于春肖， 任翠環(huán)， 郝雪景

(燕山大學(xué) 理學(xué)院 河北 秦皇島 066004)

DOI: 10.13705/j.issn.1671-6841.2017049

三維位勢(shì)問題Legendre級(jí)數(shù)基本解誤差分析

于春肖， 任翠環(huán)， 郝雪景

(燕山大學(xué) 理學(xué)院 河北 秦皇島 066004)

對(duì)三維位勢(shì)及位勢(shì)梯度Legendre級(jí)數(shù)基本解進(jìn)行了研究.利用Legendre函數(shù)性質(zhì)和近遠(yuǎn)場(chǎng)劃分準(zhǔn)則，推導(dǎo)出位勢(shì)及位勢(shì)梯度基本解的截?cái)嗾`差表達(dá)式，并分析了有關(guān)截?cái)嘀笜?biāo)對(duì)計(jì)算精度和計(jì)算效率的影響.

Legendre級(jí)數(shù)； 基本解； 位勢(shì)； 位勢(shì)梯度； 截?cái)嗾`差

DOI: 10.13705/j.issn.1671-6841.2017049

0 引言

邊界元法(BEM)是一種有效的工程數(shù)值計(jì)算方法，具有降維、精度高、靈活和速度快等特點(diǎn).但因計(jì)算過程中形成的線性矩陣方程組的系數(shù)矩陣是非對(duì)稱型滿陣，邊界元法對(duì)大規(guī)模的工程問題并不適用.基于BEM的上述問題，很多學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了深入的研究.文獻(xiàn)[1]提出了快速多極展開法(FMM)，此算法是一種快速求解積分方程的算法.之后，文獻(xiàn)[2]將FMM廣義極小殘余法(GMRES)結(jié)合邊界積分方程，得到快速多極邊界元(FM-BEM)，此方法使計(jì)算量和存儲(chǔ)量降低到O(N)，在很大程度上提高了計(jì)算效率，被廣泛應(yīng)用到各個(gè)領(lǐng)域.文獻(xiàn)[3]將快速多極展開技術(shù)用于高階邊界元法，降低了計(jì)算量和存儲(chǔ)量.文獻(xiàn)[4-5]對(duì)三維彈塑性摩擦接觸多極邊界元法進(jìn)行了研究.并對(duì)三維軋制過程，建立了點(diǎn)面摩擦接觸模型.近幾年來，F(xiàn)M-BEM的應(yīng)用更加廣泛.文獻(xiàn)[6]將有限元和FMM-BEM結(jié)合，來分析結(jié)構(gòu)聲學(xué)問題.文獻(xiàn)[7]研究了FMM-BEM中基礎(chǔ)Laplace方程非負(fù)解的存在性.

多極展開法[8]是一種近似方法，展開的階數(shù)越多就越接近真實(shí)值.在實(shí)際中展開的階數(shù)是有限的，也就是存在項(xiàng)數(shù)的截?cái)?誤差的估計(jì)方法有多種，如文獻(xiàn)[9]提出了一種新的估計(jì)技巧.而本文依據(jù)勒讓德函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，對(duì)三維位勢(shì)及位勢(shì)梯度Legendre級(jí)數(shù)基本解展開的截?cái)嗾`差進(jìn)行了推導(dǎo)，得出級(jí)數(shù)展開到p項(xiàng)時(shí)的誤差估計(jì)式，從而得到控制精度的方法.

1 三維位勢(shì)問題的邊界積分方程

設(shè)有限域?yàn)棣?，其表面邊界為?已知位勢(shì)表面為Γ1，已知位勢(shì)梯度表面為Γ2，且Γ=Γ1+Γ2，則可得Poisson方程的邊界積分方程為

其中：x為源點(diǎn)；y為邊界Γ上的任意一點(diǎn)；ci為邊界形狀系數(shù)；式中所用到的基本解為u*(x,y)，

其中：q*(x,y)是u*(x,y)在y點(diǎn)處的外法線方向的導(dǎo)數(shù)；R為觀測(cè)點(diǎn)和源點(diǎn)間的距離；n為邊界Γ的外法矢.

位勢(shì)基本解是1/R的函數(shù).為適合多極展開法，將梯度表示為

(3)

其中：m=1、2、3；?m表示關(guān)于xm的偏導(dǎo)數(shù).

2 位勢(shì)及位勢(shì)梯度Legendre級(jí)數(shù)基本解截?cái)嗾`差

Legendre級(jí)數(shù)多極展開法是對(duì)位勢(shì)問題基本解中的核函數(shù)1/R進(jìn)行級(jí)數(shù)展開.其近似程度和展開的項(xiàng)數(shù)密切相關(guān)，展開的項(xiàng)數(shù)越多，就越接近真實(shí)值.但展開的項(xiàng)數(shù)過多，只是增加計(jì)算的時(shí)間，對(duì)提高精度影響不大，所以展開項(xiàng)數(shù)一般截?cái)嗟侥骋豁?xiàng)p，下面對(duì)多極展開中的截?cái)嗾`差進(jìn)行分析.

2.1 位勢(shì)基本解截?cái)嗾`差

設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),X(r,θ,φ)為場(chǎng)點(diǎn),Xi(ρi,αi,βi)為源點(diǎn)，兩點(diǎn)的相對(duì)距離為r/ρi，兩點(diǎn)距離為

cosγ=cosθcosαi+sinθsinαicos(φ-βi).

