江立輝，牛 欣，汪 冉，汪 成

(1.合肥學(xué)院數(shù)學(xué)與物理系，安徽 合肥 230601；2.合肥學(xué)院機(jī)械工程系，安徽 合肥 230601)

基于拉普拉斯變換的二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)的參數(shù)研究*

江立輝1，牛 欣1，汪 冉1，汪 成2

(1.合肥學(xué)院數(shù)學(xué)與物理系，安徽 合肥 230601；2.合肥學(xué)院機(jī)械工程系，安徽 合肥 230601)

為了研究二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)中固有頻率和阻尼比這兩個(gè)參數(shù)，運(yùn)用牛頓第二定律構(gòu)建微分方程數(shù)學(xué)模型，并利用拉普拉斯變換理論，說(shuō)明了傳遞函數(shù)中的固有頻率和阻尼比這兩個(gè)重要參數(shù)表達(dá)式的正確性和合理性.從固有頻率和阻尼比的實(shí)際含義出發(fā)，對(duì)它們的計(jì)算公式進(jìn)行詳細(xì)證明，從而加深對(duì)二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)參數(shù)的理解，并將其更好地運(yùn)用到實(shí)際問(wèn)題中.

二階系統(tǒng)；傳遞函數(shù)；固有頻率；阻尼比；拉普拉斯變換

引言

二階系統(tǒng)是控制系統(tǒng)的一種基本組成形式，在實(shí)際問(wèn)題中，二階系統(tǒng)的典型應(yīng)用極為普遍[1～3].因此，對(duì)二階系統(tǒng)進(jìn)行研究具有較大的實(shí)際意義.而在二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)中，有兩個(gè)極其重要的參數(shù)即為固有頻率ωn和阻尼比ξ.只要分析固有頻率ωn和阻尼比ξ的值的大小，就能較方便地求得任何二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能.但是現(xiàn)有的教材以及相關(guān)的資料是直接給出了這兩個(gè)參數(shù)的計(jì)算公式，并未結(jié)合參數(shù)的實(shí)際意義對(duì)公式的正確性與合理性進(jìn)行說(shuō)明，因此初學(xué)者會(huì)對(duì)這兩個(gè)參數(shù)的表達(dá)式的給出感到突兀，從而無(wú)法深入理解固有頻率ωn和阻尼比ξ對(duì)二階系統(tǒng)的影響.

本文從固有頻率ωn和阻尼比ξ的基本含義出發(fā)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用拉普拉斯變化的知識(shí)[4～5]，證明了這兩個(gè)參數(shù)公式的正確性和合理性，從而促使初學(xué)者更進(jìn)一步地理解這兩個(gè)參數(shù).

1 問(wèn)題的引入

較常見(jiàn)的二階系統(tǒng)模型為質(zhì)量塊-彈簧-阻尼器模型，而其他的二階系統(tǒng)模型與其本質(zhì)相同，因此在二階系統(tǒng)的推導(dǎo)中采用質(zhì)量塊-彈簧-阻尼器模型，如圖1所示.

圖1 二階機(jī)械系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖

在圖1中，物體受到外力的作用，其中m是物體的質(zhì)量，k是彈簧的剛度系數(shù)，c是阻尼器的阻力系數(shù)，x(t)是輸入系統(tǒng)的關(guān)于時(shí)間變化的合力，y(t)是系統(tǒng)輸出的關(guān)于時(shí)間變化的位移，則根據(jù)牛頓第二定律得：

my″(t)+cy′(t)+ky(t)=x(t)

(1)

設(shè)輸入輸出函數(shù)的拉普拉斯變換為L(zhǎng)[x(t)]=X(s),L[y(t)]=Y(s),則對(duì)于式(1)有：

m(s2Y(s)-sy(0)-y′(0))+c(sY(s)-y(0))+kY(s)=X(s)

(2)

在傳遞函數(shù)的推導(dǎo)過(guò)程中，初始條件為零，即y(0)=0,y′(0)=0,則根據(jù)傳遞函數(shù)的定義可以得到：

(3)

對(duì)式(3)進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算可得：

(4)

(5)

基于上述過(guò)程中對(duì)二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)的推導(dǎo),可以看出固有頻率ωn和阻尼比ξ對(duì)二階系統(tǒng)的重要性，但是在相關(guān)資料中未對(duì)這兩個(gè)參數(shù)進(jìn)行詳細(xì)的說(shuō)明和解釋.

2 固有頻率和阻尼比的表達(dá)式證明

2.1固有頻率的表達(dá)式證明

固有頻率是二階系統(tǒng)中一個(gè)重要的參數(shù)，是指系統(tǒng)在做自由振動(dòng)時(shí)的振動(dòng)頻率，即不考慮系統(tǒng)的阻尼，給予系統(tǒng)相應(yīng)的激勵(lì)所產(chǎn)生的振動(dòng)的振動(dòng)頻率.固有頻率表達(dá)式推導(dǎo)條件如圖2所示.

