楊茗棋，胡 敏，楊雅君，郭光衍

(1.航天工程大學航天裝備系，北京 101416；2. 航天工程大學航天指揮系，北京 101416)

基于電磁力的集群航天器構形維持自抗擾控制

楊茗棋1，胡 敏2，楊雅君2，郭光衍1

(1.航天工程大學航天裝備系，北京 101416；2. 航天工程大學航天指揮系，北京 101416)

針對基于電磁力的集群航天器構形控制強非線性和模型不確定性的問題，提出一種無需線性化或解耦便能夠實現(xiàn)構形維持的自抗擾控制方法(ADRC)。首先建立遠場電磁力/力矩模型和集群航天器相對運動動力學模型；在此基礎上，通過設計由最速跟蹤微分器(TD)、非線性擴張狀態(tài)觀測器(NLESO)及非線性反饋控制律(NLSEF)組成的自抗擾控制器，實現(xiàn)集群航天器期望相對運動位置、速度的實時估計，同時能夠對模型不確定性和外部干擾進行估計和補償。仿真結果表明，本文設計的控制器能夠實現(xiàn)基于電磁力的集群航天器構形維持高精度控制，滿足集群航天器構形維持控制的控制要求，其快速性和抗擾性都明顯優(yōu)于有限時間控制(FTC)。

集群航天器；電磁力控制；構形維持；自抗擾控制；擴張狀態(tài)觀測器

0 引 言

傳統(tǒng)分布式航天器相對運動控制主要依靠推力器，存在推進劑消耗限制任務壽命、近距離羽流可能污染光學載荷、控制不連續(xù)等問題，學者們提出利用航天器之間產生的可控場力進行相對運動控制，可控場力包括庫侖力[1]、flux-pinned效應力、電磁場力等，其中電磁場力是目前研究較為系統(tǒng)、應用更為明確的解決方案。電磁編隊飛行是一個較新的概念，采用三個正交的高溫超導線圈實現(xiàn)衛(wèi)星編隊的相對控制[2]。集群航天器[3]這一概念是所有分布式航天器概念中最新提出的，基于電磁力的集群航天器與整星相比可靠性更高、成本更低、靈活性更強。針對集群航天器的電磁控制、電磁交會對接和電磁編隊在模型建立、控制方法的選取、作用機理等方面區(qū)別不大，因此可以互相借鑒。

電磁控制對象具有強非線性、強耦合性、遠場模型不確定性的特點。由于系統(tǒng)線性化的前提條件是要求非線性動力學模型準確，但這一前提條件在控制工程實踐中很難滿足；目前采用的非線性控制方法雖然控制精度較高，但設計較復雜、計算量大[4]。自抗擾控制不僅設計方法簡單，而且針對非線性、強耦合的系統(tǒng)有很好的控制效果；無需將系統(tǒng)線性化直接進行設計，避免了需要準確的動力學模型，且工程可實現(xiàn)性強。

自抗擾控制技術在很多領域都有非常廣泛的應用[5]，但在航空航天領域中，這種控制方法多被應用于姿態(tài)控制[6]，關于相對運動控制的研究較少。文獻[7]全面比較了針對航天器姿態(tài)的自抗擾控制與滑模控制的性能，對比分析得出自抗擾控制器具有更強的抗干擾能力和魯棒性。文獻[8]提出了一種針對電磁對接的新型控制器，該控制器結合了人工勢能控制、Lyapunov穩(wěn)定性理論和擴張狀態(tài)觀測器(Extended state observer, ESO)的優(yōu)點。文獻[9]采用自抗擾控制方法進行空間交會對接軌道控制，但該問題中的動力學模型與航天器相對運動動力學模型相比較簡單。文獻[10]通過分別設計主、從航天器的自抗擾控制器解決了航天器編隊問題，但是沒有與其他控制方法進行比較，不能夠充分突出自抗擾控制技術的優(yōu)勢。

本文通過設計一種自抗擾控制器，對基于電磁力的集群航天器進行軌道控制，實現(xiàn)集群航天器相對構形維持的自抗擾控制。首先建立了電磁力/力矩模型和航天器相對運動動力學模型；然后將兩模型結合作為控制對象進行自抗擾控制器設計；最后通過仿真校驗自抗擾控制器的有效性，并與有限時間控制器的性能進行對比分析和抗擾性仿真分析，得出結論。

1 電磁力/力矩模型建立

電磁力/力矩模型是研究電磁力系統(tǒng)動力學和控制問題的基礎。電磁作用力和力矩建模主要依據(jù)電磁場的基本理論。根據(jù)畢奧-薩法爾定律，可以求出載流線圈在空間某點產生的磁感應強度，進而根據(jù)安培定律，求得線圈在磁場中受到的電磁力[11]。

