周曉燕,林椿濤,林巧霞,陳錦煌

(1.福州職業(yè)技術學院公共教育部, 福州 福建 350108) (2.福州大學數(shù)學與計算機科學學院, 福州 福建 350116)

具有HollingⅡ類功能性反應的偏利模型動力學行為研究*

周曉燕1,林椿濤2,林巧霞2,陳錦煌2

(1.福州職業(yè)技術學院公共教育部, 福州 福建 350108) (2.福州大學數(shù)學與計算機科學學院, 福州 福建 350116)

本文主要研究具有飽和效應的偏利種群模型，假設兩種群間的合作關系用HollingII類功能性反應來刻畫, 提出一類非自治非線性的兩種群偏利關系模型,該系統(tǒng)是無條件持久的. 其后通過構(gòu)造適當?shù)腖yapunov函數(shù),并給出了一組保證系統(tǒng)全局吸引的充分性條件,條件表明當種內(nèi)競爭足夠大, 而種間合作比較小時, 系統(tǒng)是穩(wěn)定的.

持久性；Lyapunov函數(shù)；全局吸引性

引言

種間合作關系是最為重要的一種種間關系之一,作為合作關系的一種特例,偏利合作關系近年來得到了學者們的高度重視, 見[1～6]. 然而, 至今為止, 所有有關偏利種群模型都是基于Lotka-Volterra兩種群合作模型為基礎提出的,也就是說, 他們均假設種間合作具有線性關系,眾所周知, 隨著種群數(shù)量的增大, 合作效益會出現(xiàn)飽和情形, 因此, 考慮具有飽和效應的偏利種群模型就成了非常有必要的事情. 本文假設兩種群間的合作關系用HollingII類功能性反應來刻畫, 提出如下非自治非線性的兩種群偏利關系模型：

(1)

其中a(t),b(t),c(t),d(t),e(t) 均為正的有上下界的連續(xù)函數(shù).x1(t)是第一個種群在t時刻的生長密度.x2(t)是第二個種群在t時刻的生長密度.

1 持久性

引理1方程系統(tǒng)(1)的具有初值x1(0)>0，x2(0)>0的解恒為正的.

證明由方程(1)等價于

易知x1(t)>0,x2(t)>0. 引理證畢.

定理1方程(1)恒為持久的，即存在于系統(tǒng)的解無關的常數(shù)mi,Mi，i=1,2，使得

(2)

證明由方程(1)的第二個方程有

(3)

由引理1可知有

m2M2.

(4)

(5)

(5)結(jié)合方程(1)的第一個方程可知當t>T時有

(6)

從而由引理1有

(7)

令ε→0，可知有

(8)

由(8)知對前述ε>0，存在T1>T，當t>T1時，有

x1(t)

(9)

因此可知當t>T1時也有

(10)

從而由引理1有

令ε→0，可知有

(11)

定理1證畢.

定理1表明對若初始條件下兩個種群的數(shù)量均大于零，則存在大于零的上下界M1,M2,m1,m2，那么隨著時間的發(fā)展，兩種群數(shù)量滿足：m1

2 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

定理2若

(12)

證明由定理條件(12)可知對足夠小的正數(shù)ε>0，有

(13)

m1-ε

(14)

(15)

沿著方程(1)的正解計算V(t)的右上導數(shù)，當t>T2時，借助(14)有

其中

對上式兩邊從T2到t進行積分，知當t≥0時

于是

所以有

因此有

由此得

定理2證畢.

3 結(jié)論

本文首次提出具有飽和效應的兩種群偏利模型, 研究表明該系統(tǒng)是無條件持久的. 通過構(gòu)造適當?shù)腖yapunov函數(shù), 給出了一組保證系統(tǒng)全局吸引的充分性條件, 表明當種內(nèi)競爭足夠大, 而種間合作比較小時, 系統(tǒng)是穩(wěn)定的.

[1]孫廣才，孫歡.兩種群共生關系的模型分析[J].渭南師范學院學報，2013,28(9):5-8.

[2]祝占法，栗永安，徐芳.具有偏利關系的Lotka-Volterra模型[J].重慶工學院學報(自然科學版)，2007,21(10):59-62.

[3]楊麗婭, 韓榮玉, 薛亞龍, 等.一方不能獨立生存的非自治偏利合作模型研究[J]. 三明學院學報, 2014, 31(6): 15-18.

[4]薛亞龍, 韓榮玉, 楊麗婭, 等. 非自治偏利合作模型周期正解的存在性與吸引性[J]. 三明學院學報, 2015, 32(2): 24-27.

[5]Xiangdong Xie, Zhansshuai Miao, Yalong Xue. Positive periodic solution of a discrete Lotka-Volterra commensal symbiosis model[J].Communications in Mathematical Biology and Neuroscience, 2015(2):1-10.

[6]Zhanshuai Miao, Xiangdong Xie, Liqiong Pu. Dynamic behaviors of a periodic Lotka-Volterra commensal symbiosis model with impulsive[J]. Communications in Mathematical Biology and Neuroscience,2015(3):1-15.

[7]陳鳳德，謝向東.合作種群模型動力學行為研究[M].北京:科學出版社,2014.

OnDynamicBehaviorofBiasedModewithHollingIIFunctionalResponse

ZHOU Xiao-yan1, LIN Chun-tao2, LIN Qiao-xia2, CHEN Jin-huang2

(1.Department of Public Education, Fuzhou Polytechnic, Fuzhou Fujian 350108, China) (2.School of Mathematics and Computer Science, Fuzhou University, Fuzhou Fujian 350116, China)

This paper studies the biased population model with saturation effect. It assumes that the cooperative relation between two populations is characterized by Holling II with functional response and puts forwards a class of non-autonomous and nonlinear model with two biased populations. This system is unconditional and lasting and a set of sufficient conditions to guarantee the overall attractivity is given, which shows the system will be stable when intraspecific competition is large enough while inter species cooperation is relatively small.

persistence; Lyapunov function; overall attractivity

1673-2103(2017)05-0016-04

2017-5-20

福建省自然科學基金(2015J01012, 2015J01019)

周曉燕(1984-)，女，福建福州人，講師，碩士，研究方向：應用數(shù)學.

O193

A