陣列位置誤差滿足在區(qū)間(-0.2d,0.2d)上的均勻分布。信號與干擾的比率(Signal to Interference Ratio， SIR)固定為-10 dB。文獻(xiàn)[12]的方法在低信噪比下收斂概率會下降[12]，在下文的比較中只考慮成功收斂時的性能。文獻(xiàn)[16]估計信號子空間時，給出的信號個數(shù)先驗為2個。本文方法的參數(shù)選取ε1=3.5，ε2=10-5。圖2為各種方法的極化參數(shù)估計性能比較。圖2(a)為估計性能與信噪比(Signal to Noise Ratio， SNR)之間的關(guān)系，快拍數(shù)選用200個。圖2(b)為估計性能與快拍數(shù)之間的關(guān)系，SNR=20 dB?？梢钥吹綄τ谀Ｐ痛嬖谑涞那闆r，本文的RSBS算法的極化參數(shù)估計誤差更小。尤其在信噪比較大的時候，此時模型失配導(dǎo)致誤差的因素占據(jù)主導(dǎo)，因而RSBS算法的性能優(yōu)勢更加明顯。SBS算法需要對信號協(xié)方差矩陣進(jìn)行求逆，因而其對于快拍數(shù)量有一定的要求，從圖2(b)中可以看到SBS算法在低快拍數(shù)下性能較差。

圖2 陣列失配條件下，5種算法極化參數(shù)估計性能Fig.2 Polarization estimation performance of 5 algorithms with array mismatch

圖3 極化參數(shù)估計性能與SIR之間的關(guān)系Fig.3 Polarization estimation performance vs SIR

仿真實驗2考察極化參數(shù)估計性能與SIR之間的關(guān)系，期望信號和陣列的設(shè)置同實驗1，干擾信號的功率固定為20 dB。Bartlett為非自適應(yīng)波束算法，其對于干擾的衰減是固定的，從圖3中可以看到Bartlett在低SIR下性能受影響比較嚴(yán)重，而其他算法受此影響比較小。

仿真實驗3存在干擾信號不穩(wěn)定情況時的極化參數(shù)估計性能比較。整個觀察區(qū)間共有200個快拍，信號以及陣列的設(shè)置同實驗1。干擾信號存在突然出現(xiàn)、突然消失的情況：干擾信號1的設(shè)置同上；干擾信號2的DOA參數(shù)為(40°,50°)，極化參數(shù)為(50°,-45°)，其出現(xiàn)的區(qū)間為[1,60]∪[150,200]；干擾信號3的DOA參數(shù)為(130°,170°)，極化參數(shù)為(50°,60°)，其出現(xiàn)區(qū)間為[100,200]。信號和各個干擾信號之間的SIR均為-10 dB。文獻(xiàn)[12，16]的方法要求在觀察區(qū)間內(nèi)信號子空間是穩(wěn)定的，因而在實驗3條件下兩種方法均失效。圖4比較了SBS、RSBS和Bartlett算法的極化參數(shù)估計的性能?？臻g濾波的算法不會受到干擾信號不穩(wěn)定的情況影響，對比圖2(a)，可以看到性能基本不受影響。

圖4 干擾信號不穩(wěn)定情況下，3種算法的極化估計性能 Fig.4 Polarization estimation performance of 3 algorithms with unstable interferences

6 結(jié) 論

1) 常用的極化參數(shù)估計方法依賴于信號子空間的估計或者信號導(dǎo)向矢量的估計，因而其估計性能會受到信號子空間或者信號導(dǎo)向矢量估計準(zhǔn)確性的影響，并且這些極化參數(shù)估計算法的使用環(huán)境也會受到限制，魯棒性較差。

2) 本文從空域濾波的角度出發(fā)，通過設(shè)計一個魯棒的波束空間濾波器，來得到期望信號的兩維極化分量以用于后續(xù)的極化參數(shù)估計，提升了存在DOA先驗誤差和陣列位置誤差等這些可能導(dǎo)致陣列失配情況下的極化參數(shù)估計性能，同時其應(yīng)用領(lǐng)域也得以擴(kuò)展，適用于在整個觀察區(qū)間內(nèi)干擾信號突然消失或者突然出現(xiàn)的情況。

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(責(zé)任編輯： 蘇磊)

附錄A

假設(shè)干擾信號只有一個，當(dāng)存在多個干擾信號時，可在下述的推導(dǎo)基礎(chǔ)上類推得到。此時陣列輸出數(shù)據(jù)為

x(t)=a1s1(t)+a2s2(t)+n(t)

(A1)

其協(xié)方差矩陣為

對于陣列導(dǎo)向矢量a和陣列空域響應(yīng)矩陣T，存在aHa=2M，THT=2MI2的關(guān)系。因而應(yīng)用矩陣求逆公式可以得到輸出數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的逆矩陣：

(A2)

(A3)

(A4)

(A5)

忽略高次項可得到R-1的近似值為

(A6)

(A7)

A robust beamformer with a polarization sensitive array andpolarization estimation

YUXiang,LIDan,ZHANGJianqiu*

DepartmentofElectronicEngineering,FudanUniversity,Shanghai200433,China

Based on the polarization sensitive array, a robust beamformer for polarization estimation is proposed. By reformulating the model for polarization sensitive array data, a model decoupling the direction of arrival (DOA) parameters from the polarization ones is given. Based on our model and the robust constraints to the two polarization directions of a signal, a spatial beamspace matrix is designed to robustly obtain an estimation of the signal’s two polarization components. The polarization parameter estimations of the signal are then given by the eigenvalue decomposition. Both analyses and simulation results show that our beamformer is robust to the array mismatch caused by the DOA estimate and array position errors. It is also indicated that our method can improve the performance of the polarization estimation effectively by suppressing the interference and noise are suppressed.

array signal processing; polarization estimation; beamforming; robustness; convex optimization; eigenvalue decomposition

2016-09-05；Revised2016-11-04；Accepted2016-11-24；Publishedonline2016-12-081610

URL：www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20161208.1610.002.html

NationalNaturalScienceFoundationofChina(61571131)

2016-09-05；退修日期2016-11-04；錄用日期2016-11-24； < class="emphasis_bold">網(wǎng)絡(luò)出版時間

時間：2016-12-081610

www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20161208.1610.002.html

國家自然科學(xué)基金 (61571131)

*

.E-mailjqzhang@fudan.ac.cn

虞翔， 李旦， 張建秋． 魯棒成形極化敏感陣列波束的方法及極化估計J． 航空學(xué)報,2017,38(6):320752.YUX,LID,ZHANGJQ.ArobustbeamformerwithapolarizationsensitivearrayandpolarizationestimationJ.ActaAeronauticaetAstronauticaSinica,2017,38(6):320752.

http://hkxb.buaa.edu.cnhkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2016.0312

V243.4; TN911.7

A

1000-6893(2017)06-320752-08

*Correspondingauthor.E-mailjqzhang@fudan.ac.cn