Schweighart[12]提出了近場模型、中場模型和遠場模型三種星間電磁力模型，其中遠場模型忽略線圈尺寸，從數(shù)學上看是近場模型的一階線性化，便于計算和控制設計。假設兩電磁線圈中心距超過線圈半徑6.76倍時，該種模型誤差小于10%[13]。當兩個載流線圈相距較遠時，可以看作兩個磁偶極子，遠場模型中兩個磁偶極子的三維示意圖如圖1所示。

磁偶極子的強度μ表示為：

(1)

式中：n為線圈匝數(shù)，I為線圈電流，Rc為線圈半徑。磁偶極子的方向與線圈電流方向符合右手法則。

假設共有N個航天器，第j個航天器在第i個航天器的位置上產生的磁場強度可以表示為：

(2)

式中：rij是第i個航天器和第j個航天器的相對位置矢量，rij是rij的模，μj表示安裝在第j個航天器上的三個正交線圈產生磁矩的和。

第j個航天器對第i個航天器的電磁力和力矩可以表示為[13]：

(3)

將式(2)代入式(3)可得電磁力和力矩表達式為：

(4)

(5)

由式(4)和式(5)可知，電磁力和力矩分別與兩航天器距離的四次方和三次方成反比，因此電磁力/力矩模型具有強非線性。對基于電磁力的集群航天器的控制，實際上是對線圈內電流的控制。通過控制電流改變電磁力時，電磁力矩也會隨之改變，兩者耦合使控制與期望結果產生偏差。因此，電磁力/力矩模型具有非線性、強耦合和模型不確定的特點。

為便于分析，本文假設利用反作用飛輪完成航天器的姿態(tài)控制，在建模過程中不考慮電磁力矩對相對運動的影響。本文將電磁遠場模型的不確定性視為外界總擾動的一部分，通過自抗擾控制器中的非線性反饋控制律進行補償，提高了計算精度。

2 航天器相對運動動力學模型

航天器近距離相對運動一般均采用Hill模型，基本都以參考航天器的質心軌道坐標系為參考系建立，且假設參考航天器沿近圓軌道運動[14]。然而，由于參考航天器實時受到星間電磁力作用，無論是電磁裝置間相對位置/姿態(tài)變化，還是電磁裝置磁矩矢量變化，都會引起兩航天器運動狀態(tài)的改變，其軌道為非開普勒類型。對于電磁力控制集群航天器，星間電磁力/力矩屬于內力/力矩范疇，具有不改變系統(tǒng)質心運動和角動量、機械能守恒等特性，因此本文基于Hill模型，以航天器系統(tǒng)質心(Center of mass，CoM)作為參考坐標系，建立基于電磁力的集群航天器相對運動模型，如圖2所示。相對運動模型建立過程中考慮多種攝動力，包括地球非球形J2項攝動、大氣阻力攝動、潮汐攝動、太陽光壓攝動等。由于星間電磁力不影響系統(tǒng)質心運動狀態(tài)，航天器系統(tǒng)質心的運動軌跡可認為一直保持為圓軌道。

令參考航天器和環(huán)繞航天器相對于系統(tǒng)質心參考系的位置矢量分別表示為

(6)

則環(huán)繞航天器相對參考航天器的位置、速度及加速度矢量滿足

(7)

航天器系統(tǒng)質心的軌跡為圓軌道，即參考航天器和環(huán)繞航天器相對于系統(tǒng)質心參考系的運動滿足Hill模型假設?；贖ill模型分別建立參考航天器和環(huán)繞航天器相對系統(tǒng)質心參考系的動力學模型：

(8)

(9)

(10)

將式(9)與式(8)相減，得到集群航天器系統(tǒng)相對運動動力學模型：

(11)

式中：fd為等效干擾加速度，fd=fCd-fTd。

由集群航天器系統(tǒng)相對運動動力學模型可以看出，每個軸的動力學模型都是非線性的，且各軸相互耦合，這給控制律的設計帶來了困難。本文通過對每個軸分別設計自抗擾控制器，無需將模型線性化和解耦，解決了系統(tǒng)非線性和強耦合問題。

3 自抗擾控制器設計

首先，將航天器相對運動動力學模型(11)中每個軸的相對運動動力學模型化簡為

(12)

(13)

首先設計跟蹤微分器，對航天器系統(tǒng)期望相對位置進行跟蹤并對其微分量(即期望相對速度)進行計算。設計的跟蹤微分器(Tracking differentiator, TD)為：

(14)

式中：h為采樣時間；r0為決定過渡過程快慢的參數(shù)；v1，v2分別為x軸期望相對位置ρd x的跟蹤量及其微分；最速函數(shù)ffast(x1,x2,r0,h)的表達式為

(15)

