朱軍明， 胡廷鋒

(洛陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 河南洛陽 471934)

Ramanujan互反公式的一個注記

朱軍明， 胡廷鋒

(洛陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 河南洛陽 471934)

本文對Ramanujan互反公式的一個已有證明作了更正.

Ramanujan互反公式; 解析延拓; 基本超幾何級數(shù)

1 假設(shè)

本文總是假設(shè)|q|<1,q階乘使用如下通用的符號:

應(yīng)用如下緊湊的記號:

(a,b, …，c；q)n=(a;q)n(b;q)n…(c;q)n; (a,b, …，c；q)∞=(a;q)∞(b;q)∞…(c;q)∞.

本文中, N 表示自然數(shù)集, 即N={0, 1, 2, ……}.

在Ramanujan“遺失”的筆記[1]中， 記載了如下的公式.

定理1 (Ramanujan) 對于a,b≠0且a,b≠-q-n(n∈ N), 我們有

(1)

其中

定理2 設(shè)函數(shù)f(z)與g(z)在區(qū)域D內(nèi)解析,z0是D的內(nèi)點. 如果在z0的任意空心鄰域內(nèi)都存在z∈D, 使得f(z)=g(z), 那么, 對任意z∈D, 都有f(z)=g(z).

把定理1中等式 (1)兩端都看作b的函數(shù), 觀察容易發(fā)現(xiàn), 在b=0時兩端都不是b的解析函數(shù), 因此, 定理2的條件并不滿足, 即不滿足定理2中要求f(z)與g(z)在b=0某鄰域解析的條件， 因而文獻 [3] 中的證明是有缺陷的. 我們很容易舉出這樣的反例.

本文借鑒了文獻[3] 的思想, 但是克服了其證明中的錯誤.

2 定理1的證明

在以下的證明中, 我們將會用到Euler的q-指數(shù)函數(shù)[5]:

(2)

下面的Heine第二變換公式[5]也會被用到.

媳婦一跟我吵架，就哭著跑出去逛街購物，以發(fā)泄心中的不滿。今天媳婦哭著對我說：“這日子沒法過了，你已經(jīng)一個星期沒跟我吵架了?！?/p>

(3)

定理1的證明.我們先證明等式

(4)

此式即為

(5)

把 (5) 式兩端都看作b的函數(shù)， 則它們都在b=0的鄰域

內(nèi)解析.在 (3) 中, 令α=q1-m,β=q,γ=aqm且δ→0, 我們得到

于是, 我們有

另一方面,

所以

=(-1)m-1(1-aqm)(q;q)mam-1qm(m-1)/2(q1-m/a;q)∞

[1] Ramanujan S. The Lost Notebook and Other Unpublished Papers[M]. Narosa, New Delhi, 1988.

[2] Andrews G. Ramanujan’s “Lost” Notebook. I. Partialθ-functions[J]. Adv Math, 1981,41: 137-172.

[3] Adiga C, Anitha N. On a reciprocity theorem of Ramanujan[J]. Tamsui Oxf. J Math, 2006, 22: 5-15.

[4] Ismail M E H, A simple proof of Ramanujan’s1ψ1sum. Proc[J]. Amer Math Soc, 1977,63: 185-186.

[5] Gasper G, Rahman M. Basic Hypergeometric Series[M]. 2 ed. Cambridge: Cambridge University Press, 2004.

A Note on a Proof of Ramanujan’s Reciprocal Theorem

ZHU Jun-ming, HU Ting-feng

(College of Mathematics and Science, Luoyang Normal University, Luoyang 471934, China)

We revised a previous proof of Ramanujan’s reciprocal theorem by Adiga and Anitha.

Ramanujan’s reciprocal theorem; analytic continuation; basic hypergeometric series

O174.5

A

1009-4970(2017)11-0001-03

2017-07-31

國家自然科學(xué)基金資助項目(11371184)

朱軍明(1973—)， 男， 湖北應(yīng)城人， 博士， 副教授. 研究方向： q-級數(shù)和theta函數(shù).

[責(zé)任編輯 胡廷鋒]