湖北 李紅春 孔 峰

對一道湖北省調(diào)考試題的思考

湖北 李紅春 孔 峰

由湖北省教育學會主辦的2017年湖北省高三四月調(diào)考結(jié)束了，其中理科第12題引發(fā)了廣大教師的普遍關(guān)注，筆者有幸和命題者——武漢市教科院孔峰老師圍繞此題的源頭、命題意圖和解題方法當面展開深入交流.下面就是筆者和孔峰老師的所思所想，希望對大家的教學有所啟發(fā).

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1.試題的命制

命制試題有原創(chuàng)和改編兩種途徑，絕大多數(shù)題是從以往的陳題中改編的，這些試題包括往屆的高考真題、各地的調(diào)考題、競賽題、課本習題等.數(shù)學命題的策略有改造(包括引參、連壁、取意、更境)、構(gòu)造(包括構(gòu)圖和構(gòu)式)及創(chuàng)造，特別指出的是往屆高考試題一直是新高考試題的重要來源，我們的高考命題專家一直重視傳承和相互借鑒，他們堅持“命題是一種自然的發(fā)展，不會有突變，不能隔斷歷史”的觀點.本題就是由2009年全國高考卷理科第16題改編而成.

2.試題的定位

考卷中的試題往往可以分為五類，分別是：①平庸試題： 考查某單一的知識點,如某個概念或某種運算.②基礎(chǔ)試題：考查兩個或兩個以上的知識點，需作一些判斷，選擇合適的方法.③中檔試題：考查多個知識點，需選擇合理方法，對概念及公式理解要很準確.④中高檔試題：考查多個知識點，需要靈活地選取數(shù)學方法和數(shù)學思想，綜合分析、思考，正確決策，才能解決問題.⑤壓軸題：考查知識點不一定多，但需要的方法要更合理，技巧要更高，考查創(chuàng)新思維和綜合運用知識的能力，對解題方向性與途徑的選擇合理性要求要更高.數(shù)學命題要突出試題的層次性，對文科考生的考查重視數(shù)學知識的工具性與直觀性、形象性,強調(diào)知識運用的熟練性.而對理科考生的考查突出數(shù)學概念的深刻性和抽象性，強調(diào)知識運用的靈活性與合理性.本題作為選擇題的最后一題，屬于壓軸題，有著較大的區(qū)分度，考查的知識點不多，但要求對知識融會貫通，對計算的合理性有充分的預(yù)測，某些變形技巧性強.

3.試題的解法

選填題的命制一般遵循“活”與“寬”的原則，即解題運用的不是死知識，而是將熟悉的、基本的東西“拿”來解決陌生的問題.好的試題能體現(xiàn)小中見大，解題入口寬，解法思路廣等特點.本題在解法上具有較強的靈活性與多樣性，內(nèi)涵豐富，解法多樣，精彩紛呈，給考生提供了充分展現(xiàn)自己才華和能力的空間.

視角1：選直線的斜率為變量

=(y1-y2)(x1-x2)

=k(x1-x2)2

=k[(x1+x2)2-4x1x2]

視角2：選直線的傾斜角為變量

視角3：選弦心距為變量

視角4：借助直線的參數(shù)方程

解法1是通法，借助設(shè)而不求的思想，將四邊形的面積表示為斜率k的函數(shù)，再借助導(dǎo)數(shù)求解，體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)的普遍工具性價值；解法2充分考慮了圓的特殊性，在表示弦長時用了垂徑定理，其中將二倍角的正弦轉(zhuǎn)化為斜率k是難點，這就需要我們熟練理解斜率與傾斜角的關(guān)系，熟練掌握“化弦為切”的變形技巧；解法3以直線的傾斜角為變量，直接從圖形出發(fā)，尋找邊角關(guān)系，體現(xiàn)了平面幾何知識在解析幾何中的應(yīng)用價值，另外，對三角函數(shù)先換元再求導(dǎo)，大大簡化了計算；解法4選擇弦心距作為變量，較為簡潔；解法5選用直線的參數(shù)方程求解，計算量小，凸顯了選考內(nèi)容的工具價值，解法4和解法5對多元均值不等式的合理使用，特別是配湊的技巧要求較高，適合有競賽經(jīng)歷的學生.

4.啟示

武漢黃跛區(qū)第一中學盤龍校區(qū) 武漢市教育科學研究院)