定理1在極坐標(biāo)中場(chǎng)點(diǎn)和源點(diǎn)的距離為R，則基本解基于Legendre級(jí)數(shù)展開的截?cái)嗾`差為

證明由公式(2)，可得

2.2 位勢(shì)梯度基本解截?cái)嗾`差

定理2若球坐標(biāo)系下源點(diǎn)為Xi(ρi,αi,βi)，場(chǎng)點(diǎn)為X(r,θ,φ)，且滿足cosν=cosθcosα+sinθ·sinαcos(φ-β)，那么

證明要證式(4)，即證[cosθsinαcos(φ-β)-sinθcosα]2≤1-cos2ν.

由夾角間的關(guān)系得:

則有[cosθsinαcos(φ-β)-sinθcosα]2+cos2ν=cos2α+sin2αcos2(φ-β)≤1.

定理3若球坐標(biāo)系下源點(diǎn)為Xi(ρi,αi,βi)，場(chǎng)點(diǎn)為X(r,θ,φ)，且滿足cosν=cosθcosα+sinθ·sinαcos(φ-β)，那么

證明要證式(5)，即證1-cos2ν-sin2αsin2(φ-β)≥0.

由夾角間的關(guān)系得

定理4球坐標(biāo)系下，位勢(shì)梯度的各個(gè)分量的截?cái)嗾`差分別為ΔEpr、ΔEpθ、ΔEpφ，則

證明設(shè)位勢(shì)梯度的截?cái)嗾`差為ΔEp，則

由Legendre函數(shù)的微商表示與連帶的Legendre函數(shù)的微商間的關(guān)系可得[10]：

根據(jù)Legendre函數(shù)的正交性及遠(yuǎn)近場(chǎng)劃分準(zhǔn)則可得[11]

結(jié)合定理2，可得

結(jié)合定理3，可得

2.3 位勢(shì)及位勢(shì)梯度截?cái)嗾`差分析

由定理1可得三維位勢(shì)基本解的截?cái)嗾`差式，截?cái)囗?xiàng)數(shù)p取不同的值時(shí)，將Ep*a看作一個(gè)整體，其截?cái)嗾`差結(jié)果如圖1所示.由定理4可得位勢(shì)梯度的截?cái)嗾`差.截?cái)囗?xiàng)數(shù)p取不同的值時(shí)，將‖ΔEp‖*a2看作一個(gè)整體，其截?cái)嗾`差結(jié)果如圖2所示.

圖1 位勢(shì)的誤差 (r/ρ=2)Fig.1 Error for potential

圖2 位勢(shì)梯度的誤差(r/ρ=2)Fig.2 Error for potential gradient

從圖1和圖2中可以看出，當(dāng)相對(duì)距離r/ρ一定時(shí)，隨著截?cái)囗?xiàng)數(shù)p的增加，位勢(shì)和位勢(shì)梯度的截?cái)嗾`差都在逐漸縮小.

因此，截?cái)囗?xiàng)數(shù)p對(duì)多極展開的計(jì)算量、存儲(chǔ)量以及求解精度具有重要的影響，適當(dāng)?shù)剡x取p值在實(shí)際工程計(jì)算中尤為重要.由文獻(xiàn)[12]知，為了獲得一個(gè)較高的精度，截?cái)囗?xiàng)數(shù)p應(yīng)與log1/2(|)同階.對(duì)于給定的精度要求，就可以用式p=[-log2|]+1([]代表取整),給出其所要求的截?cái)囗?xiàng)數(shù).

3 結(jié)論

本文從三維位勢(shì)問題位勢(shì)基本解入手，對(duì)其Legendre級(jí)數(shù)展開進(jìn)行詳細(xì)分析，給出位勢(shì)及位勢(shì)梯度Legendre級(jí)數(shù)基本解的截?cái)嗾`差估計(jì)式，并給出一定精度時(shí)，截?cái)囗?xiàng)數(shù)p的選取表達(dá)式.研究結(jié)果進(jìn)一步完善了Legendre級(jí)數(shù)FM-BEM的理論體系，為快速FM-BEM解決位勢(shì)問題提供了強(qiáng)有力的理論依據(jù).

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(責(zé)任編輯：方惠敏)

ErrorAnalysisofFundamentalSolutionsinLegendreSeriesforThree-dimensionalPotentialProblems

YU Chunxiao, REN Cuihuan, HAO Xuejing

(CollegeofSciences,YanshanUniversity,Qinhuangdao066004,China)

Potential and potential gradient fundamental solutions in Legendre series were studied for three-dimensional potential problems. By using properties of Legendre function and the near-far field partition criterion, truncation error expressions were derived for the potential and potential gradient fundamental solutions. In addition, the influence of truncation index on the computational accuracy and efficiency was analyzed.

Legendre series； fundamental solution； potential； potential gradient； truncation error

2017-03-16

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11301459)；河北省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(A2015203121).

于春肖(1977—)，女，河北平山人，教授，主要從事多極邊界元法與應(yīng)用研究，E-mail: chxy@ysu.edu.cn；通信作者：任翠環(huán)(1990—)，女，河北衡水人，主要從事多極邊界元法及相關(guān)算法研究，E-mail: 18713510209@163.com.

O241

A

1671-6841(2017)04-0001-04