山西 李有貴 廣東 朱 歡 安徽 郭洪利 江蘇 王懷學(xué)

高中數(shù)學(xué)變式題組訓(xùn)練一
——初高中教材銜接代數(shù)部分復(fù)習(xí)

山西 李有貴 廣東 朱 歡 安徽 郭洪利 江蘇 王懷學(xué)

1.數(shù)域的擴(kuò)充：數(shù)的分類(lèi);二次根式；有理化因式;

2.式子的運(yùn)算：合并同類(lèi)項(xiàng)與通分;多項(xiàng)式恒等對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等;利用恒等式將分式裂項(xiàng);

3.多項(xiàng)式乘法與分解因式：立方和差公式;完全立方和差公式;十字相乘法;

4.一元二次方程的根：判別式;韋達(dá)定理;

5.方程組：二元一次方程組；二元二次方程組;

6.二次函數(shù)：解析式的待定系數(shù)求法;最值與變化趨勢(shì);平移變換;對(duì)稱(chēng)變換.

【題組訓(xùn)練】

1．?dāng)?shù)域的擴(kuò)充

1.1 數(shù)的分類(lèi)

【典例】判斷下列說(shuō)法正確的是________.

(1)0是既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)；

(2)0不是自然數(shù)；

(3)-1是負(fù)數(shù)，但不是整數(shù)，更不是奇數(shù)；

(4)2是最小的質(zhì)數(shù)；

(7)方程x2+1=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根.

【解析】實(shí)數(shù)分為正數(shù)、負(fù)數(shù)、零，因此(1)正確；

由于計(jì)數(shù)的需要，就產(chǎn)生了1，2，3，4等數(shù)以及表示“沒(méi)有”的數(shù)0，都是自然數(shù)，(2)錯(cuò)誤；

能被2整除的整數(shù)是偶數(shù)，如2，0，-2，…，記為2k(k為整數(shù))，不能被2整除的整數(shù)是奇數(shù)，如-1，1，3，…，記為2k+1(k為整數(shù)).-1是負(fù)整數(shù)，也是奇數(shù)，(3)錯(cuò)誤；

如果一個(gè)大于1的正整數(shù)，只能被1和它本身整除，那么這個(gè)正整數(shù)叫做質(zhì)數(shù)(素?cái)?shù))，如2,3,5,7,11,13,17,19，…，如果一個(gè)正整數(shù)能被1和它本身除外的正整數(shù)整除，那么這個(gè)正整數(shù)叫做合數(shù)，(4)正確；

因?yàn)閤2≥0，所以方程x2=-1沒(méi)有實(shí)數(shù)根，(7)正確．

因此(1)(4)(7)正確．

【變式】判斷下列說(shuō)法正確的是

(1)正整數(shù)是正數(shù)也是實(shí)數(shù)；

(2)自然數(shù)都是正整數(shù)；

(3)整數(shù)可以分為奇數(shù)和偶數(shù)；

(4)質(zhì)數(shù)都是正整數(shù)；

(5)小數(shù)都是無(wú)理數(shù)；

(6)有的無(wú)理數(shù)是分?jǐn)?shù).

1.2 二次根式

【典例】求值．

(1)9的平方根；(2)125的立方根；(3)27的3次方根；(4)-32的5次方根；(5)16的4次方根．

【解析】(1)因?yàn)?±3)2=9，則±3是9的平方根．

(2)53=125，則5是125的立方根．

【變式】

1.若x2=25,則x=________．

2.若(x-2)2=16,則x=________．

3.若x4=25,則x=________．

1.3 有理化因式

【變式】

( )

A.alt;blt;cB.alt;clt;b

C.blt;alt;cD.blt;clt;a

對(duì)于甲，乙兩位同學(xué)的解法，其中做的正確是________．

2．式子的運(yùn)算

2.1 合并同類(lèi)項(xiàng)與通分

(2)2-22-23-24-25-…-218-219+220.