基于航天器的相對構形，能夠推導出兩航天器間的相對位置，將三個軸的相對位置ρd作為期望量分別輸入各軸的自抗擾控制(Active disturbance rejection control, ADRC)器。以x軸為例，跟蹤微分器能夠實時跟蹤相對位置，得到該軸期望相對位置ρd x的跟蹤量v1，并實時計算出期望相對速度v2。

設計離散的三階非線性擴張狀態(tài)觀測器(Nonlinear extended state observer, NLESO)：

因為信息不暢通等原因[3]，這些儀器設備往往只在課題組或學院內部使用，存在閑置浪費現(xiàn)象，專業(yè)化服務能力也有待提高。另一方面，一些剛剛入校的年輕教師因為經(jīng)費不足，沒有能力購買需要的科研設備[4]；有些院系和科研院所有跨學科跨行業(yè)科研的需求；有些企業(yè)或個人因為技術創(chuàng)新研究或其他原因，也需要儀器設備，社會各界對于科研設施與儀器設備的開放共享具有廣泛而迫切的需求。

(16)

(17)

利用NLESO輸出的估計量z3，通過設計非線性誤差反饋控制律，實現(xiàn)對外界干擾和系統(tǒng)模型不確定性進行實時補償，如下所示:

(18)

式中：ξ1,ξ2是觀測量z1,z2的誤差；c為誤差反饋因子，在誤差反饋中起著阻尼的作用；r為非線性誤差反饋控制律中決定過渡過程快慢的參數(shù)；h1為精度因子，決定跟蹤目標值的跟蹤精度；u0為誤差反饋控制律。

將相對位置、速度的期望值與觀測值相減得到相對位置誤差e1和相對速度誤差e2，通過設計非線性反饋控制律u0，最終得到自抗擾控制器的控制量uA x,包括兩部分:一部分是基于系統(tǒng)狀態(tài)誤差設計的非線性反饋控制律，另一部分是未知系統(tǒng)模型和擾動的狀態(tài)觀測值的補償[10]。最終實現(xiàn)反饋誤差趨近于零，即航天器間的相對位置、速度由初始相對位置、速度達到期望相對位置、速度。

由于自抗擾控制器中參數(shù)較多，參數(shù)整定較難。本文根據(jù)文獻[15]提出的方法進行參數(shù)整定，如式(19)所示，并進行適當調整，最終選取ADRC控制器參數(shù)。

(19)

4 仿真校驗

本節(jié)通過仿真校驗設計的自抗擾控制器的有效性，并從控制效果和抗擾性能兩方面將ADRC與有限時間控制(Finite-time control，F(xiàn)TC)進行對比分析。

當兩航天器的相對位置誤差大于2.5 m時開始進行控制，由仿真結果可知，控制器從第9390 s起控。總仿真時間為4 h，采樣周期h=1 s。每個攜帶電磁線圈的航天器的質量均為36 kg[13]。假設參考航天器和環(huán)繞航天器的磁矩方向共軸。

表1至表3分別給出了參考航天器的初始軌道參數(shù)，集群航天器相對構形參數(shù)和Hill系中初始相對構形參數(shù)。

表1 參考航天器的初始軌道參數(shù)Table 1 Initial orbital elements of the reference orbit

表2 集群航天器間的相對構形參數(shù)Table 2 Spacecraft cluster configuration parameters

表3 Hill系中初始相對構形參數(shù)Table 3 Initial relative states in the Hill frame

4.1ADRC與FTC對比分析

三軸的控制器設置相同參數(shù)，ADRC的設計參數(shù)為：

表4 ADRC的設計參數(shù)Table 4 The ADRC parameters

有限時間控制律及其參數(shù)分別如式(20)和表5所示[13]。

(20)

表5 有限時間控制的參數(shù)Table 5 The FTC parameters

不考慮外界干擾時，自抗擾控制器的控制效果如圖4所示。由圖4(a)可知，理想情況下，兩航天器的相對運動軌跡最終與期望相對運動軌跡重合，即實現(xiàn)了集群航天器系統(tǒng)的構形維持。由圖4(b)和圖4(c)可知，ADRC各軸的控制量和兩航天器間的電磁力最終都趨近于零。由此，驗證了ADRC的有效性。

無外界干擾時，將ADRC與FTC的控制效果進行對比分析。各軸相對位置誤差和到達穩(wěn)態(tài)的時間分別如圖5和表6所示。

表6 無外界干擾時控制器各軸的調整時間Table 6 Transition time of relative position error without external disturbance

由圖5和表6可知，在無外界干擾的自抗擾控制下，航天器系統(tǒng)相對位置誤差的調整時間遠小于有限時間控制；然而其超調量較大，但在無干擾條件下，均不超過1 m，在允許范圍內。

