馮云周

(河北隆堯第一中學(xué)，河北 邢臺(tái) 055350)

導(dǎo)數(shù)，物理解題的一把利器

馮云周

(河北隆堯第一中學(xué)，河北 邢臺(tái) 055350)

運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)處理物理問(wèn)題是當(dāng)今高考對(duì)學(xué)生的能力考查之一，而導(dǎo)數(shù)又是現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)教材中的一項(xiàng)新增內(nèi)容，因此，如何把導(dǎo)數(shù)知識(shí)很好地運(yùn)用到高中物理解題的實(shí)際中去，已經(jīng)成為了很多人正在積極探索和研究的一項(xiàng)新課題.本文在這方面做出了一些初步的嘗試.

導(dǎo)數(shù)；高中物理；解題

現(xiàn)行的高中數(shù)學(xué)課本中新增了對(duì)導(dǎo)數(shù)等內(nèi)容的學(xué)習(xí)，為中學(xué)生應(yīng)用高等數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題奠定了知識(shí)基礎(chǔ).實(shí)際上，許多高中物理題如果用導(dǎo)數(shù)來(lái)分析和求解，就會(huì)顯得思路簡(jiǎn)捷，便于理解和接受，解題效果也會(huì)不同凡響.下面是我在平時(shí)的教學(xué)實(shí)踐中，嘗試運(yùn)用導(dǎo)數(shù)來(lái)解中學(xué)物理題的一些初步的探索和體驗(yàn)，現(xiàn)分享給大家，希望能給您帶來(lái)一些啟迪！

一、巧用導(dǎo)數(shù)，豁然開(kāi)朗

題1 一物體沿x軸做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，振幅為8cm，頻率為0.5Hz，在t=0時(shí)位移是4cm，且向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，試寫(xiě)出用正弦函數(shù)表示的振動(dòng)方程.

這是最近我的學(xué)生們所做的一道練習(xí)題，所附解答如下：

設(shè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式為：x=Asin(ωt+φ)

冥思苦想了一會(huì)兒，我忽然靈光一閃：“物體向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)”，說(shuō)明此時(shí)速度為負(fù)，而位移對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)不正是速度嗎！于是我得出了下面的解釋：

如此稍加點(diǎn)撥，是否有豁然開(kāi)朗的感覺(jué)呢？

二、耳目一新，教學(xué)相長(zhǎng)

題2 如圖1所示，為一單擺的共振曲線，該單擺的擺長(zhǎng)約為多少？共振時(shí)單擺的振幅是多大？共振時(shí)擺球的最大速度和最大加速度各為多少？(g取10 m/s2)

圖1

這是在學(xué)習(xí)共振時(shí)我給學(xué)生們講解的一道例題，這道題的重點(diǎn)和難點(diǎn)在最后一問(wèn)，一般解法如下：

從共振曲線可知，單擺發(fā)生共振時(shí)，振幅A=8cm.設(shè)單擺的最大偏角為θ，擺球所能達(dá)到的最大高度為h，由機(jī)械能守恒定律得：

擺球在最大位移處加速度最大，有mgsinθ=mam

那么，這道題有沒(méi)有其他更好的解法呢？當(dāng)我在辦公室里深入思考的時(shí)候，一向?qū)W習(xí)認(rèn)真、善于思考的張同學(xué)輕聲打報(bào)告走了進(jìn)來(lái)，向我展示了他的做法.整理如下：

單擺共振時(shí)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，若從平衡位置開(kāi)始計(jì)時(shí)，則振動(dòng)的位移x=0.08sin(2πft)=0.08sinπt，振動(dòng)的速度v=x′(t)=0.08πcosπt，可見(jiàn)速度的最大值vm=0.08π=0.25 m/s；

振動(dòng)的加速度a=v′(t)=-0.08π2sinπt，可見(jiàn)加速度的最大值am=0.08π2=0.80 m/s2.

這種解法怎樣？是否有耳目一新的感覺(jué)呢？所謂“教學(xué)相長(zhǎng)”，我們這些當(dāng)老師的是不是也應(yīng)該感謝我們的學(xué)生呢？

三、腦洞大開(kāi)，躍躍欲試

位移x對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)是速度

速度v對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)是加速度

由此想開(kāi)去——

功W對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)是什么？是功率P！

功W對(duì)位移x求導(dǎo)又是什么？是力F！

還有——

動(dòng)量的變化△p對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)等于合力F

角度θ對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)等于角速度ω

電荷量q對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)等于電流I

磁通量Φ對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)等于感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E

繼續(xù)——

電勢(shì)φ對(duì)距離d求導(dǎo)等于電勢(shì)差U

電勢(shì)差U對(duì)距離d求導(dǎo)等于場(chǎng)強(qiáng)E

勢(shì)能Ep對(duì)距離r求導(dǎo)等于相應(yīng)的保守力F

……

總之，只要一個(gè)物理量是相對(duì)于另一個(gè)物理量的變化率，那么這個(gè)物理量就可以運(yùn)用導(dǎo)數(shù)來(lái)分析求解.

怎么樣？腦洞大開(kāi)了吧！是否有種躍躍欲試的沖動(dòng)呢？那好，心動(dòng)不如行動(dòng)！下面再做兩題：

題3 如圖2所示，矩形線圈匝數(shù)為n，在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中繞OO＇軸轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)線圈的兩個(gè)邊長(zhǎng)分別是L1和L2，轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)角速度是ω，在磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B.

圖2

試證明：在圖示位置時(shí)，線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E=nBSω，其中S=L1L2，為線圈面積.

本題一般做法如下：

線圈繞OO＇軸轉(zhuǎn)動(dòng)，線圈中長(zhǎng)為L(zhǎng)2的邊都在切割磁感線，根據(jù)公式E=Blvsinθ可得：E=nBL2vsinθ，而圖示位置θ=90°，切割速度為v=ωL1，代入可得：E=nBSω，其中S=L1L2，為線圈面積.

下面再用求導(dǎo)的方法來(lái)做：

當(dāng)線圈在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，若從圖示位置開(kāi)始計(jì)時(shí)，則穿過(guò)線圈平面的磁通量瞬時(shí)值表達(dá)式為：φ(t)=Φmsinωt=BL1L2sinωt

每匝線圈中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)e0(t)=φ′(t)=BL1L2ωcosωt

故n匝線圈中產(chǎn)生的總的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)e(t)=nBL1L2ωcosωt

圖示位置t=0，E=nBSω，其中S=L1L2，為線圈面積.證畢.

兩種方法相比，你不覺(jué)得用求導(dǎo)的方法顯得更加簡(jiǎn)捷而暢快嗎？

[1]張維善.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)物理選修3-2[M].北京：人民教育出版社，2010(4):18.

[2]任滿紅翰元設(shè)計(jì)系列.高二物理.四[M].北京：現(xiàn)代教育出版社，2016(6):15.

[責(zé)任編輯：閆久毅]

2017-07-01

馮云周，1970年2月，男，河北隆堯，河北隆堯一中 ，中學(xué)高級(jí)，本科，物理教育.

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