(2)因?yàn)?n+1-2n=2n,

所以，原式=2-22-23-24-25-…-218+219=2-22-23-24-25-…+218=……=2+22=6.

【變式1】

1.若x2+mx-10=(x+a)(x+b),其中a,b為整數(shù)，則m的值為

( )

A．3或9 B．±3

C．±9 D．±3或±9

3.多項(xiàng)式(x+1)(x+2)(x+3)·…·(x+2 016)的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_______，其多項(xiàng)式的次數(shù)是________；最高次項(xiàng)系數(shù)是________．

4.定義：i2=-1，則將(1-i)(1+2i)2利用乘法法則，表示為p+qi(p,q是實(shí)數(shù))的形式，則p+q=________．

5.已知i2=-1，類(lèi)比多項(xiàng)式的乘法計(jì)算

【變式2】

2.2 多項(xiàng)式恒等對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等

【典例】已知兩個(gè)多項(xiàng)式kx+b，k(kx+b)+b在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，不論x取什么實(shí)數(shù)值代入兩式總是相等的，求k,b的值．

【評(píng)注】多項(xiàng)式恒等的定義：設(shè)f(x)和g(x)是含相同變量x的兩個(gè)多項(xiàng)式，f(x)≡g(x)表示這兩個(gè)多項(xiàng)式恒等．就是說(shuō)x在取值范圍內(nèi)，不論用什么實(shí)數(shù)值代入，等式總是成立的．符號(hào)“≡”讀作“恒等于”，也可以用等號(hào)表示恒等式．例如：(x+3)2=x2+6x+9,5x2-6x+1=(5x-1)(x-1),x3-39x-70=(x+2)(x+5)(x-7)都是恒等式，這些式子展開(kāi)后對(duì)應(yīng)項(xiàng)相等．

【變式】

1.已知x2-3x-a2=(x-3)(x+b)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，不論x取什么實(shí)數(shù)值，式子總是成立的，則a+b=________．

2.已知x3-3x-2=(x+m)(x2+nx-2)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，不論x取什么實(shí)數(shù)值，式子總是成立的，則mn=________．

3.已知a(x+1)2+b(x+1)+c=ax2+(2+b)x+c+1，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，不論x取什么實(shí)數(shù)值，式子總是成立的，求a,b的值．

2.3 利用恒等式將分式裂項(xiàng)

【解析】

x2-x+2=A(x-3)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x-3)

=A(x2-x-6)+Bx2+2Bx+Cx2-3Cx

=(A+B+C)x2+(-A+2B-3C)x-6A．

【變式】

3.多項(xiàng)式乘法與分解因式

3.1 立方和差公式

【典例】計(jì)算：

(1)(4+m)(16-4m+m2);

【解析】(1)原式=43+m3=64+m3;

【評(píng)注】立方和公式(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3；立方差公式(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3．

平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2；完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2；(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac).

【變式】

1.計(jì)算(1)(3x-2y+1)(3x+2y-1)；(2)(3a+2b+1)(3a-2b+1)；(3)(3x+y+1)(3x-y-1).

2.計(jì)算(1)(3x-2y+z)2；(2)(x-1)(x-2)(x-3)·(x-4).

3.2 完全立方和差公式

【典例】計(jì)算(x-y)3.

【解析】(x-y)3=(x-y)2(x-y)=(x2-2xy+y2)(x-y)=x3-x2y-2x2y+2xy2+xy2-y3=x3-3x2y+3xy2-y3.

【評(píng)注】?jī)蓴?shù)和的立方公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3;

兩數(shù)差的立方公式(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3.

【變式】計(jì)算(1)(x-2y)3；(2)(x+2)4.

3.3 十字相乘法

【典例】把a(bǔ)1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2分解因式．

【解析】a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2=a1a2x2+a1c2x+a2c1x+c1c2=a1x(a2x+c2)+c1(a2x+c2)=(a1x+c1)(a2x+c2).

