孟少飛, 劉新學(xué)，楊 其，朱 濤

(1. 火箭軍工程大學(xué)，西安710025；2. 西安測繪總站，西安710054)

一種對地四重覆蓋星座構(gòu)型設(shè)計方法

孟少飛1, 劉新學(xué)1，楊 其1，朱 濤2

(1. 火箭軍工程大學(xué)，西安710025；2. 西安測繪總站，西安710054)

針對傳統(tǒng)星座設(shè)計中覆蓋模型求解困難，覆蓋性能統(tǒng)計不便等問題，提出一種基于二維圖的對地四重連續(xù)覆蓋星座構(gòu)型設(shè)計新方法。首先對傳統(tǒng)的二維空間坐標系進行了改進，利用球面幾何學(xué)分析了覆蓋圓與衛(wèi)星軌道的相對位置關(guān)系，建立二維圖和星座網(wǎng)格的解析數(shù)學(xué)模型。通過對數(shù)學(xué)模型的進一步分析，歸納與總結(jié)了二維圖的幾何性質(zhì)。將星座對緯度帶的覆蓋轉(zhuǎn)化為對緯度帶上任意點的二維圖的覆蓋，提出星座網(wǎng)格對二維圖的單重和四重連續(xù)覆蓋條件。在此基礎(chǔ)上，研究四重覆蓋星座構(gòu)型的設(shè)計與篩選方法，從而避開了覆蓋性能統(tǒng)計的復(fù)雜過程。最后對二維圖基本理論和星座設(shè)計方法進行了實例仿真，校驗了該方法的可行性。

星座構(gòu)型；球面幾何；二維圖；四重連續(xù)覆蓋

0 引 言

衛(wèi)星星座是航天事業(yè)的重要領(lǐng)域，星座構(gòu)型設(shè)計則是衛(wèi)星星座研究的重要內(nèi)容之一。星座構(gòu)型解析設(shè)計方法的研究最早可以追溯至20世紀60年代，Walker[1]和Lang[2-3]在球面幾何學(xué)的基礎(chǔ)之上對星座構(gòu)型的解析方法進行了深入的研究。之后雖然經(jīng)過半個多世紀的發(fā)展，但仍然以球面幾何的方法為主[4-5]。由于球面幾何的復(fù)雜性和解的局限性，當衛(wèi)星數(shù)量較多或覆蓋情況較為復(fù)雜時，往往很難得到解析的構(gòu)型設(shè)計方案。隨著計算機技術(shù)的發(fā)展，基于仿真計算的現(xiàn)代優(yōu)化算法也逐漸在星座構(gòu)型設(shè)計領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用與發(fā)展[6-8]。該方法往往需要借助仿真星座的覆蓋過程以統(tǒng)計星座的覆蓋性能，因此往往計算量較大。

二維圖理論出現(xiàn)于20世紀80年代，最早被應(yīng)用于星座構(gòu)型的覆蓋性能分析[9]。Ulybyshev[10-13]將其應(yīng)用到星座構(gòu)型設(shè)計問題，從而提出一種新的構(gòu)型設(shè)計思路。但其研究中依然沿用早期的二維空間坐標系，很難建立二維圖的解析模型。在二維圖的計算上仍然采用數(shù)值迭代的方法，在計算的快速性和精確性以及求解更復(fù)雜覆蓋問題上限制了該方法的發(fā)展。而國內(nèi)學(xué)者在研究星座覆蓋時多采用單元統(tǒng)計的方法[14-15]，使用二維圖進行覆蓋研究的相關(guān)文獻還較少。本文對這種方法進行了進一步研究，在二維圖數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建、特性分析以及應(yīng)用擴展上進行了深入的探討與完善。

1 二維圖基本理論

文獻[10]中對二維空間的定義為：以升交點赤經(jīng)Ω為x軸，以相位角u為y軸，衛(wèi)星在其軌道上的位置所組成的點形成的空間。二維圖則相應(yīng)的為衛(wèi)星對目標點可見的位置所組成的區(qū)域。設(shè)衛(wèi)星軌道為圓軌道，高度為1000 km，傾角為45°，衛(wèi)星最小可見角為15°；目標點經(jīng)度為180°E，緯度為30°N，則衛(wèi)星對目標點可見的二維圖如圖1所示。

