張 亮 田澤華

立足生本課堂 培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)
——“三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)”教學(xué)設(shè)計(jì)

張 亮1田澤華2

“人在課中央”是對人與課的辯證關(guān)系形象而又準(zhǔn)確的描述，充分體現(xiàn)了新課標(biāo)所倡導(dǎo)的“以人為本”的教育理念。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過問題驅(qū)動(dòng)，激發(fā)學(xué)生求知欲，激活學(xué)生思維，促進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)和深度學(xué)習(xí)；通過小組探究、匯報(bào)交流，讓學(xué)生內(nèi)隱的心理活動(dòng)、知識內(nèi)化過程通過外顯的行為表現(xiàn)出來，培養(yǎng)學(xué)生自主探究、樂于探索的品質(zhì)；通過自主命題，培養(yǎng)學(xué)生提出問題、解決問題的意識與能力，服務(wù)于學(xué)生的生命成長和終身發(fā)展。

三次函數(shù)；問題驅(qū)動(dòng)；小組探究；自主命題

“人在課中央”是對人與課的辯證關(guān)系形象而又準(zhǔn)確的描述，充分體現(xiàn)了新課標(biāo)所倡導(dǎo)的“以人為本”的教育理念。課堂是教學(xué)的主陣地，追尋課堂教學(xué)的本意和靈魂，就應(yīng)該以學(xué)生為整個(gè)教學(xué)的中心，服務(wù)于學(xué)生的學(xué)習(xí)和發(fā)展。教師需要從課堂的主宰者轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)習(xí)資源的整合者、學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)者、學(xué)習(xí)效果的評價(jià)者，在預(yù)設(shè)的教案中及時(shí)做加減法，使教學(xué)的深度、廣度適合學(xué)生的知識水平和接受能力，同時(shí)又根據(jù)學(xué)生的個(gè)性特點(diǎn)和個(gè)別差異，貫徹因材施教原則，為不同層次的學(xué)生搭建支架，以滿足學(xué)生的需要，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)和深度學(xué)習(xí)。

筆者有幸參加了第12屆“杏壇杯”課堂教學(xué)展評活動(dòng)，并嘗試在“三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)”一課的教學(xué)中讓學(xué)生始終置身于課堂的中央、教學(xué)的中心。本課的學(xué)習(xí)是以導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的方法為主線,探索三次函數(shù)的圖象特征和相關(guān)性質(zhì)。通過問題驅(qū)動(dòng)，學(xué)生自主建構(gòu)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的方法；通過小組探究、匯報(bào)交流,學(xué)生經(jīng)歷知識的形成過程；通過自主命題、提出問題，學(xué)生實(shí)現(xiàn)知識和方法的自我反思和內(nèi)化等。這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)和安排有效地突出了教育教學(xué)活動(dòng)的學(xué)生主體性，培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯思維能力，自主探究、樂于探索的品質(zhì)以及提出問題、解決問題的意識與能力，服務(wù)于學(xué)生的生命成長和終身發(fā)展。本課主要的教學(xué)過程如下。

一、教學(xué)過程

1.問題引入，明確作圖方法。

問題 1：畫出函數(shù) f（x）=x2+2x-3的大致圖象。

請學(xué)生上黑板作圖，根據(jù)學(xué)生的回答歸納出3種作圖思路：描點(diǎn)作圖，根據(jù)性質(zhì)作圖和借助一次函數(shù)研究二次函數(shù)，從而得到圖象。

（設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)生已經(jīng)掌握二次函數(shù)的基礎(chǔ)上通過對一個(gè)二次函數(shù)大致圖象作圖方法的討論，明晰作圖的常用方法，為下一步研究做了知識和方法上的鋪墊，激活學(xué)生思維。）