這種借助畫(huà)十字交叉線(xiàn)分解系數(shù)，從而將二次三項(xiàng)式分解因式的方法，叫做十字相乘法．

必須注意，分解因數(shù)及十字相乘都有多種可能情況，所以往往要經(jīng)過(guò)多次嘗試，才能確定一個(gè)二次三項(xiàng)式能否用十字相乘法分解．

【變式】

1.將下列多項(xiàng)式因式分解：

(1)12x2-5x-2；(2)12x2-23x-2;(3)12x2-25x+2；(4)12x2-11x+2.

2.將下列多項(xiàng)式因式分解：

(1)15x2-2xy-8y2；(2)15x2+14xy-8y2；(3)15x2-7xy-8y2；(4)15x2+19xy-8y2；(5)15x2-19xy-8y2；(6)15x2+2xy-8y2．

4．一元二次方程的根

4.1 判別式

【典例】討論一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情況.

因?yàn)閍≠0，所以，4a2gt;0．于是

【變式】判定下列關(guān)于x的方程的根的情況(其中a為常數(shù))，如果方程有實(shí)數(shù)根，寫(xiě)出方程的實(shí)數(shù)根．(1)x2-ax+(a-1)=0；(2)x2-2x+a=0．

4.2 韋達(dá)定理

【典例】已知：x1,x2為一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個(gè)根，

【變式】

1．若方程2x2-4x-3=0的兩根為α,β，則α2-2αβ+β2=________．

2.設(shè)x1,x2是方程2x2-4x-3=0的兩個(gè)根，則(x1+1)(x2+1)=________.

3.已知方程5x2+kx-6=0的一個(gè)根是2，求它的另一個(gè)根及k的值．

4.已知兩個(gè)不等實(shí)數(shù)m,n滿(mǎn)足m2-2m=a,n2-2n=a,m2+n2=5，求實(shí)數(shù)a的值.

5.已知對(duì)于任意實(shí)數(shù)a關(guān)于x的方程x2+(a-1)x+ab-2=0都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

5.方程組

5.1 二元一次方程組

【解析】(1)+(2)得2x=14m，所以x=7m.

(1)-(2)得2y=-4m,所以y=-2m.

把x=7m,y=-2m代入方程2x-3y=9得

2×7m-3×(-2m)=9,

【評(píng)注】1．加減消元法：將一個(gè)(或兩個(gè))方程兩邊同乘以一個(gè)數(shù),使得某一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)，再將得到的方程相加(減)就可以消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程.這種解二元一次方程組的方法叫做加減消元法，簡(jiǎn)稱(chēng)加減法．

2．代入消元法：解方程組的基本思路是“消元”．即把“二元”變?yōu)椤耙辉保饕襟E是：將其中一個(gè)方程中的某個(gè)未知數(shù)用含有另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示出來(lái)，并將其代入另一個(gè)方程中，從而消去一個(gè)未知數(shù)，化二元一次方程組為一元一次方程.這種解方程組的方法稱(chēng)為代入消元法，簡(jiǎn)稱(chēng)代入法．

【變式】

5.2 二元二次方程組

【解析】(1)代入(2)得(kx+2)2=4x,

即k2x2+4(k-1)x+4=0,

當(dāng)k=0時(shí)，方程為一元一次方程，有一解x=1，y=2;

【評(píng)注】(1)解由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組的步驟：

①由二元一次方程變形為用x表示y的方程，或用y表示x的方程(3)；

②把方程(3)代入二元二次方程；

③解消元后得到的一元二次方程；

④把一元二次方程的根，代入變形后的二元一次方程(3)，求相應(yīng)的未知數(shù)的值；

⑤寫(xiě)出答案．

(2)消x，還是消y，應(yīng)由二元一次方程的系數(shù)來(lái)決定．若系數(shù)均為整數(shù)，那么最好消去系數(shù)絕對(duì)值較小的.

