陳 俊

糾“錯(cuò)”有“措”
——一元一次方程的常見錯(cuò)誤剖析及解決策略

陳 俊

一元一次方程是學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識(shí)的重要基礎(chǔ)，我們要重視其概念的理解，運(yùn)用恰當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠?現(xiàn)舉例剖析，望同學(xué)們引以為戒.

一、認(rèn)識(shí)“錯(cuò)”

1.概念不清.

我們要掌握識(shí)別一元一次方程的四個(gè)要領(lǐng)，即：只含有一個(gè)未知數(shù)、未知項(xiàng)的次數(shù)均為一次、是整式方程、化簡(jiǎn)后一次項(xiàng)的系數(shù)不為0.

例1 下列各式中，是一元一次方程的有_______（.填序號(hào)）

（1）m=0；（2）-3+0.4y=8；

【錯(cuò)解】（2）、（4）.

【剖析】（1）與（2）均滿足一元一次方程的定義；（3）有兩個(gè)未知數(shù)，不滿足“一元”；（4）不是整式方程；（5）未知項(xiàng)最高次數(shù)為二次，不滿足“一次”.

【正解】（1）（2）.

例2 若（a+1）x+3=5是關(guān)于x的一元一次方程，則a________.

【錯(cuò)解】a=-1.

【剖析】此題考查了識(shí)別要領(lǐng)中的“化簡(jiǎn)后一次項(xiàng)的系數(shù)不為0”，故要滿足a+1≠0.

【正解】a≠-1.

例3 若x|a|+3=5是關(guān)于x的一元一次方程，則a=_______.

【錯(cuò)解】1.

【剖析】此題考查了識(shí)別要領(lǐng)中的“未知項(xiàng)的次數(shù)均為一次”，故要滿足 | a|=1.

【正解】±1.

變式1 若（a+1）x||a+3=5是關(guān)于x的一元一次方程，則a=_______.

【錯(cuò)解】±1.

【剖析】此題考查了識(shí)別要領(lǐng)中的“未知項(xiàng)的次數(shù)均為一次”與“化簡(jiǎn)后一次項(xiàng)的系數(shù)不為0”，故要同時(shí)滿足 ||a=1且a+1≠0.

【正解】1.

2.解法不當(dāng).

（1）一味“連等于”.

例4 解方程：5x-3=2x.

【錯(cuò)解】5x-3=2x=5x-2x=3=x=1.

【剖析】對(duì)方程進(jìn)行變形時(shí)方程的解雖然不變，但新的方程的兩邊與原方程兩邊的值都不同了，解方程不能用“連等于”.

【正解】5x-2x=3.

（2）移項(xiàng)不變號(hào).

例5 解方程：3x+1=4x+1.

【錯(cuò)解】移項(xiàng)，得3x+4x=1+1.

【剖析】解方程時(shí)，移項(xiàng)要改變符號(hào).本題錯(cuò)在將“3x”和“1”這兩項(xiàng)從方程一邊移到另一邊時(shí)沒有改變符號(hào).

【正解】移項(xiàng)，得3x-4x=1-1.

（3）錯(cuò)誤去括號(hào).

①乘法分配不到位.

【錯(cuò)解】去括號(hào)，得x+1=6.

【剖析】去括號(hào)時(shí)沒有把括號(hào)外的數(shù)分配到括號(hào)中的每一項(xiàng).

②改變符號(hào)不仔細(xì).

例7 解方程：2（x-1）-（x+3）=-3（x+1）.

【錯(cuò)解】去括號(hào)，得2x-2-x+3=-3x+3.

【剖析】去括號(hào)時(shí)，遇到括號(hào)前面是“-”號(hào)的，要改變括號(hào)里的每一項(xiàng)符號(hào).

【正解】去括號(hào)，得2x-2-x-3=-3x-3.

（4）盲目去分母.

①漏乘個(gè)別項(xiàng).

【錯(cuò)解】去分母，得x+5-1=3x+2.