與有限時間控制相比，自抗擾控制的控制量較大，由圖4(b)可知，最大控制量為x軸的控制量，約3 m/s2，控制精度能夠滿足針對基于電磁力的集群航天器的軌道控制要求，因此ADRC在實際控制中更具有優(yōu)勢。

進一步分析ADRC和FTC兩種控制器的控制律，如圖6所示。由圖6可知，與FTC相比，ADRC的控制律變化曲線較平滑，而FTC的抖振現(xiàn)象較嚴重，容易激發(fā)系統(tǒng)的高頻未建模動態(tài)。同時FTC控制律設計時引入了相對位置及其誤差的微分信號，但在工程實踐中，沒有合適的微分器能夠直接測量實際行為變化速度；而ADRC控制器中利用跟蹤微分器提取微分信號，便于工程實現(xiàn)。

4.2抗擾性對比仿真分析

對ADRC和FTC進行抗擾性仿真分析，仿真中從控制器起控時開始，假設各軸外界干擾量(包括不可預測和工程實際中的干擾總和)為d=0.001sin(0.05t) m/s2。存在外界干擾時，得到兩種控制器作用下各軸相對位置誤差和到達穩(wěn)態(tài)的時間分別如圖7和表7所示。

對比分析圖5和圖7、表6和表7可知，存在外界干擾與理想情況相比，兩控制器的調整時間和穩(wěn)態(tài)誤差均有所增加，但是FTC相比之下受到外界干擾的影響較大，調整時間增加較多，而ADRC控制系統(tǒng)受到外界干擾后仍能夠較快實現(xiàn)構形維持，且各軸調整時間增加量不大。綜上所述，ADRC的抗擾性較FTC更強。

表7 存在外界干擾時控制器各軸的調整時間Table 7 Transition time of relative position error with external disturbance

進一步分析存在外界干擾時，外界干擾及ESO對包括外界干擾和模型不確定性的總擾動的估計，如圖8所示。從圖8可以看出，ADRC中的NLESO能夠很好地估計外界干擾，x，y，z軸分別經(jīng)過43 s，55 s，54 s便可實現(xiàn)總擾動的有效估計。

上述抗擾性試驗結果表明，ADRC與FTC相比不僅具有較強的抗擾性，而且能夠對總擾動進行實時估計并補償。

5 結 論

針對基于電磁力的集群航天器系統(tǒng)復雜性和模型不確定性的問題，設計了一種進行構形維持控制的自抗擾控制方法，并驗證了該方法的有效性。該控制算法設計方法簡單，無需將模型線性化或解耦即可進行控制律設計，且具有工程可實現(xiàn)性；但是參數(shù)較難整定，且控制量較大。在此基礎上比較自抗擾控制與有限時間控制的控制效果，并進行了抗擾性對比仿真分析。仿真結果表明，該控制器不僅能夠實現(xiàn)對期望相對運動位置、速度的實時估計，同時還能夠對包括模型不確定性和外部干擾的總擾動進行估計并補償，控制精度能夠滿足對基于電磁力的集群航天器的軌道控制要求，其快速性和抗擾性都明顯優(yōu)于有限時間控制。

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ActiveDisturbanceRejectionControlforConfigurationMaintenanceofElectromagneticallyControlledSpacecraftCluster

YANG Ming-qi1, HU Min2, YANG Ya-jun2, GUO Guang-yan1

(1.Department of Space Equipment， Space Engineering University，Beijing 101416，China；2.Department of Space Command，Space Engineering University，Beijing 101416，China)

An active disturbance rejection control (ADRC) method for configuration maintenance that does not require linearizing or decoupling is proposed for the electromagnetically controlled spacecraft clusters with nonlinearity and electromagnetic force model uncertainty. Firstly, the far-field electromagnetic force/torque and spacecraft relative models are presented. A time-optimal tracking differentiator (TD), a nonlinear extended state observer (NLESO) and nonlinear state error feedback (NLSEF) control law are then designed. The designed ADRC can estimate the expected relative positions and velocities in real time, observe the relative positions and velocities, and also estimate and compensate the model uncertainty and disturbances online. Finally, the simulation results indicate that the ADRC is effective and can achieve high precision control. In contrast to the finite-time control (FTC), the ADRC performs much superior in celerity and ability in disturbance rejection.

Spacecraft cluster; Electromagnetic control; Configuration maintenance; Active disturbance rejection control; Extended state observer

V448.2

A

1000-1328(2017)11- 1204- 08

10.3873/j.issn.1000- 1328.2017.11.009

2017- 05- 27;

2017- 08- 31

國家自然科學基金(61403416)

楊茗棋(1993-)，女，碩士生，主要從事集群航天器動力學與控制方面的研究。

通信地址：北京3380信箱79號(101416)

電話：(010)66364652

E-mail: 1110410320@hit.edu.cn