(3)消元后，求出一元二次方程的根，應(yīng)代入二元一次方程求另一未知數(shù)的值，不能代入二元二次方程求另一未知數(shù)的值，因?yàn)檫@樣可能產(chǎn)生增根，這一點(diǎn)切記．

【變式】

6．二次函數(shù)

6.1解析式的待定系數(shù)求法

【典例】已知二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(-3，0)，(1，0)，且頂點(diǎn)到x軸的距離等于2，求此二次函數(shù)的表達(dá)式．

【解析】(法1)因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(-3，0)，(1，0)，

【評(píng)注】二次函數(shù)有三種形式：1．一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)；2．頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中頂點(diǎn)坐標(biāo)是(h,k)；3．交點(diǎn)式(兩根式)：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)，其中x1,x2是二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法．用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)男问剑拍苁菇忸}簡(jiǎn)便．一般來(lái)說(shuō)，有如下幾種情況：

1．已知拋物線(xiàn)上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選用一般式；

2．已知拋物線(xiàn)頂點(diǎn)或?qū)ΨQ(chēng)軸或最大(小)值，一般選用頂點(diǎn)式；

3．已知拋物線(xiàn)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式；

4．已知拋物線(xiàn)上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)，常選用頂點(diǎn)式．

【變式】

1.已知某二次函數(shù)的最大值為2，圖象的頂點(diǎn)在直線(xiàn)y=x+1上，并且圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,-1)，求二次函數(shù)的解析式．

2.已知二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)A(-1,-22),B(0,-8),C(2,8)，求此二次函數(shù)的表達(dá)式．

6.2 最值與變化趨勢(shì)

【典例】某產(chǎn)品每件成本10元，試銷(xiāo)階段每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)x(元)與產(chǎn)品的日銷(xiāo)售量y(件)之間的關(guān)系如下表：

x(元)152030…y(件)252010…

若日銷(xiāo)售量y是銷(xiāo)售價(jià)x的一次函數(shù)．

(1)求出日銷(xiāo)售量y(件)與銷(xiāo)售價(jià)x(元)的函數(shù)關(guān)系式；

(2)要使每日的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大，每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)應(yīng)定為多少元？此時(shí)每日銷(xiāo)售利潤(rùn)是多少元？

(2)設(shè)每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)應(yīng)定為x元，所獲銷(xiāo)售利潤(rùn)為w元,

則w=(x-10)(40-x)=-x2+50x-400=-(x-25)2+225，

產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)應(yīng)定為25元，此時(shí)每日獲得最大銷(xiāo)售利潤(rùn)為225元．

【變式】

1.二次函數(shù)y=x2-4x-7的最小值是

( )

A．-11 B．7

C．11 D．-3

( )

A．y1lt;y2lt;y3B．y2lt;y1lt;y3

C．y3lt;y1lt;y2D．y1lt;y3lt;y2

3.若x1,x2(x1lt;x2)是方程(x-a)(x-b)=1(alt;b)的兩個(gè)根，則實(shí)數(shù)的大小關(guān)系為

( )

A.x1lt;x2lt;alt;bB.x1lt;alt;x2lt;b

C.x1lt;alt;blt;x2D.alt;x1lt;blt;x2

4.已知二次函數(shù)y=-x2+bx+3的圖象的對(duì)稱(chēng)軸是x=-2，則該函數(shù)的最大值是________．

5.已知拋物線(xiàn)y=-2(x+3)2-1，如果y隨x的增大而減小，那么x的取值范圍是________．

6.關(guān)于x的一元二次方程ax2-3x-1=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根都在-1和0之間(不包括-1和0)，則a的取值范圍是________.

