■重慶市育才中學 何宜珂

化歸轉化思想在正、余弦定理中的應用

■重慶市育才中學 何宜珂

化歸與轉化思想,就是緊扣求解目標,通過數(shù)學內部的聯(lián)系,在轉化中實現(xiàn)問題的規(guī)范化,即運用有關的數(shù)學方法,將待解決的問題逐步轉化為簡單的、熟悉的或已經解決了的問題去解決。正弦定理、余弦定理溝通了三角形中邊與角的關系,用這兩個定理可以實現(xiàn)邊與角的轉化,從而簡化解題過程,下面舉例說明。

一、繁雜轉化為簡單

對于很多數(shù)學問題,通過同解變形,將繁雜的問題轉化成特殊的、簡單的問題,解決起來就容易得多了。

分析：由正弦定理得c=2RsinC,a=2RsinA,b=2RsinB,其中R為△ABC外接圓半徑。由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC,可得余弦定理的變形形式:sin2C=sin2A+sin2B-2sinAsinBcosC。

證明：sin2A+sin2B+cos2C+2sinA·sinBcos(A+B)=sin2A+sin2B-2sinA·sinBcosC+cos2C=sin2C+cos2C=1。

二、陌生轉化為熟悉

各類數(shù)學問題組成數(shù)學問題的海洋,每一個數(shù)學問題就是題海中的一滴水。對我們每個人來說,沒見過、沒練過的數(shù)學問題要比見過、練過的多得多。所以我們只有將陌生問題轉化為熟悉問題,才容易找到切入點。

證明：由sin2A-cos2得cos2A=又A是三角形的內角,則得

綜上,恒有b+c≤2a。

三、數(shù)式轉化為圖形

有些代數(shù)問題直接用代數(shù)方法解決起來比較困難,可以轉化為幾何圖形,借助圖形特點來解決。

分析：在△ABC中,由正弦定理得c=2RsinC,a=2RsinA,b=2RsinB,其中R為△ABC外接圓半徑。由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC,于是可得余弦定理的變形形式:sin2C=sin2A+sin2B-2sinA·sinBcosC。

解：如圖1所示,構造△ABC,設外接圓半徑為1,∠A=20°,∠B=40°,∠C=120°,則:

原式=sin220°+sin240°+sin20°sin40°

圖1

=sin220°+sin240°-2sin20°sin40°cos120°=sin2A+sin2B-2sinAsinBcosC=sin2C=sin2120°=

小結：在化歸轉化的過程中,一定要注意轉化的等價性。若實施了不等價轉化,解后應檢驗其結果,否則極易出錯。

(責任編輯 徐利杰)