當x軸采用升交點赤經(jīng)時，二維圖的計算需要考慮地球的旋轉(zhuǎn)，其數(shù)學(xué)模型為高階超越方程，很難用解析的方法求解，只能采用數(shù)值迭代的方法計算二維圖的邊界曲線。這里對二維圖的坐標軸進行調(diào)整，以衛(wèi)星軌道面與地球赤道的交點經(jīng)度作為衛(wèi)星軌道經(jīng)度L，代替升交點經(jīng)度Ω，從而建立了二維圖的解析數(shù)學(xué)模型，提高其邊界曲線計算的便利性、快速性。

按照二維圖形狀的不同，可以將二維圖分為3類：連通凸型，連通凹型和非連通型，如圖2所示。設(shè)衛(wèi)星軌道傾角為i，衛(wèi)星的覆蓋圓半徑為β，目標點的緯度為φ，則三種不同類型的二維圖所對應(yīng)的條件為(如圖3所示)：

連通凸型：φ≥i+β

連通凹型：i-β≤φlt;i+β

非連通型：φlt;i-β

二維空間一個重要優(yōu)點是星座的構(gòu)型在二維空間中可以用簡單的幾何網(wǎng)格進行表示。對于常用的Walker-δ構(gòu)型，其二維空間的表示如圖4所示。設(shè)星座的構(gòu)型參數(shù)為N/P/F，則其網(wǎng)格參數(shù)為

(1)

設(shè)首個軌道面首個衛(wèi)星的坐標為(L(1,1),u(1,1))，則第m軌道面的第n顆衛(wèi)星的坐標為

(2)

所有衛(wèi)星在二維空間的運動可以分解為衛(wèi)星沿軌道的運動和軌道面相對地球的轉(zhuǎn)動，因此衛(wèi)星坐標的導(dǎo)數(shù)為：

(3)

式中：ωs為衛(wèi)星軌道運動的角速度，ωe為地球自轉(zhuǎn)角速度。

2 二維圖的數(shù)學(xué)模型

二維圖的邊界計算主要分為兩部分，軌道經(jīng)度邊界(簡稱經(jīng)度邊界)和相位邊界。求解經(jīng)度邊界主要是求解軌道面與覆蓋圓相切的問題，求解相位邊界主要是求解軌道面與覆蓋圓相交的問題。

2.1經(jīng)度邊界數(shù)學(xué)模型

在經(jīng)度邊界，軌道面與覆蓋圓相切。設(shè)目標點經(jīng)緯度為(λc,φc)，當φc-β≤i≤φc+β時，有兩個軌道面與覆蓋圓相切。設(shè)此時的軌道經(jīng)度分別為Lb1，Lb2，切點的相位分別為u1，u2，對應(yīng)的軌道面與赤道面的交點為A1，A2，如圖5(a)所示。根據(jù)球面幾何，有：

(4)

如果ξlt;0，則ξ=ξ+π。同時還有：

(5)

l=arcsin(sinβ/sinξ)

(6)

設(shè)α=i+ξ，b1為C和A1之間的經(jīng)度差，則有

(7)

b2=π-b1

(8)

則二維圖的經(jīng)度邊界為：

(9)

(10)

α*=i-ξ

(11)

2.2相位邊界數(shù)學(xué)模型

(12)

可以推導(dǎo)出：

(13)

和

l2=arctan(tanβcosδ)

(14)

如果b=0，則有

(15)

如果b≠0，則有

(16)

則對應(yīng)的相位邊界為

(17)

3 二維圖的基本性質(zhì)及其覆蓋條件分析

3.1二維圖的基本性質(zhì)

對二維空間的坐標進行調(diào)整之后，可以得到二維圖邊界的解析數(shù)學(xué)模型，從而可以對二維圖的基本性質(zhì)進行分析研究。而基于二維圖的星座構(gòu)型設(shè)計方法則正是建立在二維圖的基本性質(zhì)和連續(xù)覆蓋條件基礎(chǔ)之上。通過研究分析，可以得到以下結(jié)論：

