■陜西省武功縣教育局教研室 李 歆(特級教師)

一道課本例題的有效利用

■陜西省武功縣教育局教研室 李 歆(特級教師)

北師大版《數(shù)學》(必修5)第88頁有這樣一道例題:

證法2：在基本不等式a+b≥2ab的兩邊同乘以 ab,得(a+b)ab≥2ab,整理可得

點評:證法1和證法2都抓住了“無理根式有理化”這一個基本的解題思想方法,把無理根式 ab的作用與價值充分挖掘了出來,由此為我們提供了一條解決含有根式問題的“綠色通道”。

已知a,b為正數(shù),且a+4b+4ab=8,則a+4b+2ab的最小值是 。

故a+4b+2ab的最小值是6。

點評:對于這道題,如果直接用基本不等式處理,那么往往會出現(xiàn)下列情況:由8=a+4b+4ab≥4,由此可得又由基本不等式,得a+4b+來解題受阻。因為原本想從條件等式中得到某個常數(shù),結果事與愿違,造成“無法實現(xiàn)對接,導致解題失敗。

A.2 B.3 C.3 D.22

分析：因為a,b,c是非負實數(shù),存在a,b,c為零的情況,所以不能直接對所求式進行“無理根式有理化”處理。但注意到前面課本例題的證法2,仿照此法,便可打開解題的突破口。

點評:由“非負實數(shù)a,b,c”得到:a+b+c≥a+b,是題目中隱含的一個舉足輕重的不等式,由此可以將不等式轉化為2ab,從而找到另外與(a+b+三者左邊根式前面的“系數(shù)”統(tǒng)一了起來,讓“不能相加”的不等式變成了“能相加”的不等式。同時為順利構建并得到創(chuàng)造了有利的條件。

受解法1的啟發(fā),可得到解法2。

故 ab+bc+ca的最小值為2。

點評:由已知條件可知a,b,c中不會有兩個同時為0,因此,此解法的亮點是通過對分母放縮,使“異分母”的三個分式轉化為“同分母”,從而使條件等式恰好得到利用。

點評:所求式的分母出現(xiàn)了非齊次的形式,給解題增添了難度,加上所求式與條件式的差異較大,解題容易陷入困境。面對所求式的結構,即使想到柯西不等式,也無濟于事,因為

綜上,課本例題中隱含著極其豐富的智力資源,只要我們在解題時加以有效利用,就能快捷高效地提升解題素養(yǎng)與核心能力。

(責任編輯 徐利杰)