6.3 平移變換

【典例】求把二次函數(shù)y=2x2-4x+3的圖象經(jīng)過(guò)下列平移變換后得到的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式：

(1)向右平移2個(gè)單位，向下平移1個(gè)單位；

(2)向上平移3個(gè)單位，向左平移2個(gè)單位．

【解析】二次函數(shù)y=2x2-4x+3的解析式可變?yōu)閥=2(x-1)2+1，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)．

(1)把函數(shù)y=2(x-1)2+1的圖象向右平移2個(gè)單位，向下平移1個(gè)單位后，其函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(3，0)，所以，平移后所得到的函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式就為y=2(x-3)2．

(2)把函數(shù)y=2(x-1)2+1的圖象向上平移3個(gè)單位，向左平移2個(gè)單位后，其函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-1，4)，所以，平移后所得到的函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式就為y=2(x+1)2+4．

【評(píng)注】由于平移變換只改變函數(shù)圖象的位置而不改變其形狀(即不改變二次項(xiàng)系數(shù))，所以只改變二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)位置(即只改變一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng))，所以，首先將二次函數(shù)的解析式變形為頂點(diǎn)式，然后，再依據(jù)平移變換后的二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)位置求出平移后函數(shù)圖象所對(duì)應(yīng)的解析式．

【變式】

1.把二次函數(shù)y=-x2的圖象向左平移1個(gè)單位，然后向上平移3個(gè)單位，則平移后的圖象對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的關(guān)系式為

( )

A．y=-(x-1)2-3 B．y=-(x+1)2-3

C．y=-(x-1)2+3 D．y=-(x+1)2+3

2.把拋物線(xiàn)y=-2x2向上平移1個(gè)單位，得到的拋物線(xiàn)是

( )

A．y=-2(x+1)2B．y=-2(x-1)2

C．y=-2x2+1 D．y=-2x2-1

6.4 對(duì)稱(chēng)變換

【典例】求把二次函數(shù)y=2x2-4x+1的圖象關(guān)于下列直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)后所得到圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式：

(1)直線(xiàn)x=-1；

(2)直線(xiàn)y=1．

【解析】(1)由y=2x2-4x+1=2(x-1)2-1可知，函數(shù)y=2x2-4x+1圖象的頂點(diǎn)為A(1,-1)，所以，關(guān)于直線(xiàn)x=-1對(duì)稱(chēng)后所得到圖象的頂點(diǎn)為A1(-3,-1)，所以，二次函數(shù)y=2x2-4x+1的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=-1對(duì)稱(chēng)后所得到圖象的函數(shù)解析式為y=2(x+3)2-1，即y=2x2+12x+17．

(2)由y=2x2-4x+1=2(x-1)2-1可知，函數(shù)y=2x2-4x+1圖象的頂點(diǎn)為A(1,-1)，所以，關(guān)于直線(xiàn)y=1對(duì)稱(chēng)后所得到圖象的頂點(diǎn)為B(1,3)，且開(kāi)口向下，所以，二次函數(shù)y=2x2-4x+1的圖象關(guān)于直線(xiàn)y=1對(duì)稱(chēng)后所得到圖象的函數(shù)解析式為y=-2(x-1)2+3，即y=-2x2+4x+1．

【評(píng)注】在把二次函數(shù)的圖象關(guān)于與坐標(biāo)軸平行的直線(xiàn)進(jìn)行對(duì)稱(chēng)變換時(shí)，具有這樣的特點(diǎn)——只改變函數(shù)圖象的位置或開(kāi)口方向、不改變其形狀，因此，在研究二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)變換問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是要抓住二次函數(shù)的頂點(diǎn)位置和開(kāi)口方向來(lái)解決問(wèn)題．

【變式】求把二次函數(shù)y=x2-4x+1的圖象關(guān)于下列直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)后所得到圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式：

(1)直線(xiàn)x=-2；

(2)直線(xiàn)y=1．

高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)準(zhǔn)備(代數(shù)部分)

1.數(shù)域的擴(kuò)充

1.1數(shù)的分類(lèi)

【變式】(1)(3)(4) 【解析】(1)正確.正整數(shù)如1,2,3，…，是正數(shù)也是實(shí)數(shù)；

(2)錯(cuò)誤.自然數(shù)包含0,0不是正整數(shù)；

(3)正確.整數(shù)可以分為奇數(shù)和偶數(shù),奇數(shù)包含±1,±3,±5，…，偶數(shù)包含0,±2,±4,±6,…；

(4)正確.質(zhì)數(shù)是2,3,5,7,11,13，…，都是正整數(shù)；

(5)錯(cuò)誤.無(wú)限不循環(huán)小數(shù)都是無(wú)理數(shù)，有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù)；

(6)錯(cuò)誤.分?jǐn)?shù)是有理數(shù).