2.引出課題，構(gòu)建探究方法。

問題 2：借助二次函數(shù) f（x）=x2+2x-3，可以研究哪類函數(shù)的性質(zhì)呢？請畫出的大致圖象。

（學(xué)生上黑板作圖）

師：請說說作圖過程。

生：由 f（x）=x2+2x-3 的值為正、負(fù)、零得到三次函數(shù)的增區(qū)間（-∞，-3）、（1，+∞），減區(qū)間（-3，1）和極值點(diǎn)x1=-3、x2=1，再作出函數(shù)簡圖。

師：我們根據(jù)二次函數(shù)值為正、負(fù)、零的情況，得到三次函數(shù)的增、減區(qū)間和極值點(diǎn)，進(jìn)而作出大致圖象。這為我們研究三次函數(shù)提供了一種方法——利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)。

（設(shè)計(jì)意圖：利用求導(dǎo)函數(shù)的原函數(shù)的方式引出課題，同時(shí)提供探究實(shí)例。在探究三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的過程中，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建利用導(dǎo)數(shù)研究一般三次函數(shù)圖象和性質(zhì)的方法，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力。）

3.合作探索，匯報(bào)交流。

問題 3：探究三次函數(shù) f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的圖象和性質(zhì)。

生：因?yàn)閷?dǎo)函數(shù) f′（x）=3ax2+2bx+c 的 Δ=4（b2-3ac），其值正負(fù)情況為：①a＞0，Δ＜0 時(shí)，無極值點(diǎn)，f′（x）＞0；②a＞0，Δ=0 時(shí)，無極值點(diǎn)，f′（x）≥0；③a＞0，Δ＞0有兩個(gè)極值點(diǎn)，當(dāng) x∈（-∞，x1）∪（x2，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng) x∈（x1，x2）時(shí) f′（x）＜0；④a＜0，Δ＜0 時(shí)，無極值點(diǎn)，f′（x）＜0；⑤a＜0，Δ=0 時(shí)，無極值點(diǎn)，f′（x）≤0；⑥a＜0，Δ＞0時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)，當(dāng) x∈（-∞，x2）∪（x1，+∞）時(shí) f′（x）＜0，x∈（x2，x1）時(shí) f′（x）＞0。

師：其他小組需要補(bǔ)充嗎？

生：Δ＜0與Δ=0兩個(gè)類型可以合并成一類，因?yàn)樗鼈儗?yīng)的函數(shù)都是單調(diào)的，所以只要分成四類就可以了。

師：很好！由單調(diào)性和極值點(diǎn)我們就可以作出函數(shù)簡圖了。請完善表1。

師：我們已經(jīng)知道二次函數(shù)首項(xiàng)系數(shù)a和Δ對圖象的影響，三次函數(shù)的首項(xiàng)系數(shù)a和Δ對圖象分別有什么影響呢？a＞0和a＜0時(shí)對應(yīng)的圖象有什么區(qū)別？

表1

生：當(dāng) a＞0 時(shí)，圖象右向上；當(dāng) a＜0 時(shí)，圖象右向下。

師：二次函數(shù)的Δ影響著函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，那么三次函數(shù)的Δ呢？

生：當(dāng)Δ≤0時(shí)，函數(shù)無極值點(diǎn)；當(dāng)Δ＞0時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)。

師生共同完善，得到如下表2：

表2

師：我們對三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)已經(jīng)有了一個(gè)整體的認(rèn)識，請大家接著思考。

問題 4：研討三次函數(shù) f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）零點(diǎn)個(gè)數(shù)的條件。

生：當(dāng)Δ≤0或極大值、極小值同號，三次函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；極大值或極小值為零，三次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；極大值、極小值異號，三次函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)。

（設(shè)計(jì)意圖：小組合作探究，在經(jīng)歷知識的形成過程中培養(yǎng)學(xué)生樂于探索的品質(zhì)。通過小組交流、匯報(bào)展示等方式，獲取準(zhǔn)確學(xué)情信息，對教學(xué)作出及時(shí)調(diào)整，提供最適合學(xué)生學(xué)情的教學(xué)。）