性質(zhì)1. 單個衛(wèi)星對單個目標點的覆蓋二維圖為中心對稱圖形，設(shè)目標點經(jīng)度為λc，則其對稱中心的坐標為(λc-π/2,π/2)。

性質(zhì)2.x軸為升交點赤經(jīng)時的二維圖可以看做x軸為軌道經(jīng)度時的二維圖的切變變換，變換矩陣為：

(18)

式中：ω=ωe/ωs。

性質(zhì)3.x軸為升交點赤經(jīng)時的二維圖也是中心對稱圖形，設(shè)目標點經(jīng)度為λc，則其對稱中心的坐標為(λc-π(1-ω)/2,π/2)。

性質(zhì)4. 對于i≤φc+β的情況，當覆蓋圓半徑縮小到0時，二維圖將縮小成兩個關(guān)于中心點對稱的極點。其中一個極點的坐標為

(19)

性質(zhì)5. 對于非連通二維圖，當目標點位于赤道上時，其每個半圖都是中心對稱圖形，其對稱中心為各自的極點。

以上性質(zhì)可以由球面幾何的相關(guān)知識得到證明，由于篇幅的限制，這里證明過程不再贅述。

3.2二維圖的四重連續(xù)覆蓋條件

由二維圖的定義可知，當衛(wèi)星進入目標點的二維圖時，衛(wèi)星能夠?qū)崿F(xiàn)對目標點的覆蓋。對于緯度相同而經(jīng)度不同的目標點，其二維圖是沿經(jīng)度平移的關(guān)系，同一衛(wèi)星對這些點的覆蓋位置也是平移的關(guān)系。對于同一緯度上的隨機點，其二維圖的平移量是隨機的。當將這些隨機的二維圖看做是重合且固定時，則衛(wèi)星的相對位置需要增加一個沿經(jīng)度的隨機量。雖然星座中衛(wèi)星的軌道可能為回歸軌道或者同星下點軌道，其運動軌跡可能是固定的，但增加沿經(jīng)度的隨機量后，其運動軌跡則變?yōu)殡S機的。因此當星座網(wǎng)格能在隨機移動條件下對某個二維圖進行連續(xù)覆蓋時，該星座在實際運動中可以實現(xiàn)對整個緯度帶的連續(xù)覆蓋。同樣，任意移動條件下能夠?qū)崿F(xiàn)對某個二維圖四重連續(xù)覆蓋的星座網(wǎng)格，也能實現(xiàn)對該緯度帶的四重連續(xù)覆蓋。這是連續(xù)覆蓋條件的研究思路。

如果由星座網(wǎng)格中任意三個衛(wèi)星組成的三角形中不包含有其他更小的三角形，則定義該三角形為星座網(wǎng)格的一個單位三角形。同樣的方法也適用于單位平行四邊形概念的定義。由于單重連續(xù)覆蓋條件是多重連續(xù)覆蓋條件的基礎(chǔ)，因此，首先提出單重連續(xù)覆蓋條件如下：

當連通凸型二維圖包含有星座網(wǎng)格的任一單位三角形時，在任意移動條件下，該星座網(wǎng)格可以實現(xiàn)對該二維圖的單重連續(xù)覆蓋。

通過對單重連續(xù)覆蓋條件的擴展，可以進一步得到四重連續(xù)覆蓋條件。對于連通凸型二維圖來說，其四重連續(xù)覆蓋的必要非充分條件為(見圖7)：

條件1：當連通凸型二維圖可以包含如圖7(a)所示的四個兩兩相鄰的單位平行四邊形所組成的復(fù)合平行四邊形或如圖7(c)所示的由四個依次相鄰的單位平行四邊形所組成的復(fù)合平行四邊形時，在任意時刻至少有一個單位平行四邊形完全處于二維圖內(nèi)，即二維圖在任意時刻至少可以包含四個星座網(wǎng)格頂點。