1.2二次根式

【變式】

1.3有理化因式

【變式】

3.甲和乙

2.式子的運(yùn)算

2.1合并同類(lèi)項(xiàng)與通分

【變式1】

1.D 【解析】由x2+mx-10=(x+a)(x+b)可知ab=-10，從而x2+mx-10=(x+5)(x-2)或x2+mx-10=(x+2)(x-5)或x2+mx-10=(x+1)(x-10)或x2+mx-10=(x-1)(x+10),即x2+mx-10=x2+3x-10或x2+mx-10=x2-3x-10或x2+mx-10=x2-9x-10或x2+mx-10=x2+9x-10,因此m=±3或m=±9,故選D.

3.1×2×3×…×2 016,2 016,1 【解析】(x+1)(x+2)(x+3)·…·(x+2 016)的展開(kāi)式中有2 016個(gè)x相乘，所以其多項(xiàng)式的次數(shù)是2 016；因?yàn)閤的系數(shù)都是1，所以最高次項(xiàng)系數(shù)是1；常數(shù)項(xiàng)是1×2×3×…×2 016.

4.8 【解析】(1-i)(1+2i)2=(1-i)(4i-3)=1+7i=p+qi,所以p=1,q=7則p+q=8.

5.【解析】(1)原式=1-(4i)2=1-16i2=1+16=17.

(2)原式=9-12i+(2i)2=9-12i+4i2=9-12i-4=5-12i.

(3)原式=(1-4i)(1+4i)(7+2i)=17(7+2i)=119+34i.

(5)(1+i)2=1+2i-1=2i，(1+i)8=24，所以(1+i)2017=[(1+i)8]252×(1+i)=21008(1+i).

【變式2】

2.2多項(xiàng)式恒等對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等

【變式】

2.3利用恒等式將分式裂項(xiàng)

【變式】

3.【證明】

3.多項(xiàng)式乘法與分解因式

3.1立方和差公式

【變式】

1.【解析】(1)(3x-2y+1)(3x+2y-1)=[3x-(2y-1)][3x+(2y-1)]=(3x)2-(2y-1)2=9x2-(4y2-4y+1)=9x2-4y2+4y-1.

(2)(3a+2b+1)(3a-2b+1)=[(3a+1)+2b][(3a+1)-2b]=(3a+1)2-(2b)2=9a2+6a+1-4b2.

(3)(3x+y+1)(3x-y-1)=[3x+(y+1)][3x-(y+1)]=(3x)2-(y+1)2=9x2-y2-2y-1.

2.【解析】(1)原式=(3x)2+(2y)2+z2+2[3x·(-2y)+(-2y)z+(3x)z]=9x2+4y2+z2-12xy-4yz+6xz.

(2)原式=[(x-1)(x-4)][(x-2)(x-3)]=(x2-5x+4)(x2-5x+6)=(x2-5x)2+10(x2-5x)+24=x4-10x3+35x2-50x+24．

3.2完全立方和差公式

【變式】【解析】(1)(x-2y)3=x3+3x2(-2y)+3x(-2y)2+(-2y)3=x3-6x2y+12xy2-8y3．

(2)(x+2)4=[(x+2)2]2=(x2+4x+4)2=(x2)2+(4x)2+42+2x2×4x+2x2×4+2×4x×4=x4+8x3+24x2+32x+16．

3.3十字相乘法

【變式】

2.【解析】

4.一元二次方程的根

4.1判別式

【變式】(1)該方程的根的判別式為Δ=a2-4×1×(a-1)=(a-2)2，

①當(dāng)a=2時(shí)，Δ=0，所以方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1=x2=1；

②當(dāng)a≠2時(shí)，Δgt;0，所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1=1,x2=a-1．