4.反思總結(jié)。

問題5：請以單調(diào)性、極值點(diǎn)或零點(diǎn)為條件，編制一道三次函數(shù)問題，同桌交換完成解答。

（教師巡視，并請學(xué)生上臺分享編制的題目與解答）

問題6：針對本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你能提出一個(gè)新的問題嗎？

（設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生自主命題并交流分享，既指向了深度學(xué)習(xí)，又能照顧到學(xué)生的個(gè)體差異，讓不同的學(xué)生有不同的發(fā)展。培養(yǎng)了學(xué)生反思的習(xí)慣，以及提出問題的意識與能力。）

二、教學(xué)反思

1.問題驅(qū)動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生思維深化。

“問題解決”是數(shù)學(xué)教育的核心，在課堂教學(xué)中設(shè)計(jì)“好”的問題是極其重要的。而“好”問題需要考慮三個(gè)維度：一是問題的提出應(yīng)從學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，引起學(xué)生思考和解決的欲望；二是必須有足夠的思維空間，讓學(xué)生翱翔其中，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造歷程；三是問題與問題之間要有內(nèi)在的邏輯聯(lián)系，形成“問題鏈”，使學(xué)生的思維始終處于“問題提出—問題解決”的狀態(tài)中，防止思維碎片化。

本節(jié)課中，以6個(gè)問題為一條線，引導(dǎo)學(xué)生思考。從學(xué)生已有認(rèn)知和經(jīng)驗(yàn)出發(fā)提出問題1，激活學(xué)生的思維。而問題2、3、4、5的提出分別建立在前一個(gè)問題的基礎(chǔ)上，環(huán)環(huán)相扣，有效保證了思維的完整性和連續(xù)性。提出的問題越來越開放，思維空間越來越大，激發(fā)了學(xué)生的求知欲，進(jìn)一步激活學(xué)生思維，有效促進(jìn)了學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)和深度學(xué)習(xí)。

2.小組探究，培養(yǎng)學(xué)生探索能力。

教與學(xué)的各種任務(wù)，如根據(jù)從缺少思考到富于思考的操作方式，按它們在連續(xù)過程上達(dá)到的水平來區(qū)分和識別，一般分為記憶、解釋性理解和探究性理解三個(gè)層次［1］。探究性理解水平通常稱作高認(rèn)知水平。數(shù)學(xué)探究與其說是一種教學(xué)形式，不如說是一種尊重學(xué)生主體和指向思維培養(yǎng)的活動(dòng)。這要求教學(xué)中必須改變以教師為主的講授甚至是灌輸?shù)膫鹘y(tǒng)教學(xué)思維，要“少占多讓，少扶多放”，在數(shù)學(xué)探究的過程中給學(xué)生時(shí)空上和思維上充分的自由度，這也是數(shù)學(xué)探究真正發(fā)生和走向深度的必要保證。［2］

在問題3的探究過程中，以小組為單位，相互間充分地討論、探究，合作完成了對三次函數(shù)圖象和性質(zhì)的探索。通過小組交流、匯報(bào)展示等方式，讓學(xué)生內(nèi)隱的心理活動(dòng)、知識內(nèi)化過程通過外顯的行為表現(xiàn)出來，以獲取準(zhǔn)確的學(xué)情信息，對教學(xué)作出及時(shí)調(diào)整，提供最適合學(xué)情的教學(xué)。

3.自主命題，培養(yǎng)學(xué)生提問意識。

陶行知在《每事問》一詩中寫道：“發(fā)明千千萬萬，起點(diǎn)是一問?！卑寻l(fā)明創(chuàng)造的起點(diǎn)歸結(jié)于“一問”，意思是指科學(xué)創(chuàng)造源于提問，沒有問題就沒有創(chuàng)新。讓問題成為知識的紐帶，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的意識和能力，既是重要的課程目標(biāo)，也是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基本要求。