圖2 固有頻率表達(dá)式推導(dǎo)條件示意圖

在圖2中，開(kāi)始剛度系數(shù)為k的彈簧保持原長(zhǎng)，后經(jīng)過(guò)力的作用彈簧被拉長(zhǎng)x0的距離，此時(shí)撤去力的作用，釋放彈簧，釋放時(shí)為零時(shí)刻，根據(jù)牛頓第二定律得到：

mx″(t)=-kx(t)

(6)

設(shè)L[x(t)]=X(s)，則對(duì)式(6)進(jìn)行拉普拉斯變換可以得到：

m(s2X(s)+sx(0)+x′(0))=-kX(s)

(7)

在零時(shí)刻，物體的位移x(0)=x0，物體的速度x′(0)=0，由此可以得到：

m(s2X(s)+sx0)=-kX(s)

(8)

對(duì)式(8)進(jìn)行代數(shù)變換則有：

(9)

對(duì)式(9)進(jìn)行反拉普拉斯變換可得：

(10)

2.2阻尼比的表達(dá)式證明

阻尼是指使自由振動(dòng)衰減的各種摩擦和其他阻礙作用，而阻尼比是指阻尼系數(shù)與臨界阻尼系數(shù)之比，從某種意義上，阻尼比的大小決定阻尼對(duì)自由振動(dòng)的衰減作用的大小.在整個(gè)阻尼比的求解過(guò)程中，臨界阻尼系數(shù)的求解至關(guān)重要，而臨界阻尼系數(shù)是指當(dāng)阻力使振動(dòng)物體剛好能不作周期性振動(dòng)而又能最快地回到平衡位置的情況.根據(jù)上述定義得：

(11)

根據(jù)式(4)，為系統(tǒng)輸入單位階躍響應(yīng)，則根據(jù)傳遞函數(shù)的定義可得：

(12)

(13)

對(duì)式(13)拉普拉斯反變換可得：

(14)

對(duì)式(14)進(jìn)行求導(dǎo)可得：

(15)

對(duì)式(15)進(jìn)行化簡(jiǎn)可得：

(16)

由式(16)可以看出，響應(yīng)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)是隨著余弦函數(shù)正負(fù)的變化而變化，因此，響應(yīng)函數(shù)同時(shí)存在單調(diào)遞增和單調(diào)遞減的區(qū)間，因此響應(yīng)函數(shù)是振蕩的.

(17)

對(duì)式(17)拉普拉斯反變換可得：

(18)

對(duì)式(18)進(jìn)行求導(dǎo)可得：

(19)

在式(19)中可以直接看出y′(t)大于零恒成立，因此輸出y(t)整個(gè)響應(yīng)過(guò)程中不出現(xiàn)振蕩過(guò)程.

(20)

對(duì)式(20)拉普拉斯反變換可得：

(21)

對(duì)式(21)進(jìn)行求導(dǎo)可得：

(22)

在式(22)中可以直接看出y′(t)大于零恒成立，因此輸出y(t)整個(gè)響應(yīng)過(guò)程中不出現(xiàn)振蕩過(guò)程.

3 結(jié)語(yǔ)

本文旨在以拉普拉斯變換為工具直接推導(dǎo)出固有頻率和阻尼比的表達(dá)式.整個(gè)推導(dǎo)過(guò)程中，緊緊圍繞系統(tǒng)的響應(yīng)函數(shù)，并根據(jù)系統(tǒng)的響應(yīng)函數(shù)得出結(jié)論.二階系統(tǒng)在日常生活中具有重要的地位，而其參數(shù)固有頻率和阻尼比從根本上決定了二階系統(tǒng)的性能.因此，通過(guò)對(duì)固有頻率和阻尼比的表達(dá)式進(jìn)行深入淺出的推導(dǎo)，并且以?xún)烧叩膶?shí)際含義為出發(fā)點(diǎn)，能從根本上理解這個(gè)兩個(gè)參數(shù)如何對(duì)二階系統(tǒng)產(chǎn)生影響，從而加深對(duì)二階系統(tǒng)的認(rèn)識(shí).

[1]王顯正，莫錦秋，王旭永．控制理論基礎(chǔ)[M]．第2版．北京：科學(xué)出版社，2007：194-200．

[2]王華．控制工程基礎(chǔ)[M]．北京：北京航空航天大學(xué)出版社，2011：81-91．

[3]徐泰燕．拉氏變換在自動(dòng)控制理論中的應(yīng)用 [J]．科技信息，2013(12)：112．

[4]劉建亞．復(fù)變函數(shù)與積分變換[M]．第2版．北京：高等教育出版社，2011：203-209．

[5]鐘玉泉．復(fù)變函數(shù)論[M]．第4版．北京：高等教育出版社，2013：224-235．

TheParameterResearchofSecond-orderSystemTransferFunctionBasedonTheLaplaceTransform

JIANG Li-hui1, NIU Xin1, WANG Ran1, WANG Cheng2

(1. Department of Maths and Physics, Hefei University, Hefei Anhui 230601,China;2. Department of Mechanical Engineering, Hefei University, Hefei Anhui 230601,China)

In order to study the two order natural frequency and damping ratio in the second-order system transfer function, this paper uses the Newton’s Second Law to establish the mathematical model of differential equation and explain the two important parameters’ correctness and rationalization based on The Laplace Transform. Based on the actual meanings and related detailed proofs, the parameters of second-order system transfer function are deeply understood and better used in the actual problems.

second-order system; transfer function; inherent frequency; damping ratio ; The Laplace Transform

1673-2103(2017)05-0007-04

2017-04-06

安徽省質(zhì)量工程項(xiàng)目(2015jyxm321,2015mooc077,2015jyxm320);國(guó)家大學(xué)生創(chuàng)新項(xiàng)目(201411059009,201511059026,201611059129);安徽省大學(xué)生創(chuàng)新項(xiàng)目(201511059018,201611059341)

江立輝(1980-),男,安徽省黃山市人,副教授,碩士,研究方向:預(yù)測(cè)與決策分析.

牛欣(1972-),女,安徽省阜陽(yáng)市人,副教授,碩士,研究方向:計(jì)算數(shù)學(xué),數(shù)值分析.

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