(2)該方程的根的判別式為Δ=22-4×1×a=4(1-a)，

②當(dāng)Δ=0，即a=1時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1=x2=1；

③當(dāng)Δlt;0，即agt;1時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．

4.2韋達(dá)定理

【變式】

3.【解析】(法一)因?yàn)?是方程的一個(gè)根，

所以5×22+k×2-6=0，

所以k=-7．

所以方程為5x2-7x-6=0，

(法二)設(shè)方程的另一個(gè)根為x1，則

5.-2lt;blt;1 【解析】由條件得關(guān)于x的方程的判別式Δgt;0，即(a-1)2-4(ab-2)=a2-2(2b+1)a+9gt;0,此不等式的左邊是關(guān)于a的二次函數(shù)，要使函數(shù)值恒為正數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)4(2b+1)2-36lt;0，所以-2lt;blt;1.

5.方程組

5.1二元一次方程組

【變式】

1.【解析】(1)×2得6x+4y=10(3)，

(3)-(2)得0=4不成立，

所以方程組無(wú)解．

2.【解析】(1)×2得6x+4y=6(3)，

(3)-(2)得0=0恒成立，

所以方程組有無(wú)數(shù)組解．

5.2二元二次方程組

【變式】

1.【解析】由(1)得y=2x(3)，

將(3)代入(2)得x2-(2x)2+3=0，

解得x1=1或x2=-1．

把x=1代入(3)得y1=2；

把x=-1代入(3)得y2=-2．

2.【解析】由(2)得x=2y+2 (3),

把(3)代入(1),整理得8y2+8y=0，

解得y1=0,y2=-1．

把y1=0代入(3),得x1=2；

把y2=-1代入(3),得x2=0．

3．【解析】由(1)得y=-2x+2 (3),

把x1=0代入(3)得y1=2；

6.二次函數(shù)

6.1解析式的待定系數(shù)求法

【變式】

1.【解析】因?yàn)槎魏瘮?shù)的最大值為2，而最大值一定是其頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，

所以頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2．又頂點(diǎn)在直線(xiàn)y=x+1上，所以2=x+1，所以x=1．所以頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1,2)．設(shè)該二次函數(shù)的解析式為y=a(x-1)2+2(alt;0)，

2.【解析】設(shè)該二次函數(shù)為y=ax2+bx+c(a≠0)

解得a=-2,b=12,c=-8．

所以所求的二次函數(shù)為y=-2x2+12x-8．

6.2最值與變化趨勢(shì)

【變式】

1.A 【解析】y=x2-4x-7配方得y=(x-2)2-11，該函數(shù)的最小值是-11，故選A.

3.C 【解析】設(shè)二次函數(shù)y=(x-a)(x-b)，直線(xiàn)y=1，原方程的解即為兩圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由圖可知x1lt;alt;blt;x2，故選C.

5.xgt;-3(或x≥-3) 【解析】拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，當(dāng)xlt;-3時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)xgt;-3時(shí)，y隨x的增大而減小.

6.3平移變換

【變式】

1.D 【解析】函數(shù)y=-x2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)，向左平移1個(gè)單位，然后向上平移3個(gè)單位后頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,3)，所以平移后的解析式為y=-(x+1)2+3，故選D.

2.C 【解析】原拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，平移后頂點(diǎn)是(0,1)，得到的拋物線(xiàn)是y=-2x2+1，故選C.

6.4對(duì)稱(chēng)變換

【變式】

1.【解析】(1)由y=x2-4x+1=(x-2)2-3可知，函數(shù)y=x2-4x+1圖象的頂點(diǎn)為A(2,-3)，所以，關(guān)于直線(xiàn)x=-2對(duì)稱(chēng)后所得到圖象的頂點(diǎn)為A1(-6,-3)，所以，二次函數(shù)y=x2-4x+1的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=-2對(duì)稱(chēng)后所得到圖象的函數(shù)解析式為y=(x+6)2-3，即y=x2+12x+33．