【剖析】去分母時(shí)，方程兩邊各項(xiàng)都應(yīng)乘以最簡(jiǎn)公分母，不能漏乘（常數(shù)項(xiàng)常被漏乘）.

【正解】去分母，得x+5-3=3x+2.

②分子少括號(hào).

【錯(cuò)解】去分母，得2x-1-x+2=12-x.

【剖析】分?jǐn)?shù)線除了代替“÷”外，還具有括號(hào)的作用，如果分子是一個(gè)多項(xiàng)式，應(yīng)該把它看作一個(gè)整體，用括號(hào)括起來.

【正解】去分母，得2（x-1）-（x+2）=3（4-x）.

（5）匆匆寫結(jié)果.

①錯(cuò)位相除.

例10 解方程：2x=3.

【剖析】系數(shù)化為1時(shí)方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)而不是常數(shù)，應(yīng)把未知數(shù)的系數(shù)作分母.

②除數(shù)為0.

例11 解關(guān)于x的方程：mx-2n=-2nx+m.【錯(cuò)解】原方程化為（m+2n）x=m+2n.

x=1.

【剖析】方程的兩邊都除以同一個(gè)數(shù)時(shí)，必須確保這個(gè)數(shù)不為0，所以要對(duì)m+2n是否為0進(jìn)行討論.

【正解】原方程化為（m+2n）x=m+2n.

當(dāng)m+2n≠0時(shí)，x=1；

當(dāng)m+2n=0時(shí)，原方程的解為任意實(shí)數(shù).

（6）錯(cuò)誤用性質(zhì).

【剖析】把分母中的小數(shù)化成整數(shù)是利用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，不是運(yùn)用等式的性質(zhì)，上述錯(cuò)解混淆了這兩個(gè)基本性質(zhì).

感悟：以上錯(cuò)誤究其原因，主要是對(duì)一元一次方程的概念內(nèi)涵和解方程時(shí)所用到的數(shù)學(xué)性質(zhì)掌握不牢所致.因此，在學(xué)習(xí)一元一次方程時(shí)，一定要正確認(rèn)識(shí)相關(guān)概念，正確理解相關(guān)性質(zhì)，從而提高自己的解題能力.

二、感悟“錯(cuò)”

1.樹立“正確解題”的意識(shí).

有的同學(xué)總是認(rèn)為自己會(huì)做，只不過粗心而已，或者認(rèn)為錯(cuò)這么一點(diǎn)沒多大關(guān)系，但實(shí)質(zhì)卻反映出學(xué)習(xí)過程的不嚴(yán)謹(jǐn)，對(duì)數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)認(rèn)識(shí)模糊，容易混淆，從而日漸退步.

2.養(yǎng)成“嚴(yán)謹(jǐn)思維”的習(xí)慣.

如從一元一次方程的概念中要能悟出四個(gè)識(shí)別要領(lǐng)，從表面看，方程要滿足“一元”和“一次”，但透過表面看本質(zhì)，為了能讓方程滿足“一元”和“一次”，就必須滿足“整式方程”和“一次項(xiàng)的系數(shù)不為0”的條件.解方程時(shí)，每做一步都要思考運(yùn)用到的性質(zhì)依據(jù)，如等式的基本性質(zhì)、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)等，做到“步步有據(jù)”.

3.掌握“剖析錯(cuò)誤”的方法.

同學(xué)們應(yīng)堅(jiān)持用好錯(cuò)題集，將解題過程中出現(xiàn)的錯(cuò)誤及時(shí)進(jìn)行自我小結(jié)、自我點(diǎn)評(píng)，不斷反思，避免類似的錯(cuò)誤再出現(xiàn).還可以在數(shù)學(xué)探究小組內(nèi)互相出一道自己做錯(cuò)過的同類題型，開展小組“互查互糾”活動(dòng)，從而讓自己對(duì)錯(cuò)誤的類型、原因有更深刻的認(rèn)識(shí)，并反思出糾正錯(cuò)誤的方法.

（作者單位：南京師范大學(xué)第二附屬初級(jí)中學(xué)）