王元恒

摘要：本文說明了平方根的無理數(shù)性質(zhì)，給出了一種中學(xué)生都能很好理解的迭代算法來求平方根的有理數(shù)近似值，并且要想多近似就多近似。

關(guān)鍵詞：平方根；無理數(shù)性質(zhì)；迭代算法；有理數(shù)近似值

中圖分類號：O177.91 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）48-0209-02

人們在中學(xué)都知道■，■，…，■（a不是完全平方數(shù)）是無理數(shù)，但是為什么它們是無理數(shù)？如何用有理數(shù)來近似逼近計(jì)算■，■，…，■以達(dá)到事先指定的精確度？這些問題常常被中學(xué)生、甚至大學(xué)生、研究生們問到。把此問題提得更一般些，就是：設(shè)有理數(shù)a>0（a不是完全平方數(shù)）是任意給定的，則■是無理數(shù)，并且如何來求■的有理數(shù)近似值。下面證明了平方根的無理數(shù)性質(zhì)，給出一種中學(xué)生都能很好理解的迭代算法。

定義1 設(shè)自然數(shù)p>1，如果它只能被1和它自身整除，則稱p為質(zhì)數(shù)（素?cái)?shù)）。例如2，3，5，7，11，13，17等都是質(zhì)數(shù)。

應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法和整除性質(zhì)可以證明如下的基本定理。

定理2[1] 自然數(shù)a>1都可以唯一（乘法交換律除外）表示為若干個(gè)質(zhì)數(shù)冪的乘積形式，即存在唯一的m，n1，n2，…nm和質(zhì)數(shù)p1，p2，…，pm使得

a=p■■p■■…p■■

定理3 在定理2的表示式中，a>1為平方數(shù)的充分必要條件是n1，n2，…，nm皆為偶數(shù)，即n1=2k1，n2=2k2，…，nm=2km.

證明 如果n1=2k1，n2=2k2，…，nm=2km，則

a=p■■p■■…p■■=（p■■p■■…p■■）■=b■

所以a>1為完全平方數(shù)。反之，a=b2，b>1為完全平方數(shù)，則由定理2知，即存在唯一的m，k1，k2，…，km和質(zhì)數(shù)p1，p2，…pm，使得b=p■■p■■…p■■.

從而a=b2=（p■■p■■…p■■）■=2p■■p■■…p■■=p■■p■■…p■■

于是，由定理2的唯一性知n■=2k■，n■=2k■，…，n■=2k■都是偶數(shù)。證畢。

推理4 質(zhì)數(shù)p能夠整除b>1的充分必要條件是 p能夠整除b2。

定理5 設(shè)自然數(shù)a>1不是完全平方數(shù)，則■是無理數(shù)。

證明（反證法） 假設(shè)自然數(shù)存在x，y≠1使得

■=x/y，x=■y，

則由定理2知

a=p■■p■■…p■■，

x2=ay2=p■■p■■…p■■y2.

所以，由定理3知道x2中一定含有質(zhì)數(shù)p1且p1的指數(shù)一定是偶數(shù)，y2中可能含有質(zhì)數(shù)p1且p1的指數(shù)也一定是偶數(shù)，或者y2中也可能不含有質(zhì)數(shù)p1即p1的指數(shù)為0也是偶數(shù)，故指數(shù)n1等于x2中含質(zhì)數(shù)p1的指數(shù)減去y2中含有質(zhì)數(shù)p1的指數(shù)：

n1=偶數(shù)-偶數(shù)=2k1為偶數(shù)。

同理可得n■=2k，…，n■=2k■。于是

a=p■■p■■…p■■=（p■■p■■…p■■）■=b■為一個(gè)完全平方數(shù)，這與已知矛盾。證畢。

定理6 設(shè)有理數(shù)數(shù)a>0不是完全平方數(shù)（兩個(gè)自然數(shù)的平方之比），則■是無理數(shù)。

證明 因?yàn)閍>0為有理數(shù)，所以存在自然數(shù)u，v使得a=u/v，且不妨設(shè)u，v不含有相同的質(zhì)數(shù)p，即它們不能被相同的質(zhì)數(shù)p整除，否則可以約分，并由定理5，不妨設(shè)u>1，v>1。所以，由定理2得

u=p■■p■■…p■■，v=q■■q■■…q■■，

p■≠q■，i=1，2，…，m，j=1，2，…，t.全為質(zhì)數(shù)。

于是（反證法），假設(shè)自然數(shù)存在x，y≠1使得

■=x/y，x=■y，

則由定理2知

vx2=uy2，

q■■q■■…q■■x■=p■■p■■…p■■y■.

所以，由定理知道3x2中一定含有質(zhì)數(shù)p1且p1的指數(shù)一定是偶數(shù)，y2中可能含有質(zhì)數(shù)p1且p1的指數(shù)也一定是偶數(shù)，或者y2中也可能不含有質(zhì)數(shù)p1即p1的指數(shù)為0也是偶數(shù)，故指數(shù)n1等于x2中含質(zhì)數(shù)p1的指數(shù)減去y2中含有質(zhì)數(shù)p1的指數(shù)：

n1=偶數(shù)-偶數(shù)=2k1為偶數(shù)。

同理可得n■=2k■，…，n■=2k■，s■=2l■，s■=2l■，…，

s■=2l■。于是

a=■=■=■■=■■

為一個(gè)完全平方數(shù)，這與已知矛盾。證畢。

下面給出平方根的一種有理數(shù)近似值的計(jì)算方法：

任意給定■的一個(gè)有理數(shù)近似值x0>0，在兩個(gè)正有理數(shù)數(shù)x0，■中，一定有一個(gè)大于■，另一個(gè)小于■，除非x0正好就是■.我們有理由認(rèn)為這兩個(gè)有理數(shù)數(shù)的算術(shù)平均值x1=■x0+■可能更加靠近■，這便得到了一個(gè)更好的有理數(shù)近似。事實(shí)上：

x1-■=■x0+■-■=■（x■■+a-2x■■■）

=■（x0-■）2≥0

這說明無論初值有理數(shù)x0如何，得出的第一次有理數(shù)近似值x1是過剩近似值。不妨設(shè)初值x0本身就是過剩近似值，因此x0>x0-■>0.由此得出

0≤x1-■=■x0-■■≤■x0-■.

即第一次有理數(shù)近似值x1到■的距離至多是初值x0 到■的距離的一半。

重復(fù)施行上述的步驟，便產(chǎn)生數(shù)列x0，x1，…，xn，…，其中

xn=■x■+■，n∈N*，

0≤xn-■≤■xn-1-■≤■xn-2-■≤…≤■x0-■.

所以■x■=■，即對于充分大的n，數(shù)xn與■的距離很快變小，并且以1/2n的速度快速讓它們的距離趨向于零。

這種方法在實(shí)際應(yīng)用中非常方便。例如求■的近似值，就取初值x0=2，反復(fù)迭代的結(jié)果是：

x0=2.0，

x1=1.5，

x2=1.4166…，

x3=1.4142566…，

x4=1.41421356…，

x5=1.41421356…，

于是，x5就是一個(gè)與■相當(dāng)精確的近似值，它們的距離小于1/25=1/32.

參考文獻(xiàn)：

[1]華羅庚.數(shù)論導(dǎo)引[M].北京：科學(xué)出版社，1957.endprint