條件2：對于滿足條件1的星座網(wǎng)格，任意改變其相鄰軌道衛(wèi)星之間的相位差而形成的新的網(wǎng)格，仍能滿足在任意時刻至少有四個頂點在二維圖內(nèi)(如圖7(b)和圖7(d)所示)。

以上的條件可以用初等幾何知識進行證明，這里不再贅述。同樣用初等幾何知識，將以上結(jié)論進行擴展，即當連通凸型二維圖可以包含由四個單位平行四邊形組合形成的任意圖形時，該單位平行四邊形所組成的星座網(wǎng)格及其相位變化網(wǎng)格，都能滿足連續(xù)四重覆蓋的條件。但是以上兩種組合情況對應(yīng)的星座網(wǎng)格較為簡單直觀，便于星座構(gòu)型的設(shè)計，可以作為星座設(shè)計的基礎(chǔ)。

對于連通凹型和非連通型二維圖，可以將下半圖繞對稱中心旋轉(zhuǎn)180°，使下半圖和上半圖完全重合，而星座網(wǎng)格對下半圖的覆蓋則可以等效為一個與原網(wǎng)格運動方法完全相反的虛擬網(wǎng)格對上半圖的覆蓋。原星座網(wǎng)格和虛擬星座網(wǎng)格將會產(chǎn)生四類重合點，設(shè)其分別為“①”“②”“③”“④”，如圖8所示。如果二維圖的半圖包含一個某類重合點，星座網(wǎng)格運動到該類重合點附近時至少有兩個頂點包含于二維圖內(nèi)。因此當二維圖的半圖包含的每類重合點不少于兩個時，星座網(wǎng)格在該二維圖內(nèi)至少有4個頂點。在重合點的統(tǒng)計過程中，需要注意的是，對于連通凹型二維圖，中心對稱點必然是其中一個重合點，但考慮到中心對稱點可同時包含進兩個半圖中去，因此中心對稱點及其經(jīng)度上的重合點都應(yīng)看做是半個重合點。同時，對于首尾相連的二維圖，其經(jīng)度邊界上的重合點也應(yīng)該看做是半個重合點。

4 四重覆蓋星座構(gòu)型設(shè)計方法研究

4.1星座構(gòu)型初步設(shè)計

對于單位平行四邊形的第1種組合，如圖9所示，設(shè)連通凸型二維圖的經(jīng)度寬度LW=Lb1-Lb2，其中Lb1和Lb2分別為其經(jīng)度邊界，則星座軌道面?zhèn)€數(shù)P需滿足：

2π/Plt;LW/2

(20)

則有

(21)

運用第3.2節(jié)模型，計算中心對稱點前后一個經(jīng)度網(wǎng)格的相位邊界點，分別為A，B，C，D，且其相位跨度為uH=uA-uB，則星座每個軌道面的衛(wèi)星數(shù)S滿足：

2π/Slt;uH/2

(22)

則有

(23)

相應(yīng)的F的取值范圍為F=0,1,…,P-1。

同樣，對于平行四邊形的第2種組合，軌道面?zhèn)€數(shù)P需滿足：

2π/Plt;LW/4

(24)

因此

(25)

每個軌道面的衛(wèi)星數(shù)S滿足：

2π/Slt;uH

(26)

因此

(27)

F的取值范圍為F=0,1,…,P-1。

當P較小時，構(gòu)型不能滿足第2種情況的條件，此時以第1種情況的結(jié)果為主。當P較大時，第2種情況的結(jié)果往往比第1種情況的設(shè)計結(jié)果更優(yōu)，所需要的衛(wèi)星數(shù)量更少。因此在星座設(shè)計時，需要對于兩種情況的結(jié)果進行綜合，得到較優(yōu)的構(gòu)型結(jié)果。