本節(jié)課在學(xué)生掌握了相關(guān)知識方法后，打破了常規(guī)的例題解析、練習(xí)反饋的模式，讓學(xué)生自主命題并交流分享。問題6對學(xué)生提出了更高要求與挑戰(zhàn)，學(xué)生可以提出知識上、方法上、思想上的問題，并向老師或同學(xué)尋求解答。這樣的教學(xué)安排既指向了深度學(xué)習(xí)，又能照顧到學(xué)生的個(gè)體差異性，培養(yǎng)了學(xué)生提出問題的能力與創(chuàng)造創(chuàng)新的精神。

［1］STEIN M K，SMITH M S，HEEEINGSEN M A，等.實(shí)施初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的教學(xué)案例［M］.李忠如，譯.上海：上海教育出版社，2001.

［2］張亮.構(gòu)建探究途徑深化數(shù)學(xué)思維［J］.江蘇教育，2016（11）.

G633.6

A

1005-6009（2017）59-0031-04

1.張亮，南京市第一中學(xué)（南京，210001）教師，一級教師；2.田澤華，南京市第一中學(xué)（南京，210001）教師，高級教師。

【團(tuán)隊(duì)推薦】

教育教學(xué)是個(gè)系統(tǒng)。2017年“杏壇杯”課堂教學(xué)展評活動(dòng)的主題是“人在課中央”，這一主題突出了教育教學(xué)系統(tǒng)中最為活躍、也最為核心的三個(gè)要素：“人”“課”“人課關(guān)系”。這是在當(dāng)前教育教學(xué)改革背景下，對教育教學(xué)回歸本原的一種呼喚、一種號召：“基于人，成全人，為人所用，促人成長”。

張亮老師是我校的一名優(yōu)秀教師，曾獲南京市優(yōu)質(zhì)課評比一等獎(jiǎng)。得到參加2017年“杏壇杯”課堂教學(xué)展評活動(dòng)的通知后，從對活動(dòng)主題的理解和把握，到對受教學(xué)生的基本學(xué)情到教學(xué)設(shè)計(jì)的完成，都進(jìn)行了認(rèn)真調(diào)研和思考，并先后聽取了我校諸位名師及其他同事的意見和建議，對本次展評進(jìn)行了精心的準(zhǔn)備。

1.以“三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)”為課題，是對函數(shù)模型的補(bǔ)充與拓展，是對導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的鞏固與深化。

雖然學(xué)生已掌握了幾種常見的基本初等函數(shù)模型，但在現(xiàn)實(shí)生活、例題習(xí)題、高考試題中都有很多問題是以三次函數(shù)為載體進(jìn)行學(xué)習(xí)研究的。所以有必要對三次函數(shù)進(jìn)行比較系統(tǒng)、全面的研究學(xué)習(xí)，了解和掌握它的圖象和基本性質(zhì)。

導(dǎo)數(shù)是近代數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)，是微積分的基礎(chǔ)知識，是聯(lián)系初、高等數(shù)學(xué)的紐帶。三次函數(shù)是導(dǎo)數(shù)內(nèi)容中最簡單的高次函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)是二次函數(shù)。因此，三次函數(shù)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的一個(gè)重要載體。

