甘肅 杜紅全

正、余弦定理高考題型歸類解析

甘肅 杜紅全

正弦定理和余弦定理是高中數(shù)學(xué)的一個重要內(nèi)容，也是高考的熱點. 正、余弦定理的考查常與同角三角函數(shù)的關(guān)系、誘導(dǎo)公式、和差倍角公式，甚至三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、數(shù)列、向量等交匯命題，多以解答題的形式出現(xiàn)，屬于解答題中的低檔題.下面舉例說明在高考中考查的形式，供同學(xué)們復(fù)習(xí)時參考.

一、求邊長或邊長的取值范圍

【例2】(2015·全國卷Ⅰ理)在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2,則AB的取值范圍是________.

二、求角或角的三角函數(shù)值

【例3】(2015·全國卷Ⅱ文)在△ABC中，D是BC上的點，AD平分∠BAC，BD=2DC.

(Ⅱ)若∠BAC=60°，求∠B.

點評：本題考查了兩角和的正弦公式、正弦定理以及角平分線定理.三角形的邊角關(guān)系，往往是利用正弦定理把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，通常放在一個三角形中，求角度時，把三個角轉(zhuǎn)化為兩個角，兩個角轉(zhuǎn)化為一個角，根據(jù)三角函數(shù)的值及角的范圍求出角，變量歸一是解題的關(guān)鍵.

三、判斷三角形的形狀

【例4】(2012·上海理)在△ABC中，若sin2A+sin2Blt;sin2C，則△ABC的形狀是

( )

A．銳角三角形 B.直角三角形

C. 鈍角三角形 D.不能決定

點評：本題主要考查正、余弦定理. 判斷三角形的形狀主要有兩種方法：①化邊為角；②化角為邊；轉(zhuǎn)化的依據(jù)就是正、余弦定理.

四、求面積或面積的最大值

( )

點評：本題考查了余弦定理的應(yīng)用及三角形面積公式. 解答本題的關(guān)鍵是由余弦定理和已知條件求得ab=6.涉及解三角形問題，要熟練運用余弦定理及其推論，同時還要注意整體思想、方程思想在解題過程中的運用.

【例6】(2014·全國卷Ⅰ理)已知a,b,c分別為△ABC的三個內(nèi)角A,B,C的對邊，a=2，且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC，則△ABC面積的最大值為________.

點評：本題考查了正、余弦定理，三角形面積公式以及均值不等式.解答本題的關(guān)鍵是正確使用正、余弦定理求出∠A=60°,特別注意a與2之間的轉(zhuǎn)化.

五、求周長

【例7】(2016·全國卷Ⅰ理)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a，b，c，已知2cosC(acosB+bcosA)=c.

(Ⅰ)求C；

點評：本題考查了正、余弦定理，三角形面積公式以及兩角和正弦公式的逆用. 解答本題的關(guān)鍵是求出ab和a+b的值.三角函數(shù)與三角形的邊角關(guān)系是每年高考的重點，常用的解題策略就是利用正弦定理進行邊角的互化，都變?yōu)檫吇蚨甲優(yōu)榻?，再利用三角函?shù)公式進行化簡求值;涉及到三角形的面積要適當(dāng)?shù)睦妹娣e公式，借助于余弦定理或正弦定理進行求解，特別要注意解答第二問可以借助第一問的結(jié)果求解.

六、解決實際問題

點評：本題考查了運用正、余弦定理解決簡單的實際問題.解決此類問題關(guān)鍵是把實際問題轉(zhuǎn)化為三角形的邊角關(guān)系，進而利用正、余弦定理解此三角形.

七、與其他知識的綜合問題

【例9】(2014·陜西理)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.

(Ⅰ)若a，b，c成等差數(shù)列，證明：sinA+sinC=2sin(A+C)；

(Ⅱ)若a，b，c成等比數(shù)列，求cosB的最小值.

分析：在(Ⅰ)問中結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，得出a,b,c之間的關(guān)系，再利用正弦定理轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，進而結(jié)合三角形內(nèi)角和為π，利用誘導(dǎo)公式將角B轉(zhuǎn)化為用角A和C來表示，從而達到證明目標(biāo)等式;在(Ⅱ)問利用等比數(shù)列基本性質(zhì)，得出a,b,c之間關(guān)系，再結(jié)合余弦定理，表達出cosB的式子，根據(jù)基本不等式得出其范圍，注意等號成立的條件.

解：(Ⅰ)證明：因為a，b，c成等差數(shù)列，所以a+c=2b.

由正弦定理得sinA+sinC=2sinB.

因為sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)，

所以sinA+sinC=2sin(A+C).

(Ⅱ)因為a，b，c成等比數(shù)列，所以b2=ac.

甘肅省康縣教育局教研室)