4.2星座構(gòu)型的二次篩選

對于i≤φ≤i+β的整個緯度帶地區(qū)，用球面幾何可以證明，高緯度的二維圖可以完全包含于低緯度的二維圖內(nèi)。二維圖隨著緯度的變化關(guān)系如圖10所示。能夠包含于高緯度二維圖的復(fù)合平行四邊形也可以包含于低緯度的二維圖，即可以滿足高緯度地區(qū)四重連續(xù)覆蓋的星座也可以滿足低緯度地區(qū)的連續(xù)覆蓋。所以在星座設(shè)計時，只需要以最高緯度點的二維圖為基礎(chǔ)進行星座設(shè)計，所得到的星座構(gòu)型可以滿足i≤φ≤i+β整個緯度帶的四重連續(xù)覆蓋要求。

對于φlt;i的緯度帶地區(qū)，由于其二維圖為非凸型，直接進行星座網(wǎng)格設(shè)計比較復(fù)雜。為了簡化設(shè)計過程，可以在以連通凸型二維圖為基礎(chǔ)設(shè)計的星座構(gòu)型基礎(chǔ)上，采用緯度帶驗證法。具體方法就是將φlt;i地區(qū)劃分為多條微小的單元緯度帶，以每條單元緯度帶中心緯度作為該緯度帶的緯度進行連續(xù)覆蓋驗證，從而對以上設(shè)計結(jié)果進行二次選擇。如果某一構(gòu)型能夠?qū)崿F(xiàn)對所有單元緯度帶的四重連續(xù)覆蓋，則該構(gòu)型能夠?qū)崿F(xiàn)對整個區(qū)域的四重連續(xù)覆蓋。圖11為星座設(shè)計的整個流程圖。

對于低緯度的非連通型二維圖，其覆蓋情況比較復(fù)雜，很難用解析的方法直接進行構(gòu)型設(shè)計。雖然需要采用劃分緯度條帶的方法依次對構(gòu)型進行篩選，但覆蓋的情況則可用二維圖解析模型和連續(xù)覆蓋條件直接進行判斷，而不需要仿真整個覆蓋過程，因此屬于半解析的方法，相比于采用各種進化算法并需要不斷進行覆蓋仿真的現(xiàn)代設(shè)計方法，減小了計算量和計算時間。

5 仿真分析

仿真1.設(shè)計能夠?qū)崿F(xiàn)全球連續(xù)四重覆蓋的衛(wèi)星星座構(gòu)型。其中衛(wèi)星軌道為圓軌道，高度為20200 km，軌道傾角為55°，星載設(shè)備的信號最小可見角為5°。

采用基于二維圖的星座設(shè)計方法，對星座構(gòu)型進行設(shè)計與篩選?；谒闹馗采w條件中兩種單位平行四邊形的組合方式，設(shè)計結(jié)果如表1所示。

從表1可以看出，當P值較小時，星座構(gòu)型不滿足組合2的條件，設(shè)計結(jié)果以組合1的結(jié)果為主；當P增大時，組合2所對應(yīng)的結(jié)果所需要的衛(wèi)星數(shù)量明顯少于組合1的結(jié)果所需要的衛(wèi)星數(shù)量。同時還可以看出，當P≥3時，組合1對應(yīng)的結(jié)果中S的值都為6；當P≥5時，組合2對應(yīng)的結(jié)果中S的值都為3。這是因為當緯度為90°時，目標點的二維圖為首尾相連近乎矩形的條狀凸型(見圖12)，對應(yīng)的最小相位寬度為133.527°。根據(jù)式(23)可知組合1對應(yīng)的最小的S值為6，根據(jù)式(27)可知組合2對應(yīng)的最小S值為3。

表1 兩種組合方式對應(yīng)的設(shè)計結(jié)果Table 1 The results of the two compound modes

結(jié)合STK軟件對兩種組合對應(yīng)的構(gòu)型結(jié)果進行仿真分析，并以我國陸地為覆蓋區(qū)域，將各種構(gòu)型的平均幾何精度因子(Geometric dilution of precision,GDOP)值進行比較，如圖13所示。從圖13可以看出，組合2的結(jié)果所需衛(wèi)星數(shù)少于組合1的結(jié)果，而組合1的結(jié)果平均GDOP值小于組合2的結(jié)果。