2.對教學(xué)內(nèi)容的處理詳略得當(dāng)、主次分明、重點(diǎn)突出。

在研究函數(shù)特性時(shí)，往往需要知道函數(shù)的直觀圖象，通常，我們可以用描點(diǎn)法作出函數(shù)圖象，這種圖象一般是粗糙的，在一些關(guān)鍵點(diǎn)附近函數(shù)的變化狀態(tài)，不一定能確切地反映出來。學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)之前，對基本初等函數(shù)的研究都是先圖象后性質(zhì)，由“形”到“數(shù)”。而利用導(dǎo)數(shù)及其性質(zhì)，可以較為準(zhǔn)確地描述函數(shù)的動(dòng)態(tài)。本課例就是先引導(dǎo)學(xué)生通過對導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)的研究，揭示刻畫出三次函數(shù)圖象的單調(diào)變化趨勢，畫出函數(shù)的示意圖，由“數(shù)”到“形”后，再進(jìn)一步通過觀察圖象，由“形”到“數(shù)”，由直觀感知到理性論證，得到三次函數(shù)較為準(zhǔn)確的圖象和基本性質(zhì)，在這一過程中“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想體現(xiàn)得淋漓盡致。在歸納出一般三次函數(shù)的圖象和定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、零點(diǎn)個(gè)數(shù)等基本性質(zhì)后，限于課時(shí)，張亮老師并未讓學(xué)生進(jìn)一步探究三次函數(shù)圖象的對稱中心、凹凸性等其他性質(zhì)，這樣既給學(xué)生的進(jìn)一步自主探索“留白”，又能讓學(xué)生在本節(jié)課的探究學(xué)習(xí)過程中有足夠的時(shí)間和空間感悟、提升、升華。

本課例雖然以 “三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)”為課題，但卻是以三次函數(shù)為載體，重點(diǎn)是讓學(xué)生掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的一般步驟和方法。其研究過程和方法具有普適性、一般性，對于較為復(fù)雜的初等函數(shù)，就會根據(jù)其代數(shù)性質(zhì)，研究其函數(shù)圖象和性質(zhì)。在本課例中，無論是從問題引入、課中探索、課后思考，都充分體現(xiàn)了這一設(shè)計(jì)意圖。

3.教學(xué)方法施用合理、得當(dāng)。

新一輪高中課程改革標(biāo)準(zhǔn)中強(qiáng)調(diào)：所謂數(shù)學(xué)探究，主要是指學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)探究性課題的學(xué)習(xí)，即學(xué)生圍繞特定的數(shù)學(xué)問題，自主進(jìn)行探索、探究與學(xué)習(xí)的過程；讓學(xué)生站在課堂中央，就要?jiǎng)?chuàng)造更多的學(xué)習(xí)活動(dòng)機(jī)會，讓他們質(zhì)疑、釋疑、體驗(yàn)、探究等。

本節(jié)課的探究活動(dòng)突出了三大特點(diǎn)：一是注重設(shè)置有價(jià)值的探究問題；二是讓學(xué)生自己確定探究策略（如問題3、問題4）；三是足夠的開放性（如問題 5、問題 6）。

通過問題1、問題2，創(chuàng)設(shè)探究情境，引入課題，然后通過一系列問題串引導(dǎo)學(xué)生自主、獨(dú)立發(fā)現(xiàn)問題、思考問題、提出問題、解決問題，整個(gè)過程有明顯的探索、探究與創(chuàng)新特點(diǎn)，真正有益于學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題與解決問題能力的培養(yǎng)，對培養(yǎng)與提高學(xué)生的創(chuàng)新意識、創(chuàng)新能力都具有重要意義。

問題3采用小組合作探究教學(xué)法，要求學(xué)生以小組為單位對教師提出的問題進(jìn)行討論，教師不對探究策略作出限制，各小組派代表闡述探究結(jié)果，教師進(jìn)行總結(jié)、評價(jià)，這樣一方面激發(fā)了各小組競爭意識，調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)積極性；另一方面，教師還可針對學(xué)生的接受能力、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識掌握程度，因材施教，讓每個(gè)學(xué)生都能找到學(xué)習(xí)的成就感，樹立學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)知識的自信心。

“知識內(nèi)化了才能成為能力，能力升華了才能成為素養(yǎng)”。通過開放性問題5、問題6的設(shè)計(jì)，讓學(xué)生設(shè)計(jì)問題、提出問題、發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，有效地調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，促進(jìn)了學(xué)生對知識方法的內(nèi)化，增強(qiáng)了學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)。

（推薦人：田澤華）