仿真2. 在仿真1的基礎(chǔ)上，分析15/3/2構(gòu)型的覆蓋情況。

從表1可以看出，15/3/2不在可以滿足全球四重連續(xù)覆蓋的構(gòu)型之列。從第4.2節(jié)的覆蓋條件4可以看出，15/3/2能夠滿足連通凸型二維圖的連續(xù)四重覆蓋，即該構(gòu)型能夠滿足緯度55°以上地區(qū)的連續(xù)四重覆蓋。將緯度55°以下地區(qū)進行微小緯度帶的劃分，并逐條驗證其覆蓋情況。以bool型變量Y表示其是否能滿足對當前緯度帶的連續(xù)四重覆蓋，通過不斷細化緯度帶，得到如表2所示結(jié)果。

表2 15/3/2構(gòu)型對緯度帶的覆蓋情況Table 2 Coverage performance of the configuration 15/3/2 for the latitude belts

從表2可以看出，該星座構(gòu)型不能實現(xiàn)對緯度區(qū)間30°～38°的四重連續(xù)覆蓋。采用STK軟件對該星座構(gòu)型的覆蓋情況進行校驗，結(jié)果如圖14所示。從圖14可以看出，分析結(jié)果與實際驗證情況較為吻合。

6 結(jié) 論

基于二維圖的星座構(gòu)型設(shè)計是星座構(gòu)型設(shè)計中的新方法，還需要更加深入與廣泛的研究與發(fā)展。通過對二維空間的坐標系的調(diào)整，利用球面幾何的方法建立了二維圖的解析幾何模型，同時對二維圖的基本幾何性質(zhì)進行了深入研究，從而完善二維圖理論，擴展二維圖在星座構(gòu)型設(shè)計上的應(yīng)用與發(fā)展。創(chuàng)造性地將星座對緯度帶的連續(xù)覆蓋轉(zhuǎn)化為對緯度帶上任一點二維圖的連續(xù)覆蓋，分析了星座網(wǎng)格的四重連續(xù)覆蓋條件。在此基礎(chǔ)上，采用直接設(shè)計和驗證篩選兩種思路，提出了四重覆蓋星座構(gòu)型的設(shè)計方法，避開了復(fù)雜的覆蓋性能統(tǒng)計過程。最后通過實例仿真，說明了模型的正確性，以及星座構(gòu)型設(shè)計方法的有效性。

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AConstellationDesignMethodforQuadrupleContinuousEarthCoverage

MENG Shao-fei1, LIU Xin-xue1, YANG Qi1, ZHU Tao2

(1.Rocket Force University of Engineering, Xi’an 710025, China; 2. Xi’an Surveying and Mapping Technological Center, Xi’an 710054, China)

Aiming at the intricate coverage models and inconvenient coverage statistics, a new design method for a quadruple continuous coverage constellation is proposed based on the two-dimensional maps. The preceding two-dimensional space coordinate system is improved and the analytic models of the two-dimensional maps are built via the analysis of the relative positions between the coverage circles and satellite orbits using the spherical geometric knowledge. The models are further studied and the geometric properties of the two-dimensional maps are concluded. By conversion from the continuous coverage of the latitude belt to the continuous coverage of one two-dimensional map in the belt, the single and quadruple continuous coverage conditions are put forward. On this basis, the design and screening methods of the constellation configuration for quadruple continuous coverage are integrated to avoid the complex statistics process of the coverage performance. Finally, the simulation for the two-dimensional theory and constellation design method suggests the feasibility of the new method.

Constellation configuration; Spherical geometry; Two-dimensional maps; Quadruple continuous coverage

V448

A

1000-1328(2017)11- 1160- 08

10.3873/j.issn.1000- 1328.2017.11.004

2017- 03- 06;

2017- 09- 04

孟少飛(1989-)，男，博士生，主要從事飛行動力學(xué)與制導(dǎo)，衛(wèi)星星座構(gòu)型設(shè)計等方面的研究。

通信地址：陜西省西安市灞橋區(qū)同心路2號(710025)

電話：13572098502

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